华章数学译丛
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实　分　析（原书第4版）
Real Analysis，Fourth Edition

[美]　 H. L. 罗伊登（H. L. Royden）
P. M. 菲茨帕特里克（P. M. Fitzpatrick）　著
叶培新　李雪华　译
机械工业出版社China Machine Press

第0章　集合、映射与关系的预备知识

在预备知识中，我们描述一些本书始终会用到的集合、映射与关系的概念，给出的论据倾向于合理与易理解，而非基于集合论公理的严格证明.在称为关于集合的Zermelo-Frankel公理系统之上，可以正式地建立集合、关系以及函数的性质.有兴趣的读者可以查阅John Kelley的书《General Topology》［Kel75］、Paul Halmos的书《Nave Set Theory》［Hal98］以及Thomas Jech的书《Set Theory》［Jec06］的引言与附录.

0.1　集合的并与交

对于集合A，元素x是A的成员关系记为x∈A，而x不是A的成员关系记为x∉A.我们常说A的一个成员属于A且称A的成员是A中的一个点.通常集合用花括号表示，因此{x关于x的陈述}是使得关于x的陈述成立的所有元素x的集合.
若两个集合有相同的成员，我们说它们相同.令A和B为集合.若A的每个成员也是B的成员，我们称A为B的子集，记之为AB，也说A包含于B或B包含A.B的子集A称为B的真子集，若A≠B.A和B的并，记为A∪B，是所有或者属于A或者属于B的点的集合，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.这里“或”这个词在非互斥的意义下使用，因此同时属于A和B的点属于A∪B.A和B的交，记为A∩B，是所有同时属于A和B的点的集合，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.A在B中的补，记为B~A，是B中那些不在A中的点的集合，即B~A={x∈B且x∉A}.若在特别的讨论中所有的集合是参考集X的子集，我们常简单地称X~A为A的补.
没有任何成员的集合称为空集，记为∅.不等于空集的集合称为非空的.我们称只有一个成员的集合为单点集.给定集合X，X的所有子集的集合记为P（X）或2^X，称之为X的幂集.
为了避免考虑集合的集合时可能产生混淆,我们常用词“族”或“簇”作为“集”的同义词.令F为集族.F的并，记为，定义为属于F中的至少一个集合的点的集合.F的交，记为，定义为属于F中的每个集合的点的集合.若集族F中的任何两个集合的交是空的，集族F称为是不交的.对于集族F，通过检验集合的包含关系可得到以下等式.
De Morgan等式
即并的补是补的交，且交的补是补的并.
对于集合Λ，假定对每个λ∈Λ，存在已定义的Eλ.令F为集族{Eλ|λ∈Λ}.我们写作F={Eλ}λ∈Λ且称之为F的用指标集（或参数集）Λ标记的指标（或参数化）.

0.2　集合间的映射

给定两个集合A和B，从A到B的映射或函数意味着对A的每个成员指派B的一个成员给它.在B是实数集的情形下，我们总是用“函数”这个词.一般我们记这样的映射为f：A→B，而对A的每个成员x，我们记f（x）为B中指派给x的成员.对于A的子集A′，我们定义f（A′）={b|b=f（a），a为A′的某个成员}：f（A′）称为A′在f下的象.我们称集合A为函数f的定义域，而称f（A）为f的象或值域.若f（A）=B，函数f称为是映上的.若对f（A）的每个成员b恰有A的一个成员a使得b=f（a），函数f称为是一对一的.既是一对一又是映上的映射f：A→B称为是可逆的，我们说该映射建立了集合A与B之间的一一对应.给定一个可逆映射f：A→B，对B中的每个点b，恰好存在A中的一个成员a使得f（a）=b，它被记为f-1（b）.这个指派定义了映射f^-1：B→A，称之为f的逆.两个集合A和B称为是对等的，若存在从A映到B的可逆映射.从集合论的观点看，对等的两个集合是不可区分的.
给定两个映射f：A→B和g：C→D使得f（A）C，则复合gºf：A→D定义为对每个x∈A，［gºf］(x)=g（f（x））.不难看出可逆映射的复合是可逆的.对于集合D，定义恒等映射idD：D→D为对所有x∈D，idD（x）=x.映射f：A→B是可逆的，当且仅当存在映射g：B→A使得
　即便映射f：A→B不是可逆的，对于集合E，我们定义f^-1（E）为集合{a∈A|f(a)∈E}，称之为E在f下的原象.我们有下面有用的性质：对于任何两个集合E1和E2，
与
最后，对于映射f：A→B和它的定义域A的一个子集A′，f在A′上的限制，记为f|A′，是从A′到B的映射，它将f（x）指派给每个x∈A′.

