我们可以把量子力学的框架总结为“三大神秘”和“一个必需”。“三大神秘”包括：叠加，测量，纠缠。“一个必需”则是：对量子态的变换。从这四个元素，可以引出“量子比特”，以及多种多样的量子算法和量子通信方案。
作者网名： 中科大胡不归
化学博士，中国科学技术大学副研究员，中国科学技术大学科技与战略风云学会会
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【本文在“墨子号”量子卫星发射前夕应邀写作，分两篇连载于《中国国家天文》2016年第7期和第8期。感谢中国科学技术大学宣传部褚建勋副部长、范琼老师出色的组织工作，以及云南大学陈清研究员、中国科学技术大学彭新华教授在科学内容方面的宝贵意见。】
《中国国家天文》杂志为国家天文台主办，特邀顾问李政道。本刊着力于天文人文结合，涉及天文学、空间科学及航天、地理、历史、哲学等。为美国著名天文杂志《Sky & Telescope》中国独家版权合作者，内容权威，图片精美，欢迎订阅。
《中国国家天文》2016年第7期封面
中国即将发射全球第一颗“量子卫星”，这是科学界的一件大事，也是产业界的一件大事。量子卫星的科学意义究竟是什么呢？量子卫星的全称是量子科学实验卫星，它是用来做量子信息实验的。我们将在这里介绍量子信息学的基本框架，并回答若干常见的问题，给出一幅大图景。希望读者今后看到层出不穷的相关消息时，理解它们在说什么，不再感叹“不明觉厉”。
基于浮空平台的量子密钥分发
量子、台阶、离散
一个首当其冲的问题是，什么是量子？这个词虽然看起来有些抽象，但实际的意思却很简单，可以解释为“离散变化的最小单元”。比如我们登台阶时，只能上一个台阶、两个台阶等，而不可能上半个台阶、1/3个台阶等，这就是一种离散的概念，一个台阶就相当于一个量子。
在微观世界里，很多物理量都是离散变化的，这是微观世界的一种本质特征。例如，氢原子中电子的能量只能取一个基本值（-13.6电子伏特）或者它的1/4、1/9、1/16、1/25等等，但不能取其2倍或1/2、1/3。准确地描述微观世界的物理学理论就是量子力学。
宏观物体是由微观粒子组成的，所以要准确描述宏观世界，原则上也必须用量子力学。牛顿力学只是量子力学在宏观条件下的一个近似理论，又被称为经典力学。在后文中，我们将会看到在某些问题中经典结果和量子结果的对比。读者只要记住“如果两个结果不一致，量子总是对的，经典总是错的”，就差不多了。
新旧量子论
量子力学的起源是在1900年，普朗克（Max Planck）在研究“黑体辐射”问题时，第一次发现必须把某个物理量当作离散变化的，在黑体辐射中这个物理量是辐射携带的能量。在此基础上，爱因斯坦（Albert Einstein）、玻尔（Niels Henrik David Bohr）、德布罗意（Louis Victor de Broglie）等人后来提出了许多重要的概念，大大扩展了量子力学的应用范围。
有趣的是，爱因斯坦获得诺贝尔物理学奖，是因为他在解释光电效应时提出了光量子理论，而不是因为相对论。上述这些科学家的工作被后人称为“旧量子论”，因为，虽然屡经扩展，这些理论却仍然是一堆智慧的碎片，缺乏统一的数学框架，对稍微复杂一点的体系就无法定量处理了。
1925年，这种状况被海森堡（Werner Karl Heisenberg）的工作所改变，他使用矩阵的数学语言，第一次给出了一套能够精确描述任何微观现象的理论。过了没多久，薛定谔（Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger）用微分方程的数学语言给出了另一套理论，很快又证明了两种理论是等价的。从那以后，人类更深一步地了解了微观世界的奥秘，进而创造了不计其数的奇迹。
量子力学创始人群像
量子力学对阵相对论
量子力学和相对论是二十世纪的两大革命性科学理论，对人类的世界观都造成了巨大的震撼。但科学界之外的人往往不知道，其实这两者在实际应用和研究的活跃程度上相差甚远。
