当树构建完毕后,我们来统计一下要发送的比特数。
1)来看字符这一列。四个字符 A、B、C、D 共计 4*8=32 比特。每个英文字母均占用一个字节,即 8 个比特。
2)来看频率这一列。A 5 次,B 1 次,C 6 次,D 3 次,一共 15 比特。
3)来看编码这一列。A 的编码为 11,对应霍夫曼树上的 15→9→5,也就是说,从根节点走到叶子节点 A,需要经过 11 这条路径;对应的 B 需要走过 100 这条路径;对应的 D 需要走过 101 这条路径;对应的 C 需要走过 0 这条路径。
4)来看长度这一列。A 的编码为 11,出现了 5 次,因此占用 10 个比特,即 1111111111;B 的编码为 100,出现了 1 次,因此占用 3 个比特,即 100;C 的编码为 0,出现了 6 次,因此占用 6 个比特,即 000000;D 的编码为 101,出现了 3 次,因此占用 9 个比特,即 101101101。
哈夫曼编码从本质上讲,是将最宝贵的资源(最短的编码)给出现概率最多的数据。在上面的例子中,C 出现的频率最高,它的编码为 0,就省下了不少空间。
结合生活中的一些情况想一下,也是这样,我们把最常用的放在手边,这样就能提高效率,节约时间。所以,我有一个大胆的猜想,霍夫曼就是这样发现编码的最优解的。
在没有经过霍夫曼编码之前,字符串“BCAADDDCCACACAC”的二进制为:
10000100100001101000001010000010100010001000100010001000100001101000011010000010100001101000001010000110100000101000011
也就是占了 120 比特。
编码之后为:
0000001001011011011111111111
占了 28 比特。
但考虑到解码,需要把霍夫曼树的结构也传递过去,于是字符占用的 32 比特和频率占用的 15 比特也需要传递过去。总体上,编码后比特数为 32 + 15 + 28 = 75,比 120 比特少了 45 个,效率还是非常高的。
关于霍夫曼编码的 Java 示例,我在这里也贴出来一下,供大家参考。
class HuffmanNode { int item; char c; HuffmanNode left; HuffmanNode right; } class ImplementComparator implements Comparator<HuffmanNode> { public int compare(HuffmanNode x, HuffmanNode y) { return x.item - y.item; } } public class Huffman { public static void printCode(HuffmanNode root, String s) { if (root.left == null && root.right == null && Character.isLetter(root.c)) { System.out.println(root.c + " | " + s); return; } printCode(root.left, s + "0"); printCode(root.right, s + "1"); } public static void main(String[] args) { int n = 4; char[] charArray = { 'A', 'B', 'C', 'D' }; int[] charfreq = { 5, 1, 6, 3 }; PriorityQueue<HuffmanNode> q = new PriorityQueue<HuffmanNode>(n, new ImplementComparator()); for (int i = 0; i < n; i++) { HuffmanNode hn = new HuffmanNode(); hn.c = charArray[i]; hn.item = charfreq[i]; hn.left = null; hn.right = null; q.add(hn); } HuffmanNode root = null; while (q.size() > 1) { HuffmanNode x = q.peek(); q.poll(); HuffmanNode y = q.peek(); q.poll(); HuffmanNode f = new HuffmanNode(); f.item = x.item + y.item; f.c = '-'; f.left = x; f.right = y; root = f; q.add(f); } System.out.println(" 字符 | 霍夫曼编码 "); System.out.println("--------------------"); printCode(root, ""); } }
本例的输出结果如下所示:
字符 | 霍夫曼编码
--------------------
C | 0
B | 100
D | 101
A | 11
给大家留个作业题吧,考虑一下霍夫曼编码的时间复杂度,知道的学弟学妹可以在留言区给出答案哈。