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【集合论】等价关系 ( 等价关系概念 | 等价关系示例 | 等价关系与闭包 )

简介: 【集合论】等价关系 ( 等价关系概念 | 等价关系示例 | 等价关系与闭包 )
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文章目录

一、等价关系

二、等价关系示例

三、等价关系与闭包示例





一、等价关系


等价关系概念 :


A AA 集合是非空集合 , A ≠ ∅ A \not= \varnothingA


=∅ , 并且 R RR 关系是 A AA 集合上的二元关系 , R ⊆ A × A R \subseteq A\times AR⊆A×A ;


如果 R RR 关系是 自反 , 对称 , 传递 的 , 那么称 R RR 关系是 等价关系 ;






二、等价关系示例


1. 关系 1 11 : x xx 与 y yy 年龄相同 ;


自反 : x xx 与 x xx 年龄相同 ; 自反 成立 ;

对称 : x xx 与 y yy 年龄相同 , y yy 与 x xx 年龄相同 ; 对称 成立 ;

传递 : x xx 与 y yy 年龄相同 , y yy 与 z zz 年龄相同 , x xx 与 z zz 年龄相同 ; 传递 成立 ;

等价关系 : 该关系是 自反 , 对称 , 传递 的 , 因此该关系 是等价关系 ;

由上边可以看出 , 等价关系是用于分类的 , 同一年出生的人可以划分到一个等价类中 ;




2. 关系 2 22 : x xx 与 y yy 姓氏相同 ;


自反 : x xx 与 x xx 姓氏相同 ; 自反 成立 ;

对称 : x xx 与 y yy 姓氏相同 , y yy 与 x xx 姓氏相同 ; 对称 成立 ;

传递 : x xx 与 y yy 姓氏相同 , y yy 与 z zz 姓氏相同 , x xx 与 z zz 姓氏相同 ; 传递 成立 ;

等价关系 : 该关系是 自反 , 对称 , 传递 的 , 因此该关系 是等价关系 ;



3. 关系 3 33 : x xx 年龄大于等于 y yy ;


自反 : x xx 年龄大于等于 x xx ; 自反 成立 ;

对称 : x xx 年龄大于等于 y yy , y yy 年龄大于等于 x xx ; 对称 不成立 ;

传递 : x xx 年龄大于等于 y yy , y yy 年龄大于等于 z zz , x xx 年龄大于等于 z zz ; 传递 成立 ;

等价关系 : 该关系是 自反 , 传递 的 , 不是对称的 , 因此该关系 不是等价关系 ;



4. 关系 4 44 : x xx 与 y yy 选修同一门课程 ;


自反 : x xx 与 x xx 选修同一门课程 ; 自反 成立 ;

对称 : x xx 与 y yy 选修同一门课程 , y yy 与 x xx 选修同一门课程 ; 对称 成立 ;

传递 : x xx 与 y yy 选修同一门课程 , y yy 与 z zz 选修同一门课程 , x xx 与 z zz 选修同一门课程 ; 上述情况不一定成立 , x , y x,yx,y 可能同时选修音乐 , y , z y,zy,z 同时选修历史 , x , z x,zx,z 没有选修相同的课程 ; 传递 不成立 ;

等价关系 : 该关系是 自反 , 对称 的 , 不是传递的 , 因此该关系 不是等价关系 ;



5. 关系 5 55 : x xx 体重大于 y yy ;


自反 : x xx 体重大于 x xx ; 自反 不成立 ;

对称 : x xx 体重大于 y yy , y yy 体重大于 x xx ; 对称 不成立 ;

传递 : x xx 体重大于 y yy , y yy 体重大于 z zz , x xx 体重大于 z zz ; 传递 成立 ;

等价关系 : 该关系是 传递 的 , 不是 自反 , 对称 的 , 因此该关系 不是等价关系 ;