未来的量子通信（示意图）
量子力学能用来干什么呢？更该问的是它不能干什么！宏观物质的性质是由其微观结构决定的，所以量子力学解释了导电性、导热性、硬度、超导、超流、相变等日常可以见到的多种物理现象。可以说，现代社会硕果累累的技术成就，几乎都与量子力学有关。
另一方面，相对论在物体以接近光速运动时和强引力场条件下有基础作用。可是想一想，日常生活中有多少机会遇到这些情况呢？所以目前相对论的应用，局限在宇宙学、原子钟、全球定位系统等领域。拢起来能讲出不少，跟量子力学的应用相比却是九牛一毛。
量子态叠加（想象图）
因此，现在所有的物理专业学生和许多相关专业（尤其是化学）的学生，都要学量子力学，而学广义相对论的只有少数理论物理专业的学生。在科技新闻中你会发现，量子力学领域日新月异，相对论领域却是在验证爱因斯坦100年前预测的引力波。
多重量子态（想象图）
量子力学的“三大神秘”和“一个必需”
从信息科学的角度看，量子力学是一种可资利用的数学框架。能不能利用量子框架做到在经典框架下做不到的事？这就是量子信息研究的问题。
向非专业的读者解释量子力学，从来就是一个难题。从帮助人们通俗地理解量子信息的角度来说，我们可以把量子力学的框架总结为“三大神秘”和“一个必需”。“三大神秘”包括：叠加，测量，纠缠。“一个必需”则是：对量子态的变换。
从这四个元素，可以引出“量子比特”，以及多种多样的量子算法和量子通信方案。下面分别来介绍这些元素。
每当你感到“这怎么可能”、“这不是胡说八道吗”的时候，请记住，这些原理不是某个科学家的心血来潮无端虚构，而是已经经过近百年来的无数实验反复证明的，其应用范围几乎涉及我们身边所有事物。
第一大神秘：叠加
比特是计算机科学的基本概念，指的是一个有且仅有两个可能的状态“0”和“1”的体系，这类似于硬币的正、反两个面。但在量子力学中，情况出现了本质的不同。量子力学有一条基本原理叫做叠加原理：如果两个状态是一个体系允许出现的状态，那么它们的任意线性叠加也是这个体系允许出现的状态。
那么，什么叫做“状态的线性叠加”呢？为了说清楚这一点，最方便的办法是用一种数学符号表示量子力学中的状态，就是在一头竖直一头尖的括号“|>”中填一些表征状态特征的字符。在量子信息中，经常把两个基本状态写成|0>和|1>。而|0>和|1>的线性叠加，就是a|0> + b|1>，其中a和b是两个常数。这种符号是狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac）发明的，称为狄拉克符号。叠加原理说的是，如果一个体系能够处于|0>和处于|1>，那么它也能处于任何一个a|0> + b|1>。后面在讨论第二大神秘“测量”的时候，我们会看到，对a和b唯一的限制就是它们的绝对值的平方和等于1，即|a|^2 + |b|^2 = 1。
叠加原理乍看起来完全和常识相反。假如用|0>代表你正在北京喝茶，|1>当作你正在巴黎喝茶，那么(|0> + |1>)/√2就意味着你同时处于北京与巴黎喝茶！这种状态怎么可能存在呢？但量子力学的一切实验结果都表明，叠加原理是正确的，是一条必不可少的基本原理。至少在微观世界的应用中，科学家对叠加原理充满信心。一个电子确实可以同时位于两个地方。至于宏观世界里为什么没见过一个人同时位于两处，那是另一个深奥的问题，相当于著名的问题“薛定谔的猫”，我们在本文中不做更多的讨论。
量子叠加
在叠加原理的框架下，经典的比特变成了量子比特，也就是说它不是只能取0或取1了，而是可以处于任意的a|0> + b|1>状态，包括a = 1、b = 0的|0>和a = 0、b = 1的|1>。这是个巨大的扩展，可以想象，一个量子比特潜在地包含比一个经典比特大得多的信息量。之所以说“潜在地”，是因为这只是一个可能性，要发挥出来还需要十分聪明的实验设计。
量子纠缠（想象图）
