Brief
说来惭愧虽然刚接触计算机时已经学过原码、反码和补码的内容，但最近重温时却发现“这是什么鬼东西”，看来当初只是应付了考试了而已。本篇将试图把他们说个明白，以防日后自己又忘记了。
在深入之前，我们先明确以下几点：
1. 本篇内容全部针对有符号数整数；
2. 对于有符号数整数，其在计算机中的存储结构是 符号位 + 真值域。其中符号位为0表示正数，1表示负数；
3. Q：既然已经有原码，那么为什么还要出现反码、补码等数值的编码方式呢？
A：由于为了降低当时计算机物理电路的设计难度，决定采用加法代替减法运算（因此计算机内部是没有减法运算的），即10-5被替换为10+(-5)，而反码、补码就用于解决10+(-5)的问题的。
True Form
原码(称为true form、sign-magnitude 或 sign and magnitude)，就是直接将十进制数转换为二进制数形式。如7的原码为0111，-6的原码为1110。
注意：
1. 原码是区分+0和-0的，+0的原码为0000;-0的原码为1000；
2. 若存储空间为n bit，则原码的取值范围是 -2n-1 ~ 2n-1。
原码在以加法代替减法的运算中引起的问题：
例如在计算0 = 1-1 = 1+(-1) = 0001 + 1001 = 1010 = -2， 发现通过原码来运算时居然会得到0 == -2的结果。于是引入了反码。
一般用于IEEE 754浮点数标准中尾数(significant)的表示。
Ones' Complement
原码转换成反码的规则如下：
1. 正整数原码的反码是其自身。如原码0001的反码是0001；
2. 负整数原码的反码则是对原码真值域的个位数取反即可。如原码1010的反码是1101。
那么将反码转换为原码的规则如下：
1. 正整数反码的反码是其自身。如反码0001的原码是0001；
2. 负整数反码的原码则是对反码真值域的个位数取反即可。如反码1101的原码是1010。
注意：
1. 反码是区分+0和-0的，+0的反码为0111;-0的反码为1111；
2. 若存储空间为n bit，则反码的取值范围是 -2n-1 ~ 2n-1。
反码在以加法代替减法的运算中引起的问题：
例如在计算0 = 1-1 = 1+(-1) = 0001【原码】 + 1001【原码】 = 0001【反码】 + 1110【反码】= 1111【反码】 = 1000【原码】 = -0， 发现通过反码来运算时居然会得到0 == -0的结果。
看到采用反码运算的结果已经非常接近正确结果，但-0对于我们来说还是没有太多的意义。于是引入了补码。
Two's Complement
原码转换成补码的规则如下：
1. 正整数原码的补码是其自身。如原码0001的补码是0001；
2. 负整数原码的补码则是对原码真值域的个位数取反后，整体+1即可。如原码1010的补码是1110。
那么将补码转换为原码的规则如下：
1. 对补码再求一次补码则得到原码。
取补码的流程发生在符号变化时，也就是正、负数间转换。如-(1),-(-1)等。
具体流程如下：
1. 符号位取反；
2. 真值域取反；
3. 整体+1。
因此在进行-(1)运算时，步骤如下（1的补码是0001）：
1. 符号位取反——1001
2. 真值域取反——1110
3. 整体+1——1111
或将步骤1和2合并为对各位取反——1110，然后整体+1——1111
在进行-(-1)运算时，步骤如下（-1的补码是1111）：
1. 符号位取反——0111
2. 真值域取反——1000
3. 整体+1——1001
或将步骤1和2合并为对各位取反——1000，然后整体+1——1001
注意：
1. 补码是不区分+0和-0的，+0和-0的补码为0000;
2. 若存储空间为n bit，则反码的取值范围是 -2n ~ 2n-1。
3. 原码 + 其补码 = 0。
补码在以加法代替减法的运算的结果：
例如在计算0 = 1-1 = 1+(-1) = 0001【原码】 + 1001【原码】 = 0001【反码】 + 1110【反码】= 0001【补码】+ 1111【补码】 = 0000【补码】 = 0000【原码】=0， 发现通过补码来运算时结果恰恰正确。
真相：有符号整数其实是以补码的编码方式存储的。因此C语言的int类型在32位OS上的值范围是：-2n ~ 2n-1。我们可以通过以下的C代码片段要验证：
#include <stdout.h>
#include <string.h>
int main(){
int f = -1;
unsigned long l;
int i;
char s[32];
memcpy(&l, &f, 4);
for (i = 31; i >=0; --i){
if (l % 2 == 1){
s[i] = '1';
}
else{
s[i] = '0';
}
l /= 2;
}
s[32] = '\0';
printf("%s\n", s);
return 0;
}标准输出为：11111111111111111111111111111111（若为原码则应该是10000000000000000000000000001）
到这里我们对原码、反码和补码有一定程度的了解，并通过死记硬背的传统学习方法答对考题应该就不成问题了。但若要自圆其说则不可避免地需要解答以下问题：
1. 为什么补码的方式能解决以加法替代减法时所产生的问题？
下面我们一起来探讨和推导一下吧。
