进位计数制及其转换

 

十进制数

进位计数制是一种计数的方法，习惯上最常用的是十进制计数法。十进制数的每位数可以用下列10个数码之一来表示：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。十进制数的基数为10，基数表示进位制所具有的数码的个数。

十进制数的计数规则是“逢十进一”，也就是说，每位累计不能超过9，计满10就应向高位进1

（N）₁₀=(a_n-1a_n-2…a₁a₀a_-1a_-2…a_-m)₁₀

(N)₁₀=a_n-1*10^n-1+a_n-2*10^n-2+…+a₁*10¹+a₀*10⁰+a_-1*10^-1+a_-2*10^-2+…+a_-m*10^-m

1.2.2二进制数、把进制数和十六进制数

计算机中为了便于存储及计算的物理实现，采用了二进制。二进制数的基数为2，只有0、1两个数码，其计数规则是“逢二进一”，即每位计满2就向高位进1.它的各位的权是以2ⁱ表示的。

（N）₂=(a_n-1a_n-2…a₁a₀a_-1a_-2…a_-m)₂

(N)₂=a_n-1*2^n-1+a_n-2*2^n-2+…+a₁*2¹+a₀*2⁰+a_-1*2^-1+a_-2*2^-2+…+a_-m*2^-m

 

 

把进制数的基数是8，采用的数码是0、1、2、3、4、5、6、7。把进制数的计数规则是“逢八进一”，它的各位的权是以8ⁱ表示的。通常，对八进制数的表示，可以在数字的右下角标注8或O，但在C语言中是在数的前面加数字O表示。

 

把进制数的基数是16，采用的数码是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、

D、E、F。其中A、B、C、D、E、F分别表示十进制数数字10、11、12、13、14、15。十六进制的计数规则是“逢十六进一”，它的各位的权是以16ⁱ表示的。通常，对十六进制的数的表示，可以在数字的右下角标注16或H，但在C语言中是在数的面前加数字0和字母X即0X来表示。

 

 

由此得出：十进制、八进制、二进制与十六进制的特征对照表如表所示：

 

进制	数码	计数规则	数的表示法
十进制	0~9	逢十进一	（1234）10
二进制	0、1	逢二进一	（101）2
八进制	0~7	逢八进一	（3467）8
十六进制	0~9、A~F	逢十六进一	（46AF）16

 

 

 

<一>二进制数和十进制数的转换

1.       二进制转换为十进制数

例如：

（11101.01）₂=1*2⁴+1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2=16+8+4+0+1+0+0.25=（29.25）₁₀

 

2.       十进制转换为二进制数

（1）整数部分转换

把要转换的十进制数的整数部分不断除以基数2，并记下余数，直到商为0为止。

（N）₁₀=(123)₁₀

123/2=61          (a₀=1)                          最低整数位

61/2=30            (a₁=1)

30/2=15            (a₂=0)

15/2=7               (a₃=1)

7/2=3                 (a₄=1)

3/2=1                 (a₅=1)

1/2=0                 (a₆=1)                          最高整数位

(N)₁₀=(1111011)₂

（2）小数部分转换

（N）₁₀=(0.468)₁₀

<二>二进制数、八进制数和十六进制数的转换

(2)小数部分转换

对于被转换的十进制数的小数部分则应不断乘以基数2，并记下其整数部分，直到结果的小数部分为0为止。

（N）₁₀=（0.945）₁₀

（N）₁₀=（0.8125）₁₀

0.8125*2=1.625       (b1=1)                最高小数位

0.625*2=1.25  (b2=1)

0.25*2=0.5       (b3=0)

0.5*2=1.0         (b4=1)                最低小数位

(N)₁₀=(0.1101)₂

在十进制的小数部分转换中，有时连续乘以2不一定能使小数部分等于0，这说明该十进制小数不能用有限位二进制小数表示。这时，只要取足够多的位数，使其误差达到所要求的精度就可以了。

(N)₁₀=(123)₁₀

123/8=15         (a₀=3)       最低整数位

15/8=1               (a₁=7)

1/8=0                 (a₂=1)       最高整数位

(N)₁₀=(165)₈

(N)₁₀=(0.8125)₈

0.8125*8=6.5  (b₁=6)最高小数位

0.5*8=4.0         (b₂=4)最低小数位

(N)₁₀=(0.64)₈

二进制数、八进制数和十六进制数的转换

八进制数的基数是8（8=2₃），十六进制数的基数是16（16=2⁴）。二进制数、八进制数和十六进制数之间具有2的整指数倍的关系，因而可直接进行转换。

 

1.二进制数-->八进制数

 

从小数点开始，分别向左右按3位分组转换成对应的八进制数字字符，最后不满3位的，则需补0

 

具体方法为：

 

二进制数：  001  101  101  .   101   010

八进制数：   1       5    5         5     2

 

(001101101.101010)₂=(155.52)₈

 

 

八进制数-->二进制数

 

将每位八进制数用3位二进制数表示即可。

 

将八进制数（345.64）₈转换成二进制数

 

具体方法为：

八进制数：     3       4       5 . 6    4

二进制数：     011     100     101  110   100

 

（345.64）₈=（11100101.1101）₂

 

3.二进制数-->十六进制数

 

从小数点开始，分别向左、右按4位分组转换成对应的十六进制数字字符，最后不满4位的，则需补0.

 

将二进制数（1101101.10101）₂转换成十六进制数

具体方法为：

二进制数：0110     1101         .        1010         1000

十六进制数： 6       D             A       8

（1101101.10101）₂=(6D.A8)₁₆

 

 

4.十六进制数-->二进制数

 

将每位十六进制数用4二进制数表示即可。

将十六进制数（A8D.6C）₁₆ 转换成二进制数。

具体方法：

十六进制数：         A                8                D                .                 6                C

二进制数：        1010   1000        1101           0110     1100

 

(A8D.6C)₁₆=(101010001101.011011)₂

 

其实，BCD编码在中国大陆称之为“8421码”，用8421码二进制数与八进制数、十进制数、十六进制数相互转换。

本文转自 chen138 51CTO博客，原文链接：http://blog.51cto.com/chenboqiang/407314，如需转载请自行联系原作者