第一个问题是在表示方面，mip-NeRF 适用于有界坐标空间中，而非无界场景，研究者使用一种看起来很像是一种扩展版的卡尔曼滤波器将 mip-NeRF 的高斯函数扭曲到非欧式空间中。
第二个问题是，场景通常是细节化的，如果想将 mip-NeRF 用于无界场景，可以将网络变得更大，但是这样会让训练速度变慢。所以，在优化阶段，研究者提出训练一个较小的 MLP 来限制空间大小，这可以让训练速度变快三倍。
第三个问题是，在更大的场景下，3D 重建的结果会变得较为模糊，产生伪影。为了解决这个问题，研究者引入了一种新型正则化器，专门用于 mip-NeRF 中的射线间隔。
首先来谈第一个问题，以一个有着三个摄像头的平地场景为例，在 mip-NeRF 中，这些相机将高斯函数投射到场景中。在一个大的场景，这导致高斯函数逐渐远离原点并且被拉长。这是因为 mip-NeRF 需要基于有界的坐标空间并且高斯函数在某种程度上是各向同性的。
为了解决这个问题，研究者定义了一个扭曲函数，来平滑地将蓝色圆（Unaffected Domain）外部的坐标映射到橙色圆（Contracted Domain）内。扭曲函数旨在消除 mip-NeRF 中的高斯非线性间距的影响。
为了将这种扭曲应用于 mip-NeRF 中的高斯函数，研究者使用了一个扩展版的卡尔曼滤波器，这样一来，没有边界的场景就可以被约束到橙色圆内，橙色圆内是一个非欧式空间，其中的坐标就是 MLP 的输入。
为了能理解论文中的在线蒸馏模型，我们首先需要介绍 mip-NeRF 是如何训练以及采样的。在 mip-NeRF 中，首先需要定义一组大致均匀分布的区间，可以理解为直方图中的端点。如图所示，每个间隔的高斯都被送入 mlp，并且得到直方图权重 w^c 和颜色 c^c。然后将这些颜色加权后得到像素点的颜色 C^c。之后这些权重被重采样，并得到一组新的区间，并且在场景中有内容的地方，端点就会较为聚集。
这个重采样可以多次进行，但为了方便在这里只显示一个。这个新的区间中的数据被送入同一 MLP 来得到一组新的权重和颜色，然后再通过加权得到像素点的颜色 C^f。mip-NeRF 只是最小化所有渲染像素值和输入图像真实像素值之间的重构损失。只有精细的颜色被用来渲染最终的图像是非常浪费的。
粗略渲染需要有监督学习来完成的唯一原因是帮助指导精细直方图的采样，这一观察激发了文中模型的训练和采样过程。研究者从一组均匀分布的直方图开始，将它们送入提出的 MLP 以产生一组权重，但不产生颜色。
这些权重会被重新采样，同样这个过程可以重复多次，但他们在视频中只展示了一个重采用过程。他们提出的 mlp 产生的最后一组区间被送入另一个 mlp，该 mlp 的行为与 mip-NeRF 中的完全相同，他们将其称为 NeRF mlp。NeRF mlp 为他们提供了一组可以用于渲染像素颜色的权重和颜色。
研究者将通过监督学习的方式，使得像素渲染得到的颜色接近真实图片中的颜色。他们让监督输出权重与 NeRF mlp 的输出权重一致，而不是监督文中提出的 mlp 来重建图像。这种设置意味着只需要经常去访问一个较小的 mlp，而较大的 NeRF mlp 则不需要太多的访问次数。
为了使模型起效，他们需要一个损失函数来鼓励具有不同区间划分的直方图彼此一致。为了说明这一点，如上图所示，他们在左侧构建了一个真实的一维分布，在右侧的是两个该真实分布的直方图。
因为这两个直方图刻画同一个分布，研究者可以对它们之间的关系做出一些强有力的断言，例如上面突出显示的那个区间的权重一定不会超过在下面的直方图中与其重叠的区间权重的总和。基于这个事实，他们可以使用一个直方图的权重来构造另一个直方图权重的上限。
再一次声明，如果这两个直方图同时刻画相同的真实分布的，上界是必须确定的。
因此，在训练期间，研究者对他们提出的 mlp 和 NeRF mlp 分别生成的直方图之间构造了损失，该损失会惩罚任何违反此处以红色显示的边界的多余部分。通过这样方式，来鼓励他们提出的 mlp 学习什么是有效的上界。
基于 nerf mlp 学习的体积场景密度，新模型中用来解决歧义问题的组件是光线直方图上的简单正则化器，他们简单地最小化沿光线的所有点之间的加权绝对距离，来鼓励每个直方图尽可能接近 delta 函数。这里显示的这个二重积分不容易计算，但可以推导出一个很好的封闭形式，计算起来很简单。
实验结果
表 1 展示了数据集中测试图像的平均 PSNR、SSIM [46] 和 LPIPS [49]。从中可以看出，本文提出的模型大大优于所有先前的类似 NeRF 的模型，并且可以看到相对于 mip-NeRF ，均方误差减少了 54%，而训练时间仅为 1.92 倍。
在表 2 中，研究者对模型在自行车场景中进行了消融研究，并在此总结了研究结果。
A) 移除 L_prop 会导致灾难性的失败，因为 MLP 完全不受监督。
B) 移除 L_dist 通过引入伪影降低图像质量（参见图 5）。
C) Mildenhall 等人提出的正则化器 [30] 将高斯噪声 (σ = 1) 注入密度当中，但效果不如我们的正则化器。D) 移除研究者提出的 MLP 并使用单个 MLP 对场景和权重进行建模不会降低性能，但会比他们提出的 MLP 增加约为 2 倍的训练时间。E) 删除 MLP 并使用 mip-NeRF 的方法训练本文提出的模型（在所有粗略尺度上应用 L_recon 而不是 L_prop）会降低速度和准确性，这证明研究者使用的监督策略是合理的。F) 使用小型 NeRF MLP（256 个隐藏单元而不是 1024 个隐藏单元）加速了训练，但降低了质量，这展示了大容量 MLP 在建模详细场景时的价值。G) 完全移除 IPE 并使用 NeRF 的位置编码 [30] 会降低性能，显示了基于 mip-NeRF 而不是 NeRF 的价值。H) 消除收缩并增加位置编码频率来限制场景会降低准确性和速度。I) 使用 DONeRF [31] 中提出的参数化和对数射线间距会降低精度。J) 尽管使用 NeRF++ [48] 中提出的双 MLP 参数化可以优于本文中的技术 —— 但代价是训练时间加倍，因为 MLP 的验证时间加倍（为了保持恒定的模型容量，研究者将两个 MLP 的隐藏单元数除以 √2）。
更多细节请参考原论文。