Theory
Modulus
模，是指一个计量系统的计数范围，而模则是产生“溢出”的量。
以时钟为例，时钟的计数范围是0~11，而模（产生“溢出”的量）是12。现在我们将时针从4点逆时针移动2格，和顺时针移动10格，得到的结果均是一样 的。以算术公式表示则是4-2和4+10，一眼看出4-2明显不等于4+10，那为什么时钟上两者结果却是相同的呢？
那是“模”在作怪。当运算结果超出计数范围时，则会执行求模运算，4+10=14>12，12求模后得到2=4+(-2)。这时你会发现负数的补数必定是正数，那么就解决了需要以正数表示负数的需求。接下来就要验证以补数解决以正数表示负数后，参与加法运算是否有问题了。
在深入之前，请大家先了解一下理论：
补数/补码/二补码，若A、B除以M为模执行求模运算后的结果相等，则A与B互为补数，公式：a≡b(mod m)。
求模公式：mod = a - m * La/mJ，其中LJ代表“取下界”符号。（注意：%是取余而不是取模数的运算符，而求模和取余在本质上是不同的）
以下以JS来描述
/**
* @description 求模
* @method mod
* @public
* @param {Number} o - 操作数
* @param {Number} m - 模，取值范围：除零外的数字(整数、小数、正数和负数)
* @returns {Number} - 取模结果的符号与模的符号保持一致
*/
var mod = (o/*perand*/, m/*odulus*/) => {
if (0 == m) throw TypeError('argument modulus must not be zero!')
return o - m * Math.floor(o/m)
}
/**
* @description 求余
* @method rem
* @public
* @param {Number} dividend - 除数
* @param {Number} divisor - 被除数，取值范围：除零外的数字(整数、小数、正数和负数)
* @returns {Number} remainder - 余数，符号与除数的符号保持一致
*/
var rem = (dividend, divisor) => {
if (0 == divisor) throw TypeError('argument divisor must not be zero!')
return dividend - divisor * Math.trunc(dividend/divisor)
}补数定理：
1. 反身性：a≡a(mod m)
2. 对称性：若a≡b(mod m)。则b≡a(mod m)
3. 传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)。则a≡c(mod m)
4. 补数式相加：若a≡b(mod m), c≡d(mod m)。则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)
5. 补数式相乘：若a≡b(mod m), c≡d(mod m)。则ac≡bd(mod m)
6. 互为补数的绝对值相加等于模数：若a≡b(mod m)，则m = |a| + |b|
示例1：对于有符号数-3(采用补码编码：1101)，模m为8（由于最左一位是符号位，不列入模中），对-3取补得到-5(采用补码编码：1011)。
得到8=|-3| + |-5|。
7. 若a、b均为正数，则mod(a + b, m) = mod(a, m) + mod(b, m)
Derivation
有了上述模数的理论后我们可以挽起衣袖开始推导了！
首先假设现在以n位二进制位来存储数据，其中最左一位为符号位，那么模则是2n-1。然后以a表示某正整数，b表示某负整数，并且c为b的补数。
1. 整理出 b≡c(mod 2n-1)，a≡(mod 2n-1)
2. 根据补数式相加得到 a+b≡a+c(mod 2n-1)
3. 即 mod(a+b, 2n-1) = mod(a+c, 2n-1)
4. 回顾模的定义“模，是指一个计量系统的计数范围，而模则是产生“溢出”的量”，可知当运算过程中产生“溢出”操作，实质上就是执行取模运算。而我们的存储空间是固定为n位二进制位，因此运算的最后一步默认就是取模运算。因此a+b与a+c在存储空间固定的前提下，最终结果必然相等。
上面已经证明了以补数来实现减法加法化，以正数表示负数的有效性。那下面我们来看看将原码转换为补码的规则为什么是成立的。
假设以n位二进制位来存储数据，其中最左一位为符号位
模 = 2n-1 = 1 + 1*2 + 1*22 + ...... + 1*2n-2 + 1
某负数原码a = k0 + k1*2 + k2*22 + ...... + kn-2*2n-2
根据“互为补数的绝对值相加等于模数：若a≡b(mod m)，则m = |a| + |b|”
a的补码 = 2n-1 - a = (1-k0) + (1-k1)*2 + (1-k2)*22 + ...... + (1-kn-2)*2n-2 + 1
由于k0,k1等的值不是0就是1，因此等价于作取反操作，然后最后再加1。
Conclusion
ANSI C标准中并没有规定必须用补码来表示有符号整数，但几乎所有实现都采用补码的表示方式。而Java则规定采用补码表示有符号整数。
