二叉树
概念
二叉树是一种常见的树状数据结构，每个节点最多有两个子节点，称为左子节点 和右子节点。它可以为空树（没有任何节点），或者由根节点及其子节点组成。
特点
具有层级结构，其中顶层的节点被称为根节点(root)。根节点没有父节点，而其 他节点都有且只有一个父节点。叶子节点是指没有子节点的节点，它们位于树的 最底层。
定义要点
节点(Node)：二叉树的基本单位。每个节点包含三个主要部分： 数据/值域：节点中存储的具体数据，可以是任何类型，例如整数、字符、对 象等。 左子节点：指向当前节点的左侧子节点的指针。如果没有左子节点，指针的值 为None或null。 右子节点：指向当前节点的右侧子节点的指针。如果没有右子节点，指针的值 为None或null。 根节点(Root Node)：二叉树的顶层节点，没有父节点。根节点是整个二叉树 的起点。 子节点(Child Node)：每个节点可以有零个、一个或两个子节点。左子节点和 右子节点是相对于父节点而言的。 叶子节点(Leaf Node)：没有子节点的节点被称为叶子节点。叶子节点位于二叉 树的最底层。 父节点(Parent Node)：一个节点的直接上层节点被称为其父节点。 兄弟节点(Sibling Node)：具有相同父节点的节点之间称为兄弟节点。 节点之间的连接(Edges)：边是连接节点的线条或指针，它表示一个节点与其子 节点之间的关系。 空树(Empty Tree)：没有任何节点的二叉树被称为空树。在空树中，根节点为 None 或 null。 二叉树(Binary Tree)：是一种有序树结构，其中每个节点最多有两个子节点， 即左子节点和右子节点。左子节点和右子节点的顺序是固定的。 二叉树的形态：二叉树可以具有不同的形态和结构，它可以是平衡的或非平衡 的，可以是满二叉树、完全二叉树或非完全二叉树等。 二叉树的高度(Height)：二叉树的高度是指从根节点到最深叶子节点的层数。 空树的高度为0，只有根节点的树的高度为1。
性质
最大节点数量： 在二叉树的第n层，最多有2^(n-1)个节点。 在高度为h的二叉树中，最多有2^h - 1个节点。 最小高度： 对于含有n个节点的二叉树，它的最小高度为 log2(n+1)。 如果二叉树是平衡树，那么它的最小高度为 floor(log2(n+1))。 树的高度： 树的高度是指从根节点到最深叶子节点的路径上的边数。 对于n个节点的二叉树，它的高度最大为n，最小为log2(n+1)。 子树的高度： 二叉树的任意子树的高度不会超过整个二叉树的高度。叶子节点数和度为2 的节点数： 在二叉树中，度为2的节点数等于叶子节点数加1。
完全二叉树的性质：
完全二叉树是一种特殊的二叉树，除了最后一层外，其他层的节点都必须是满的。 在完全二叉树中，叶子节点从左到右依次排列，不会出现在左侧缺少叶子节点的 情况。 完全二叉树可以使用数组来表示，节点按照层序遍历的顺序依次存放在数组中。
二叉搜索树的性质：
二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）是一种特殊的二叉树，满足以下性质： 左子树上的所有节点的值都小于根节点的值。 右子树上的所有节点的值都大于根节点的值。 左右子树也分别是二叉搜索树。 在二叉搜索树中，通过比较节点的值可以快速地搜索、插入和删除节点。
存储结构
二叉树可以使用不同的存储结构来表示其节点和连接关系。常见的二叉树存储结 构包括链式存储和数组存储。下面对这两种存储结构进行详细讲解：
链式存储(Linked Representation)：
链式存储使用节点来表示二叉树的各个部分，每个节点包含数据和指向左右子节 点的指针。链式存储可以通过类、结构体或节点对象实现。其中，每个节点由数 据域、左子节点指针和右子节点指针组成。
数组存储(Array Representation)：
数组存储使用数组来表示二叉树的节点和连接关系。数组的索引可以代表节点在 二叉树中的位置，节点的值存储在数组对应位置上。
二者对比
链表存储结构的优点：
灵活性高：链表存储结构可以动态地插入和删除节点，不需要提前确定存储空间 的大小。 支持任意形态的二叉树：链表存储结构可以直接表示任意形态的二叉树，包括不 平衡和不完全的二叉树。 内存利用效率高：链表存储结构只需要为每个节点分配内存，不会浪费空间。
数组存储结构的优点：
内存连续、访问高效：数组存储结构的节点在内存中是连续存储的，可以通过索 引快速访问节点，访问效率较高。 空间利用效率高：对于满二叉树或完全二叉树这种特殊形态的二叉树，数组存储 结构可以节省存储空间。
数组存储结构的缺点：
大小固定：数组存储结构需要提前确定二叉树的大小，当二叉树的节点数超过数 组大小时，需要重新分配内存，导致性能下降。 插入和删除困难：对于数组存储结构，插入和删除节点的操作相对复杂且耗时， 需要进行元素的移动和调整。
总结
综上所述，链表存储结构适用于频繁的修改操作和不规则形态的二叉树，它具有 灵活性和动态性的优势。而数组存储结构适用于满二叉树或完全二叉树这种特殊 形态的二叉树，它具有内存连续和访问高效的优势。
实际应用
搜索和排序算法： 二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）是一种常用的数据结构，基于二叉树 实现。它具有快速的搜索、插入和删除操作，广泛用于搜索和排序算法，如二叉 搜索、二叉查找、二叉排序等。BST还可以根据中序遍历得到有序的数据序列。 文件系统的组织： 文件系统常常被组织成一棵树，其中每个节点代表一个目录或文件。使用二叉树 的方式可以方便地进行文件的搜索和管理操作，例如快速查找、遍历和删除文 件等。 表达式表示与求值： 二叉树可以用于表示数学表达式，其中每个节点表示操作符或操作数。通过遍历 二叉树，可以对表达式进行求值或转换。例如，通过后序遍历可以实现表达式求 值，通过中序遍历可以进行中缀表达式转换为后缀表达式。 解析和编译器设计： 编译器和解析器常常使用二叉树来解析源代码，并将其转换为语法树或抽象语法 树（Abstract Syntax Tree，AST）。语法树可以方便地对源代码进行分析、优 化和生成中间代码等。 网络和路由算法： 二叉树在网络和路由算法中有应用。例如，用于安全路由的Patricia树或前缀 树（Prefix Tree）是一种特殊的二叉树，可以高效地存储和查询路由信息。 Huffman编码： Huffman编码是一种无损数据压缩算法，通过构建二叉树并对每个字符进行编码， 实现有效地压缩。二叉树中的叶子节点表示不同的字符，路径和编码表示字符的 编码。 数据库索引结构： 数据库中的索引结构常常使用二叉树的变种来实现，例如平衡二叉树、B 树和 B+树等。这些树结构可以加速数据库的查询和检索操作。 图形学和游戏开发： 在图形学和游戏开发中，二叉树可以用于场景图的构建和管理。场景图是一种用 于表示物体之间层次关系的树结构，便于进行碰撞检测、渲染优化和对象的空间 关系操作。 除此以外 二叉树还可以在许多其他领域中使用，如人工智能中的决策树和神经网络， 网络协议等方面
