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关于已知两点经纬度求球面最短距离的公式推导

简介:
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已知两点经纬度计算球面距离的公式,一搜一大堆,形式如下:

可是至于这个公式为什么是这样的,今天推导了一下,详细推导过程如下。首先画个图(图1),要不然空间想象能力差的话容易犯糊涂。首先对图1做个大致的说明,红色的半圆表示赤道,蓝色的圆弧表示本初子午线(也就是经度为0的子午线)。球最上方是北极点,点A和点B分别为要计算的两个点,坐标分别为A(jA,wA)和B(jB,wB)。

图1 示意图

 

再开始推导之前,我们需要在图中绘制一些辅助线,便于后面的描述和推导。如图1所示,A(jA,wA),B(jB,wB)两点分别为球面上的两点,坐标为经纬度表示。延A、B两点分别做垂直于赤道平面的垂线交赤道面为C、D两点。连接C、D两点,然后过A做CD的平行线交BD与点E。至此,所有的辅助线绘制完毕。假设地球为一个规则的圆球,半径为R(其实地球是一个椭球体,赤道的半径比极地的半径稍微大一点点)。

第一步:确定已知条件,

 

第二步:在直角和直角中有:

 

第三步:在平面ABCD中,有:

 

第四步:在直角中,使用勾股定理可以得到AB的直线长度。如下:

 

第五步:这里需要引入一个公式(5),就是大名鼎鼎的余弦定理,假设三角形的三个角为A,B,C,则有:

把上面的公式(1)、(2)、(3)、(5)带入(4)中,然后整理可以得到:

 

最后,通过整理得到AB之间的直线距离为:

第六步:我们已经知道AB的直线距离,那么AB的弧长距离可以先通过计算中对应的圆心角,然后用弧长公式计算出来。这里在依旧使用余弦定理公式(5),经过变形可以得到:

 

把式(6)带入式(7),化简得到:

 

最终,我们得到了一个关于圆心角的余弦值的公式:

 

第七步:知道圆心角,计算弧长的公式很简单,使用半径乘以圆心角(弧度单位)即可:

 

所以最后我们就得到了球面上AB的距离应该是:

最后使用公式(10)就可以编写代码来计算球面上任意两点间的最短距离了。这里使用的是一个规则的球来代替的椭球的,肯定会有误差的,一般都用这个公式来进行计算。代码就不写了,也就一两句话就出来了。最后需要注意的就是,需要把经纬度都化成弧度单位。

…………………………………………………华丽的分割线………………………………………………
……………………………………以下内容更新于2013年1月30日…………………………………………

昨天使用立体几何的知识推导了一下球面两点的距离公式,发现比较复杂,今天想到一个简单的方法,使用空间直角坐标系来推导,很方便。首先我们需要建立一个空间坐标系:在赤道平面内,X轴由球心O指向本初子午线,Y轴在赤道平面内垂直于X轴,Z轴垂直于赤道平面朝向北极。还是假设AB两点的经纬度坐标为:A(jA,wA),B(jB,wB)。由该坐标系的定义以及经纬度的定义可以把上面的AB两点的坐标转换为该坐标系中的坐标如下:

 

由两点距离公式可以得到AB的直线距离为:

 

对于球面上的任意一个点(X,Y,Z),都有:

 

把上面的公式整理就可以得到(下面用到了一个积化和差公式):

 

好了,大功告成,是不是比用立体几何要简单的多。接下来就是用上面的弦长和弧长的关系来计算AB的弧长就可以了。



本文转自莫水千流博客园博客,原文链接:http://www.cnblogs.com/zhoug2020/p/7634151.html,如需转载请自行联系原作者

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