数据结构：堆

堆

1.堆是什么？

2.堆的特性。

3.堆的操作原理

①堆的插入原理

②堆的删除原理

堆

1.堆是什么？

堆是特殊的队列，不同于普通队列，从堆中取出元素是依照元素的优先级大小，而不是元素进入队列的先后顺序，也可以称堆为“优先队列”。

2.堆的特性。

特性①：用数组表示完全二叉树。

堆最常用完全二叉树来表示，因为高为h的完全二叉树有2h-1到2h-1个节点，且节点分布十分规律，也正因如此，可以用数组来实现堆的存储。

如何用数组表示完全二叉树：

根节点存放在数组起始处，为方便子节点找到父节点，起始处下标为1

找寻父节点：某节点下标为 i ，其父节点下标就为 i / 2。

找寻子节点：某节点下标为 i ，其左、右子节点下标分别为 2i ，2i+1。

特性②：部分有序性

任意节点元素的值与其子节点元素的值相关，相关性的不同就决定了两种不同的基本堆：最大堆 和 最小堆。

最大堆：任意节点的值大于或等于其子节点的值，根节点最大。

最小堆：任意节点的值小于或等于其子节点的值，根节点最小。

最大堆（ a ），最小堆( b ) 示例：

3.堆的操作原理

（以最大堆为例）

①堆的插入原理

向最大堆插入新元素后，需要保证的是：

—堆依旧是一颗完全二叉树；

—堆中各节点与其子节点的关系依旧符合最大堆性质。

首先，在数组末尾插入新元素，若新节点值 <= 父节点值，说明位于正确位置。

在数组末尾插入新元素时，若新节点值 > 父节点值，需要交换位置，直到比父节点小或没有父节点（抵达根节点），才是抵达正确位置。

②堆的删除原理

删除元素实际上就是取出根节点的最大值元素，再删除一个节点。删除元素后，需要保证的是：

—堆依旧是一颗完全二叉树；

—堆中各节点与其子节点的关系依旧符合最大堆性质。

首先，将根节点（最大值元素）与最后一个节点交换位置，删除最后一个节点，实现取出最大值元素的操作，再删除节点的操作。

（实际上删除的节点元素在数组中依旧存在，但是代表最大堆所含节点数的MaxHeap会减去1，代表删除了最后一个节点）

完成删除操作后，需要在根节点的左、右子结点中取较大的一个与根节点做比较，根节点小于子节点则与其交换位置。

交换后，继续让此节点重复进行比较，直到此节点的值大于>=子节点值或节点成为叶子节点（不存在子节点）就停止。