三、等价关系与闭包示例


A AA 集合是非空集合 , A ≠ ∅ A \not= \varnothingA


=∅ , 并且 R RR 关系是 A AA 集合上的二元关系 , R ⊆ A × A R \subseteq A\times AR⊆A×A ;


对 R RR 关系求三种闭包 , 有 6 66 种不同的顺序 , 讨论这些求闭包结果的性质 ;



6 66 种求闭包的性质 :


r t s ( R ) rts(R)rts(R) : 先求对称闭包 , 再求传递闭包 , 最后求自反闭包 ;


t r s ( R ) trs(R)trs(R) : 先求对称闭包 , 再求自反闭包 , 最后求传递闭包 ;


t s r ( R ) tsr(R)tsr(R) : 先求自反闭包 , 再求对称闭包 , 最后求传递闭包 ;


r s t ( R ) rst(R)rst(R) : 先求传递闭包 , 再求对称闭包 , 最后求自反闭包 ;


s r t ( R ) srt(R)srt(R) : 先求传递闭包 , 再求自反闭包 , 最后求对称闭包 ;


s t r ( R ) str(R)str(R) : 先求自反闭包 , 再求传递闭包 , 最后求对称闭包 ;



参考 : 【集合论】关系闭包 ( 关系闭包求法 | 关系图求闭包 | 关系矩阵求闭包 | 闭包运算与关系性质 | 闭包复合运算 ) 五、闭包复合运算


r s ( R ) = s r ( R ) rs(R) = sr(R)rs(R)=sr(R) : 对称闭包 与 自反闭包 的复合运算 , 无论顺序如何 , 先求哪个都一样 ;

r t ( R ) = t r ( R ) rt(R) = tr(R)rt(R)=tr(R) : 传递闭包 与 自反闭包 的复合运算 , 无论顺序如何 , 先求哪个都一样 ;

s t ( R ) ⊆ t s ( R ) st(R) \subseteq ts(R)st(R)⊆ts(R) : 传递闭包 与 对称闭包 的符合运算 , 顺序不同 , 其计算结果不同 ;



因此这里分为两大类


① 先求传递闭包 , 再求对称闭包

② 先求对称闭包 , 再求传递闭包



先求对称闭包 , 再求传递闭包 :


r t s ( R ) rts(R)rts(R) : 先求对称闭包 , 再求传递闭包 , 最后求自反闭包 ;

t r s ( R ) trs(R)trs(R) : 先求对称闭包 , 再求自反闭包 , 最后求传递闭包 ;

t s r ( R ) tsr(R)tsr(R) : 先求自反闭包 , 再求对称闭包 , 最后求传递闭包 ;

固定 ts 运算的顺序 , 先 t 后 s , r 运算可以放在任意位置 ;


自反与其它两个闭包运算没有冲突 , 在任意位置都可以 ;


对称与传递 , 后求的传递 , 因此其结果是传递的 ;


上述三个顺序产生的结果是 自反 , 对称 , 传递 的 , 其满足等价关系 , 结果是 等价闭包 ;




先求对传递包 , 再求对称闭包 :


r s t ( R ) rst(R)rst(R) : 先求传递闭包 , 再求对称闭包 , 最后求自反闭包 ;

s r t ( R ) srt(R)srt(R) : 先求传递闭包 , 再求自反闭包 , 最后求对称闭包 ;

s t r ( R ) str(R)str(R) : 先求自反闭包 , 再求传递闭包 , 最后求对称闭包 ;

固定 st 运算的顺序 , 先 s ( 对称闭包 ) 后 t ( 传递闭包 ) , r ( 对称闭包 ) 运算可以放在任意位置 ;


自反与其它两个闭包运算没有冲突 , 在任意位置都可以 ;


对称与传递 , 先求的传递 , 然后求对称 , 对称会破坏传递 , 因此其结果不是传递的 ;


上述三个顺序产生的结果是 自反 , 对称 , 不传递 的 , 其不满足等价关系 ;

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