为了更方便地理解这个概念，我们可以把一个量子力学的状态理解成一个矢量，实际上狄拉克符号|>正是为了让人联想到矢量而设计的。在一个由这些态矢量组成的平面上，|0>和|1>定义了两个方向，相当于两个坐标轴上的单位矢量。在|a|^2 + |b|^2 = 1的条件下，a|0> + b|1>就是任何一个从原点到半径为1的单位圆上一点的矢量。看清楚这个几何图象，我们立刻就明白，单位圆上任何一点的地位都是相同的，没有一个状态比其他状态更特殊，可谓“众生平等”。
多世界理论（想象图）
现在来定义两个状态，|+> = (|0> + |1>)/√2和|-> = (|0> - |1>)/√2。它们相当于|0>和|1>都向一边旋转45度。如果把|+>和|->当作基本状态，用它们的线性叠加来表示所有的其他状态，同样是可行的。取一组矢量，如果其他所有的矢量都能表示成这组矢量的线性叠加，那么这组矢量就叫做“基组”。|0>和|1>构成一个基组，|+>和|->也构成一个基组，这样的基组有无穷多个。
第二大神秘：测量
在经典力学中，测量固然是一种重要的操作，但我们并不会认为测量过程跟其他过程服从不同的物理规律。可是在量子力学中，测量跟其他过程确实有本质性的区别，描述量子力学中的测量要用与众不同的物理规律！关于量子力学的许多著名的争论，如“薛定谔的猫”、多世界理论，都是由测量造成的。我们在这里不拟详细讨论这些争论，而是直接给出绝大多数科学家接受的共识。
量子力学中的测量，特殊在哪里呢？首先，一次测量必须对应某个基组。不同次的测量可以改变基组，比如说这次用|0>和|1>，下次用|+>和|->，这是允许的，但你每次必须说清当前用的是哪个基组。然后，在|0>和|1>的基组中测量a|0> + b|1>（a和b都不等于0），会使这个状态发生突变，变成|0>和|1>中的某一个。我们无法预测特定的某次测量变成|0>还是|1>，能预测的只是概率：以|a|2的概率得到|0>，|b|2的概率得到|1>。由于只可能有这两种结果，所以这两个概率相加等于1，这就是前面所说的|a|2 + |b|2 = 1的来源。
量子测量
举个例子，在|0>和|1>的基组中测量|+> = (|0> + |1>)/√2，会以1/2的概率得到|0>，1/2的概率得到|1>。1/2概率的意思是，如果你重复这个实验很多次，可以预测有接近一半的次数得到|0>，接近一半的次数得到|1>。但对于单独的一次实验，你没办法做出任何预测。也就是说，同样的原因可以导致不同的结果！
量子态
这种内在的随机性是量子力学的一种本质特征。在经典力学中，一切变化都是有确定原因的，同样的原因必然要导致相同的结果，而量子力学却不是。
量子力学实验室
有人在这里可能要问：经典力学中也有随机性，掷硬币不就是一半可能朝上，一半可能朝下吗？回答是：同样是概率，背后的原因不一样，可改进的余地也不一样。掷硬币的结果难以预测，是因为相关的外界因素太多：硬币出手时的方位、速度、空中的气流状况等等。也就是说，掷硬币的概率反映的是信息的缺失。你可以通过减少这些因素的干扰来增强预测能力，例如在真空中掷，消灭气流，用机器掷，固定方向和力度，最终使得掷出某一面的机会显著超过另一面。但在量子力学中，概率是由体系本身的状态决定的，不是由于外界的干扰，不是由于缺少任何信息，因此完全没有办法做什么“改进”。所以再次强调，这种随机性是内在的，是量子力学的一种本质特征！
第三大神秘：纠缠
前面说的都只是一个量子比特的体系，已经有这么多不可思议之处。多个量子比特的体系，可想而知会更加奇怪。
EPR对（想象图）
在经典力学中，我们如何描述一个两粒子体系的状态？我们会说，粒子1处于某某状态，粒子2处于某某状态。在量子力学中，有些两粒子体系的状态也可以用这种方式来描述，例如常用狄拉克符号|00>表示两个粒子都处于自己的|0>态，|01>表示粒子1处于|0>态，粒子2处于|1>态，|11>表示两个粒子都处于自己的|1>态。在数学上，把这样的状态称为两个单粒子状态的“直积”，就是直接相乘的意思。我们还可以用直积来定义两个粒子都处于自己的|+> =(|0> + |1>)/√2态的状态，即|++> = [(|0> + |1>)/√2] [(|0> + |1>)/√2] = (|00> + |01> + |10> + |11>)/2。看起来，直积态已经能表示所有的多粒子态了，但是这不对，事实并非如此！
