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数学建模十大算法

作者:July 二零一一年一月二十九日一、蒙特卡罗算法1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis 共同发明了，蒙特卡罗方法。此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx 蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下： I、直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。 II、采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。 III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。等等。此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法我们通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还需要熟悉这两个软件。四、图论算法这类问题算法有很多，包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述， ----------- 经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx 更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，此外 98 年 B 题体现了分治算法。这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。 03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。 ---------- 经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx 其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。七、网格算法和穷举法网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b 那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。穷举法大家都熟悉，自不用多说了。八、一些连续离散化方法大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。九、数值分析算法数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。十、图象处理算法在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：http://download.csdn.net/source/3007336 本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。完。作者声明：本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。

一位ACMER过来人的经验

刻苦的训练我打算最后稍微提一下。主要说后者：什么是有效地训练？我想说下我的理解。很多ACMer入门的时候，都被告知：要多做题，做个500多道就变牛了。其实，这既不是充分条件、也不会是必要条件。我觉得一般情况下，对于我们普通学校的大学生，各方面能力的差距不会太大，在这种情况下，训练和学习的方法尤为重要。其实，500题仅仅是一个标志，而且仅仅表示你做ACM-ICPC有一定的时间，我们训练的目的是什么？我觉得有四点 1、提高编程能力 2、学习算法，（读书，读论文，包括做一些题目验证） 3、准备好面临将到来的挑战（熟悉题型，调整心态） 4、启发思维。这里四个目的，从训练的角度上，重要性逐次递减；为什么呢？因为前面的因素是后面的基础。而是后面的目的，想达成越为不易。我觉得前3者能保证你ac掉你能做的题，即使难题始终不会做，也可以ac掉中等偏难的题目。而需要一定思维难度的题，要以前三者为基础而且属于训练的后期，中期只能作为偶尔调节。当然，我思维也烂得要死，对这点没什么发言权，大家可以鄙视我。我这里想主要说下第2点。对于算法，我发现，很多我们这样的弱校ACMer选手没有侧重好算法的学习。下面要讲的几点，可能都很老套，但我想以035对比我自己的例子给大家做说明。 <1>算法学习是ACM比赛所要推广或者要提倡的一个方面记得曾经路过某人的blog，上面说他作比赛的时候遇到了一个dijkstra，他没做出来，然后评论到（大意）：我才不会花时间去搞明白“这种”算法。 “这种”也许有可能是指：没什么实用性，对吧，这样我就不想评论了（又是有关科学和工程的讨论）。但起码有一点需要明确的：ACM-ICPC比赛时关于计算机科学的比赛，计算机科学是算法的科学，计算机算法中dijkstra有着重要的实际和启发意义，所以比赛一定要考。你参加这个比赛，要拿奖，就必须学习这种算法。你也许觉得你智商很高，但ACM-ICPC比赛本身不是智力比赛，比赛就是要让你去学习这些东西，所以，如果你不想学的话，我觉得也没有必要参加。说道这，可能偏题有点远，但是希望以上的分析能得出这样一个基础结论：不想学好算法，那没有必要来比赛。 <2>用模板是不好的现在很多我们弱校的ACM-ICPC选手比较依赖模板，说实话，我也很依赖，但是我起码知道一点，这样是不对的，某种意义上说，这是你没有把算法学明白的一种表现。而且也严重影响编码速度。在我见过的huicpc035参加过的比赛中，他从来没有看过模板，全部现场敲，有一次比赛有个图强连通分量+缩点+染色+什么的题去了，我在他们机房做，我则抄模板，结果总共敲了1个半小时，而035明确算法之后，啪啦啪啦，估计30多分钟就敲完了。这里顺便八卦一下他：我和kevin以前去湖大集训队玩的时候，给他取了个外号——打字猛男（他应该还不知道）。因为他敲键盘的声音特别大特别快，呵呵。我觉得他敲代码的时间没有浪费，某牛曾说：因为每次敲都有可能有不同的错误，所以不用模板是好习惯。我最开始学dancing link的的时候，自己敲出了代码，然后接下来的几道题部分参考了以前的代码，后来基本上是直接copy。现在，当别人问我dancing link算法或有关的题目的时候，我已经是一脸茫然。