1. 题目分析

题目链接选自力扣 : 打家劫舍

根据示例 1 来看 :

总结一下规则, 也就是可以从任意一个房间开始偷窃, 但是相邻房间不能偷窃. 并且只能往后面偷窃不能从后往前

2. 转态表示

以 i 位置为结尾, 表示从某一个位置开始偷窃到该位置时盗窃到的最大金额即 dp[i]

和之前" 按摩师 " 一题一样, 发现当偷到 i 位置的时候又有两种情况. 可以细分为两个更小的状态表示划分问题

1. 盗窃 nums[i] 位置

这种情况下, 我们用 f[i] 表示, 即从某一个位置开始偷窃到 i 位置时, 同时偷窃 nums[i], 最终盗窃的最大金额

2. 不盗窃 nums[i] 位置

这种情况我们用 g[i] 表示, 即从某一个位置开始偷窃到 i 位置时, 不偷窃 nums[i], 最终盗窃的最大金额

不难发现, 这又是一个多状态的动态规划题. 特点就是有多个状态表示, 同时也有多个状态转移方程.

3. 转态转移方程

根据上面的转态表示划分的两种情况, 此时我们的状态方程也会有两个.

1. 偷窃到 i 位置时, 偷窃 nums[i]

当偷窃到 i 位置时, 选择偷窃 nums[i], 那么 i - 1 位置就是必定不能偷的, 否则会被抓. 因此偷窃到的最大金额就为从某一起始位置偷到 i - 1 之间的最大金额, 并且不偷窃 nums[i-1], 这正好对应到我们的转态表示中, 即 g[i-1], 最后加上选择偷窃的 nums[i]. 最终此时偷窃到 i 位置的最大金额为 f[i] = g[i-1] + nums[i]

2. 偷窃到 i 位置时, 不偷窃 nums[i]

当偷窃到 i 位置时, 选择不偷窃 nums[i]. 那么这时候 i - 1 位置就有两种情况

1. i - 1 位置偷 nums[i-1]

这种情况下, 偷窃的最大金额为从某一起始位置到达 i - 1 位置并且偷窃 i - 1 位置的 nums[i-1]. 正好对应我们的转态表示f[i-1].

2. i-1 位置不偷

这种情况下, 偷窃到的最大金额为从某一位置起到达 i - 1 位置并且不偷窃 i - 1 位置的 nums[i-1]. 正好对应我们的转态表示 g[i-1]

最终不偷窃 i 位置的 nums[i] 的两种情况就分完了, 而我们要的是最大的金额数. 因此最终的状态转移方程为 g[i] = Math.max( f[i - 1], g [i - 1] )

4. 初始化

根据状态转移方程 g[i] = Math.max( f[i - 1], g [i - 1] 和 f[i] = g[i-1] + nums[i] 在填写 g[0] 和 f[0] 位置的时候会存在越界情况.

经过分析, 如果只有一个元素的情况下, 这时候偷窃到这个房间并且选择偷窃 nums[0], 最终的最大偷窃金额即位 nums[0]. 对应到状态表示中为 f[i] = nums[0]

同样一个元素的情况下, 偷窃到这个房间时, 可以选择不偷. 最终的最大偷窃金额为 0. 对应到状态表示中为 g[0] = 0

5. 填表顺序

从状态转移方程来看, 想要知道当前位置的最大偷窃金额, 就需知道前一个位置的最大偷窃金额. 因此填表顺序为 从左往右

6. 返回值

按照题目要求返回偷窃到数组末尾 ( n -1 ) 时最大的偷窃金额. 因此要对这两种状态取最大值. 即为 Math.max( g[n-1], f[n-1] ) ( 注意下标之间的关系 )

7. 代码演示

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        // 1. 创建 dp 表
        int n = nums.length;
        int[] f = new int[n]; // 偷窃到 i 位置时,偷窃 nums[i]
        int[] g = new int[n]; // 偷窃到 i 位置时, 不偷窃nums[i]
        // 2. 初始化
        f[0] = nums[0];
        g[0] = 0; // 可以不写, 数组不初始化默认为 0
        // 3. 填写 dp 表
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            // 根据不同的状态转移方程填写
            f[i] = g[i - 1] + nums[i];
            g[i] = Math.max(f[i - 1], g[i - 1]);
        }
        // 4. 确认返回值
        return Math.max(g[n - 1], f[n - 1]);
    }
}