漫画：贝尔不等式
考虑这样一个两粒子状态：(|00> + |11>)/√2。它是|00>和|11>的一个叠加态（是的，叠加原理对于多粒子体系也适用），我们把它记作|β00>。这个态能不能写成两个单粒子态的直积呢？也就是说，(|00> + |11>)/√2能不能写成(a|0> + b|1>) (c|0> + d|1>)？回答是不能。因为这个状态中不包含|01>，也就是说ad = 0，但是a如果等于0，|00>就不会出现，而d如果等于0，|11>又不会出现。无论如何都矛盾，所以只能承认这个状态不能分解成两个单粒子态的直积。这就意味着，不能用“粒子1处于某某状态，粒子2处于某某状态”来描述|β00>。
那么对于|β00>，我们能说些什么呢？你去测量粒子1的状态，会以一半的概率得到|0>，与此同时粒子2也变成|0>；以一半的概率得到|1>，与此同时粒子2也变成|1>。你无法预测单次测量时粒子1变成什么，但你可以确定，粒子1变成什么，粒子2也同时变成了什么。两者似乎被一种神秘的力量绑在一起，总是同步变化。只要不是直积态，对一个粒子的测量就必定影响另一个粒子，这种现象就叫做“纠缠”，这样的状态称为“纠缠态”。
量子纠缠
EPR对
有趣的是，纠缠这个重要的量子力学现象，是由几位反对量子力学的人提出的。而这几位反对量子力学的人当中，领头的就是爱因斯坦！
如前所述，爱因斯坦曾经对旧量子论的发展做出重要的贡献，他得诺贝尔奖是因为提出光量子理论而不是因为相对论（当然这是诺贝尔奖评奖委员会在开历史玩笑，不是爱因斯坦的问题）。但随着新量子论的发展，爱因斯坦对量子力学的许多特性产生了深深的怀疑。他认为每个粒子在测量之前都应该处于某个确定的状态，而不是等到测量之后。在他看来，这才叫“物理实在”。爱因斯坦的一个经典问题是：“你是否相信，月亮只有在我们看它的时候才存在？”
1935年，爱因斯坦、波多尔斯基（Boris Podolsky）和罗森（Nathan Rosen）提出了一个思想实验，后人用他们的姓名首字母称为EPR实验。先让两个粒子处于|β00>态，这样一对粒子称为“EPR对”。然后把这两个粒子在空间上分开很远，可以任意的远。然后测量粒子1。如果你测得粒子1在|0>，那么你就立刻知道了粒子2现在也在|0>。好比成龙电影《双龙会》中有心灵感应的双胞胎，一个做了某个动作，另一个无论有多远都会做同样的动作。而最重要的问题是，既然两个粒子已经离得非常远了，粒子2是怎么知道粒子1发生了变化，然后发生相应的变化的？EPR认为两个粒子之间出现了“鬼魅般的超距作用”，信息传递的速度超过光速，从而违反了狭义相对论。所以，看来量子力学肯定有“问题”。
玻尔与爱因斯坦
这个问题非常深邃。不过量子力学有一个标准回答：处于纠缠态的两个粒子是一个整体，绝不能把它们看作彼此独立无关的，无论它们相距有多远。当你对粒子1进行测量的时候，两者是同时发生变化的，并不是粒子1变了之后传一个信息给粒子2，粒子2再变化。所以这里没有发生信息的传递，并不违反相对论。
量子通信（想象图）
贝尔不等式
在爱因斯坦的时代，人们只能对EPR实验进行哲学辩论，无法通过实验做出判断。1964年，贝尔（John Stewart Bell）指出，可以设计一种现实可行的实验，把双方的矛盾明确表现出来。对两粒子体系测量某些物理量之间的关联，如果按照EPR的观点，这些物理量在测量之前就有确定的值，那么这个关联必然小于等于2；而按照量子力学，这个关联等于2√2，大于2。这个经典体系应该满足的不等式就叫做贝尔不等式，而量子力学不满足贝尔不等式。
量子通信网络（想象图）