所以，用模板是不好的，有时候由于某些原因可能你用了模板，但你起码要知道这要做是不对的，并且有机会要改正。 <3>需要深入学习像 ACRush、zzy、ahyangyi...等等国家队的天才们，本身难以说我们与他们之间有什么可比性。但是他们的学习方法应该还是值得借鉴的，他们的学习方法当然我们得不到言传身教，但是从他们在国家队集训的论文中和他们搞完ACM-ICPC以后的轨迹中，可以有所体现。那就是：深入学习。其实这点我来讲可能还是不够有力，因为我这方面也很欠缺，我尽量说下我的想法。首先，觉得ACMer学算法不应停留在看看代码实现这个层面，在算法思想上要有清醒的认识，在正确性分析上要也应该要有较好的逻辑。因为网上的代码的实现上的一些细枝末节很可能掩盖了算法本身有的简洁性、美感和思想。因而丧失了对算法整体上的一些认识。还拿dijkstra算法打比方，有些算法不是基于 dijskstra的直接建模，而是需要你修改这个算法，这时你对算法没有真正理解的话，也就一筹莫展了。我为什么老说Dijkstra算法，因为确实很多人都只知道用模板，而且模板还不好，在我看到的Dijkstra实现中，只有czyuan_acm的代码写得好。不是说其他的不对，但确实是有问题，投机取巧了的。所以，要阅读论文和书籍，尤其与英文书籍，窥到它的本质。另一方面，只有这样，你学的的东西才能在ACM-ICPC以外，给你一定的启发——否则你会迅速忘掉它的。据我所知，035起码阅读了几十篇集训队论文，orzorzorz，而且切掉了例题。 <4>独立思考这点我也很惭愧，因为我也是缺乏独立思考的。很多题我不会了就去搜解题报告，所以反而我的搜资料能力变得特别强。035和许多大牛在这点上做的比我好多了，他们遇到题不会的时候，也不会很急于把题目做出来，可能每隔一段时间又拿出来想一次，总有一天想通了，之后这一类型的题目基本上也就没有什么问题了。而我恰恰比较“虚荣”，做到的题目不会不太愿意想太久，就想尽量快些AC，于是急于看解题报告，这样导致的一个问题就是有些重要的东西解题报告中没有提到，而我也没去想就把他们忽略了，这样，我还是不会做。我和035讨论问题的时候，我不会一般就直接找他要代码，但是他不懂的时候，顶多问我大体的思路，而绝对不会要代码的。在去年ACM赛区尾声的时候，我发现035做中难题的能力已经明显超过我一个档次。看他现在做的题目，已然是相当变态，几乎是都100以下人ac，这些题目我看了基本上没什么想法，更要命的时，解题报告也搜不到。035目前的状态让我想起一个人，不知道大家知道不：wangfangbob，他切bt题的能力也是令人汗颜的。 <5>做有意义的题 1.是不要做水题，这里的水题定义为：一眼就能看出做法，而且中途的实现可以预计没有太多问题的题目。 2.是做能够强化你最近学到的东西的题目 3.你不会但你应该会的题目。这同时也是在说，某些没太多代表性的题目可以少做，因为对比赛帮助不大。（当然我这个参加比赛的目的很功利，非功利主义者另当别论）刚才，我把我在poj上的号和他的号对比了下，他ac而我没ac的基本上是难题，我ac他没ac的一般是水题，看得我想哭，5555。补充一点：ac的人多的并不一定代表着水题，有些几千人ac的题目，在现场赛中ac的人很少，这样的题目往往是有一定思维难度且编码不难的好题，这种题目要认真做，某个学长说：经典的题目啊，只有那么多，做一道，就少一道。 <6>估算好某种训练所需要的时间我觉得我学网络流就是一个例子，我在大概赛区赛之前2个月开始学习网络流，1个月前开始学习费用流，但是对于我来讲，这两个月培养出来的网络流思维还是不够（虽然也做了不少题），特别是，这种题目往往作为中难的题目出现，不会让你随便水的，于是，北京赛区的那道网络流当时就没有想出来——功利地说，学习网络流没有得到好的效果。所以，现在来看，当时其实我可以不搞网络流。如果要学一种比较有难度的东西，并且还必须把他搞好，应该较早地，全面地学习，必须长期的训练以培养这种思维。打个比方，如果你微积分平时不学，仅仅考试前一周狂做题目，我觉得上90分是很困难的。当然，这要根据个人情况而定，我的理解能力应该说是中等水平，如果牛的话应该可以更快地学好。 <7>有关训练的度我有时候通宵刷体，这里我不知道huicpc035有没有这个习惯，不过我通宵的时候没见到他通宵。我觉得其实通宵刷体，或者太长时间地做题，还是不好的。我们为什么会这样有热情的做题呢，因为我们有兴趣；但是一个人的成功不仅仅依赖于兴趣，还要依赖于自控。这和打游戏是一个道理，游戏太有趣以至于我们常常通宵——ICPC题目也太有趣，所以有时候通宵。而且很多时候是，由于一道题AC不掉，所以赌气一定要搞定才睡觉，这样一不小心，就通宵了。其实我明白，通宵不一定效果好，这仅仅说明了你兴趣很高涨而已。通宵往往会打乱你的时间安排，打乱你的生物钟，进而影响你短期或是中期的训练计划。而且，疲惫的状态下做题，你往往只有ac题目的欲望，而完全丧失了ac题目的灵气。所以，我建议，ACMer一定要合理安排作息，能够自控，这样不仅仅对你做 ACM-ICPC有好处。总之，有效训练是很重要，只有通过有效的训练你才能获得你参加这个比赛应得的东西。还有就是，除了035以外，另一个值得大家学习的就是richardxx——我也很佩服，我并不觉得他是天才，我觉得他以全方位的努力让他自己变得优秀，大家看他的blog可以看到他的学习历程。最后要说下刻苦训练这一点，这个我主要想说给我们学校的acm队员：客观的说，我们学校很多名校落榜生（我相比而言是水进的）。确实都蛮聪明的，但再聪明也比不上ACRush吧？人家可是SGU都切满了！ACM不是智力测试，不是你什么都不做就可以天上掉馅饼的。当然我不是说题目一定要做多少多少道，但如果你觉得你可以一心二用，从概率上来讲，你百分之九十地错了，我是个工科生，我相信概率而非奇迹。我觉得035这方面也是值得我们学习的，我比较喜欢扯淡，有时候聊题目的时候也经常不小心就去扯其他话题去了，在学习的时候，035是坚决不多聊乱七八糟的东西的，除了讨论上QQ，平时据我观察都是残酷地训练。现在回想起来，我有点后悔，QQ上和网上花掉的时间用来学习新的东西，也许结果会更好。 ACM-ICPC绝不是大学生活的全部，也不是搞算法的全部，你大可以花时间去做其他研究，做项目，或者参加学生工作(我更欣赏那些对人生和职业有良好规划的ACMer)；但是，如果你搞ICPC的那段时间你不是全部投入，那的在ACM-ICPC生涯中，将只有后悔。

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个人介绍

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