代码示例
class Node { int key; Node left, right; public Node(int item) { key = item; left = right = null; } } public class BinaryTree { Node root; // 创建二叉树 public BinaryTree(int key) { root = new Node(key); } public BinaryTree() { root = null; } // 插入节点 public void insert(int key) { root = insertNode(root, key); } private Node insertNode(Node root, int key) { if (root == null) { root = new Node(key); return root; } if (key < root.key) root.left = insertNode(root.left, key); else if (key > root.key) root.right = insertNode(root.right, key); return root; } // 删除节点 public void delete(int key) { root = deleteNode(root, key); } private Node deleteNode(Node root, int key) { if (root == null) return root; if (key < root.key) root.left = deleteNode(root.left, key); else if (key > root.key) root.right = deleteNode(root.right, key); else { if (root.left == null) return root.right; else if (root.right == null) return root.left; root.key = getMinValue(root.right); root.right = deleteNode(root.right, root.key); } return root; } private int getMinValue(Node root) { int minVal = root.key; while (root.left != null) { minVal = root.left.key; root = root.left; } return minVal; } // 搜索节点 public Node search(Node root, int key) { if (root == null || root.key == key) return root; if (key < root.key) return search(root.left, key); return search(root.right, key); } // 前序遍历 public void preorderTraversal(Node node) { if (node != null) { System.out.print(node.key + " "); preorderTraversal(node.left); preorderTraversal(node.right); } } // 中序遍历 public void inorderTraversal(Node node) { if (node != null) { inorderTraversal(node.left); System.out.print(node.key + " "); inorderTraversal(node.right); } } // 后序遍历 public void postorderTraversal(Node node) { if (node != null) { postorderTraversal(node.left); postorderTraversal(node.right); System.out.print(node.key + " "); } } public static void main(String[] args) { BinaryTree tree = new BinaryTree(); // 插入节点 tree.insert(50); tree.insert(30); tree.insert(20); tree.insert(40); tree.insert(70); tree.insert(60); tree.insert(80); // 删除节点 tree.delete(20); // 搜索节点 Node searchNode = tree.search(tree.root, 40); if (searchNode != null) System.out.println("节点 40 找到了"); else System.out.println("节点 40 未找到"); // 遍历二叉树 System.out.println("前序遍历："); tree.preorderTraversal(tree.root); System.out.println("\n中序遍历："); tree.inorderTraversal(tree.root); System.out.println("\n后序遍历："); tree.postorderTraversal(tree.root); } }