0.3　等价关系、选择公理以及Zorn引理

给定两个非空集A和B，A和B的笛卡儿积，记为A×B，定义为所有有序对（a，b）的族，其中a∈A而b∈B，且我们考虑（a，b）=（a′，b′）当且仅当a=a′且b=b′.对于非空集合X，我们称X×X的子集R为X上的一个关系，且写作xRx′，若（x，x′）属于R.关系R称为自反的，若对所有x∈X有xRx；关系R称为对称的，若x′Rx则xRx′；关系R称为传递的，若xRx′且x′Rx″则xRx″.
定义　集合X上的关系R称为等价关系，若它是自反的、对称的和传递的.给定集合X上的等价关系R，对每个x∈X，集合Rx={x′x′∈X，xRx′}称为x（关于R）的等价类.等价类族记为X/R.例如，给定集合X，对等关系是X的所有子集组成的族2X上的等价关系.一个集合关于对等关系的等价类称为该集合的势.
令R为集合X上的等价关系.由于R是对称的和传递的，Rx=Rx′当且仅当xRx′，因此等价类族是不交的.由于关系R是自反的，X是等价类的并.因此X/R是X的非空子集的不交族，其并是X.反过来，给定X的非空子集的不交族F，其并是X，属于F中的同一个集的关系是X上使得F=X/R的等价关系R.
给定集合X上的等价关系，常常有必要选取X的子集C，它恰好由每个等价类的一个成员组成.这样的集合的存在是否显而易见？Ernst Zermelo唤起了人们对从集族中选取元素这一问题的注意.比方说，我们定义两个实数为有理等价，若它们的差是一个有理数.容易检验这是实数集上的一个等价关系，但不易确认一个实数集恰好由每个有理等价类的一个成员组成.
定义　令F为非空集的非空簇.F上的一个选择函数f是从F到的函数，它具有以下性质：对F中的每个集合F，f（F）是F的一个成员.
Zermelo选择公理　令F为非空集的非空族，则F上存在选择函数.非常粗略地说，非空簇上的选择函数从该簇的每个集合“选取”一个成员.我们已采用非正式的、描述性的方法引入集合论，相应地我们将自由地、毫不费力地应用选择公理.
定义　非空集合X上的关系R称为偏序,若它是自反的、传递的，且对X中的x，x′若xRx′且x′Rx，　则x=x′　　
X的子集E称为是全序的，若对E中的x，x′，或者xRx′或者x′Rx.X的成员x称为是X的子集E的一个上界，若对所有x′∈E，x′Rx；而称之为最大的，若X中使得x′Rx的唯一成员是x′=x.
对于集簇F和A，B∈F，定义ARB，若AB.集合的被包含关系是F的偏序.观察到F中的集合F是F的子簇F′的一个上界，若F′中的每个集合是F的子集；而F中的集合F是最大的,若它不是F中任何集合的真子集.类似地，给定集簇F和A，B∈F，定义ARB，若BA.集合的包含关系是F的偏序.观察到F中的集合F是F的子簇F′的一个上界,若F′的每个集合包含F；而F中的集合F是最大的,若它不真包含F中的任何集合.
Zorn引理　令X为偏序集.它的每个全序子集有一个上界.则X有一个最大元.
我们将用Zorn引理证明一些重要的结果，包括Hahn-Banach定理、Tychonoff乘积定理、Krein-Milman定理.Zorn引理等价于Zermelo选择公理.该等价性和相关等价关系的证明，见Kelley［Kel75］，pp.31-36.
我们已定义了两个集合的笛卡儿积.对一般的参数化集族定义笛卡儿积是有用的.对于由集合Λ参数化的集族{Eλ}λ∈Λ的笛卡儿积，记为，定义为从Λ到使得对每个λ∈Λ，f（λ）属于Eλ的函数f的集合.显然选择公理等价于非空集的非空簇的笛卡儿积是非空的这一断言.注意到笛卡儿积是对参数化的集簇定义的，而相同的簇的两个不同的参数化将有不同的笛卡儿积.笛卡儿积的这个一般定义与对两个集合给出的定义一致.事实上，考虑两个非空集A和B.定义Λ={λ1，λ2}，其中λ1≠λ2，接着定义Eλ1=A与Eλ2=B.该映射将有序对（f（λ1），f（λ2））指派给函数f∈是一个将笛卡儿积映到有序对族A×B的可逆映射，因此这两个集合是对等的.对于两个集合E和Λ，对所有λ∈Λ定义Eλ=E，则笛卡儿积∏λ∈ΛEλ等于由所有从Λ到E的映射组成的集合且记为E^Λ.