1980年代，阿斯佩克特（Alain Aspect）等人做了实验，结果是在很高的置信度下违反贝尔不等式。EPR的思想实验最初是用来批驳量子力学的，结果却证实了量子力学的正确！
类似的故事在科学史上也有。十九世纪的时候，泊松（Simeon-Denis Poisson）主张光是粒子，菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel）主张光是波动。1818年，菲涅耳计算了圆孔、圆板等形状的障碍物产生的衍射花纹。泊松指出，按照菲涅耳的理论，在不透明圆板的正后方中央会出现一个亮点。他认为这是不可能的，于是宣称驳倒了波动说。但菲涅耳和阿拉果（Dominique Francois Jean Arago）立即做实验，结果显示果然有亮斑出现，波动说大获全胜。后人很有幽默意味地把这个亮点称为泊松亮斑。这正应了尼采的话：“杀不死我的，使我更强大！”
EPR现象既然是一个真实的效应，而不是爱因斯坦等人以为的悖论，人们就想到利用它。现在EPR对成了量子信息中最有力的工具。对此我们只能说，深刻的错误超过浅薄的正确，伟人连错误都是很有启发性的！
现在科学家们认为，纠缠是一种新的基本资源，其重要性可以和能量、信息、熵或任何其他基本的资源相比。但目前还没有描述纠缠现象的完整的理论，人们对这种资源的理解还远不够深入。有人把纠缠比喻为“青铜时代的铁”，它可能会在下一个历史时代大放异彩。
量子计算（想象图）
一个必需：对量子态的变换
前面说了这么多，都是对量子态的描述，还没有回答另一个基本问题：如何把一个态变成另一个态？对这个问题的回答倒是不神秘：所有的可逆变换都是可以实现的。用线性代数的术语说，可逆变换就是“酉变换”，不过在下文中我们不使用这个术语。
在可逆变换中，信息没有损失。例如对两粒子体系，有一个对换操作，把两个粒子的状态对换，即把|ab>变成|ba>。如果这个操作连续进行两次，就回到了最初的状态，例如|01>变成|10>，又变回了|01>。
测量也能改变量子态，但它是不可逆的，会丢失信息。例如对处于|+> =(|0> + |1>)/√2态的一个粒子，在|0>和|1>基组下测量，第一次测量得到|0>，那么后面你再做多少次同样的测量，体系都一直保持在|0>，再也不可能回到|+>态了。在经典力学的实验中，随便在哪里进行一次测量都没有关系。但在量子力学的实验中，在某个地方进行一次测量会造成不可逆的后果（不一定是有害的），所以一定要仔细设计，确保由此得到的结果对实验的目的有利。事实上，量子信息的许多应用都用到了测量操作，例如后面要谈到的量子隐形传态、量子密码术。
量子信息的优势
从上述内容可以看出，量子信息跟经典信息相比有很大的优势。经典比特的0和1只有两个状态，量子比特的a|0> + b|1>却有无穷多个状态，这是一个显而易见的优势。还有一个稍微复杂一点的优势。一个包含n个经典比特的体系，总共有2n个状态。想知道一个变换在这个n比特体系上的效果，需要对这2n个状态都计算一遍，总共要2n次操作。对n个量子比特的体系，却有一个巧妙的办法。使所有量子比特都处于自己的|+>态，那么整个体系的状态是|++…+> = (|00…0> + |00…1> + … + |11…1>) /2n/2，0和1的所有长度为n的组合都出现在其中。对这个叠加态做一次操作，所有2n个结果都会产生出来！
量子计算机（想象图）
但在欢呼之前，我们需要认清，这个巨大的优势并不容易利用。因为所有2n个结果是叠加在一起的，要读取出其中某一个需要做测量，而一做测量就把其余的结果破坏了。所以这个优势只能称为潜在的巨大优势，真要利用它，需要非常聪明的算法设计，只有对极少数问题能够设计出这样的算法。有些科普文章把量子计算机描写成无所不能，这是重大的误解。量子计算机的强大，是与问题相关的，只针对特定的问题。
原文发布时间为：2017-01-17
本文作者：袁岚峰
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