优化模型案例

案例1 生产决策问题   （一个简单的线性规划问题）

某工厂在计划期内要安排I、II两种产品生产。生产单位产品所需的设备台时，A，B两种原材料的消耗，资源的限制以及单件产品利润如下表所示

问工厂应分别生产多少单位产品I和产品II，才能获利最多？

【问题分析】

1. 这是一个生产决策问题，决策者的目标是生产利润最大
2. 与利润有关的是产品的销售量与售价（或单位利润）
3. 生产产品就要消耗资源（这与产量有关），而各种资源又受到数量限制。

经验：收入与销售量有关，而资源的消耗量与产品的产量有关。

【问题假设】

1. 产品I的产量等于销售量；
2. 产品II的产量等于销售量。

【符号设置】

• x1   产品I的一个周期的产量  （单位：件）；
• x2   产品II的一个周期的产量 （单位：件）；
• z  工厂一个周期内的总利润   （单位：元）。

（其中，x1, x2 称为决策变量，决策者唯一能自己决定取值的变量。）

【建立模型】

工厂一个生产周期的总利润   ：

生产资料约束：

其它约束：

因为x1和x2都是产品的产量，所以，从数学意义上，有

厂家的诉求：

一个周期内利润 z 越大越好！(max  z)

以上分析，将生产过程的未知要素（产品产量）用x1, x2表示，各种客观约束都表达为x1,x2的函数不等式，厂家的诉求（利润）也是x1,x2的函数表达式，将这些数学式子写在一起，就是这个规划问题的数学模型.

【数学模型】

这个规划模型，如果抛开这个问题的背景，就是求在五个约束条件下，二元一次函数z=50x1+100x2的最大值，这是一个纯数学意义上的极大值问题。

虽然有些问题的数学结构很难用数学式子来表达，但习惯上我们称决策变量、约束条件、目标函数为规划问题的三要素。这个问题的目标和约束都是决策变量的一次表达式，称为线性规划。

案例2  路灯照亮问题(一个非线性规划问题）

如图所示，在一条s=20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为h1=5m和h2=6m。

1. 在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线路面上最暗的点和最亮的点在哪里？
2. 如果3kw路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何求得路面上最暗和最亮的点的位置？
3. 如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果将如何？

【问题分析】  经验：（物理学背景知识）

这种问题一般人没有相应的物理知识，所以就要去查阅相关资料和文献，来找到相关说明，这一点经常遇到，是十分重要的。

光源点P1在点x处的照度（照亮强度）I1，I1与功率P1成正例，与距离r1的平方成反比，与照射角度α1的正弦成正比。即

其中，k为比例系数，同时也是平衡量纲（单位）的量。

平衡量纲是指在物理学和工程学中，描述物理量的量纲间的平衡关系。物理量的量纲是利用基本物理量（如长度、质量、时间等）的组合来表示的。平衡量纲要求在一个数学表达式中，所有参与运算的物理量具有相同的量纲。

例如，一维运动中的位移、速度和加速度分别具有长度（L）、速度（LT⁻¹）和加速度（LT⁻²）的量纲。在平衡量纲的要求下，相互直接参与运算的位移、速度和加速度必须具有相同的量纲，才能保证运算的准确性。

通过平衡量纲，可以判断一个方程是否正确，检查方程中是否存在错误的物理量单位组合，或者判断未知物理量的量纲。平衡量纲也在工程设计和实验研究中起着重要的作用，保证设计的可行性和实验的准确性。

【问题假设】

1. p1,p2都可以看成点光源；
2. p1,p2在x的照度可以叠加（求和）；
3. 光源只来自两盏灯。

【符号设置】

（符号设置如上图所示）

• I :  某点处的照度（亮度）；
• I1：灯P1在该点处的照度；
• I2：灯P2在该点处的照度；
• s :     街道宽；
• p1,p2:   两个光源的功率；
• h1,h2:   两盏灯的高度；
• r1,r2:   两盏路灯到x的距离；
• x :     街道某点的坐标，介于0和s之间；
• α1, α2:  光线的入射角。

【建立模型】

两只灯在点x处的照度为：

其中，

变量之间的关系

问题(1)：灯高度不变，求路面照度最弱最强的位置x。

数学模型1

也可以化简为

代入已知参数，模型简化为

即求一元函数I(x)在[0，20]上的最大值与最小值。

问题(2)：当3kw的灯的高度在3m到9m之间变化时，路面的最暗和最亮点。

数学模型2

即求二元函数I(x,h2)在所给矩形闭区域上的最大值与最小值。

问题(3)：两只灯的高度都在3m到9m之间变化时，求路面的最暗和最亮点。

数学模型3

即求三元函数I(x,h1,h2)在所给条件下的上的最大值与最小值。

像这种目标函数或者约束条件是决策变量的非一次（非线性）的规划模型，称为非线性规划模型。