线性回归之最小二乘法

线性回归

线性回归是很常见的一种回归，线性回归可以用来预测或者分类，主要解决线性问题。

最小二乘法

线性回归过程主要解决的就是如何通过样本来获取最佳的拟合线。最常用的方法便是最小二乘法，它是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

代数推导：

1. 假设拟合直线为$y=ax+b$
2. 对任意样本点$(x_i,y_i)$
3. 误差为$e=y_i-(ax_i+b)$
4. 当$S=\sum_{i=1}^{n}{e_i}^2$为最小时拟合度最高，即$\sum_{i=1}^{n}{(y_i-ax_i-b)}^2$最小。
5. 分别求一阶偏导
   $$\frac{\partial S}{\partial b}=-2(\sum_{i=1}^{n}{y_i}-nb-a\sum_{i=1}^{n}{x_i})$$

$$\frac{\partial S}{\partial a}=-2(\sum_{i=1}^{n}{x_iy_i}-b\sum_{i=1}^{n}{x_i}-a\sum_{i=1}^{n}{x_i}^2)$$

6.分别让上面两式等于0，并且有$n\bar x=\sum_{i=1}^{n}x_i$，$n\bar y=\sum_{i=1}^{n}y_i$

7.得到最终解

$$a=\frac {\sum_{i=1}^{n}({x_i-\bar x})(y_i-\bar y)} {\sum_{i=1}^{n}({x_i-\bar x})^2}$$
$$b=\bar y-a\bar x$$

结果也可以如下

$$a=\frac {n\sum_{}^{}{x_iy_i}-\sum_{}^{}{x_i}\sum_{}^{}{y_i}} {n\sum_{}^{}{x_i}^2-(\sum_{}^{}{x_i})^2}$$

$$b=\frac {\sum_{}^{}{x_i}^2\sum_{}^{}{y_i}-\sum_{}^{}{x_i}\sum_{}^{}{x_iy_i}} {n\sum_{}^{}{x_i}^2-(\sum_{}^{}{x_i})^2}$$

代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def calcAB(x,y):
    n = len(x)
    sumX,sumY,sumXY,sumXX =0,0,0,0
    for i in range(0,n):
        sumX  += x[i]
        sumY  += y[i]
        sumXX += x[i]*x[i]
        sumXY += x[i]*y[i]
    a = (n*sumXY -sumX*sumY)/(n*sumXX -sumX*sumX)
    b = (sumXX*sumY - sumX*sumXY)/(n*sumXX-sumX*sumX)
    return a,b,

xi = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
yi = [10,11.5,12,13,14.5,15.5,16.8,17.3,18,18.7]
a,b=calcAB(xi,yi)
print("y = %10.5fx + %10.5f" %(a,b))
x = np.linspace(0,10)
y = a * x + b
plt.plot(x,y)
plt.scatter(xi,yi)
plt.show()

运行结果

矩阵推导

1. 对于$y=ax+b$转为向量形式
   $$W=\begin{bmatrix} w_0\\ w_1 \end{bmatrix}$`，`$X=\begin{bmatrix} 1\\ x_1 \end{bmatrix}$$
2. 于是$y=w_1x_1+w_0=W^TX$
3. 损失函数为
   $$L=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_n-(W^TX)^2)=\frac{1}{n}(y-XW)^T(y-XW)$$
   最后可化为

$$\frac{1}{n}X^TW^TXW-\frac{2}{n}X^TW^Ty+\frac{1}{n}y^Ty$$

1. 令偏导为0

$$\frac{\partial L}{\partial W}=\frac{2}{n}X^TXW-\frac{2}{n}X^Ty=0$$
另外， $(X^TX)^{-1}X^TX=E$， $EW=W$
则，
$$(X^TX)^{-1}X^TXW=(X^TX)^{-1}X^Ty$$

$$W=(X^TX)^{-1}X^Ty$$

代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
y = [10,11.5,12,13,14.5,15.5,16.8,17.3,18,18.7]

A = np.vstack([x,np.ones(len(x))]).T

a,b = np.linalg.lstsq(A,y)[0]
print("y = %10.5fx + %10.5f" %(a,b))
x = np.array(x)
y = np.array(y)

plt.plot(x,y,'o',label='data',markersize=10)
plt.plot(x,a*x+b,'r',label='line')
plt.show()

运行结果

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