@[TOC]
1、关系代数概述
关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式，它是利用对关系的运算来表达查询的。
任何运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果。
关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。
在关系代数运算中，有5种基本运算，它们是并（U）、差（—）、投影、选择、笛卡尔积（X），其它运算即交、连接和除，均可通过5种基本的运算来表达 。
运算符：
集合运算符
- 将关系看成
元组的集合 - 从关系的“水平”方向即行的角度来进行运算
- 将关系看成
专门的关系运算符
- 不仅涉及
行而且涉及列
- 不仅涉及
算术比较符
- 辅助专门的关系运算符进行操作
逻辑运算符
- 辅助专门的关系运算符进行操作
常见的关系运算符如下：
1.1 传统的集合运算
设关系$R$和关系$S$是相容的，$t$代表元组变量，现将各种运算分别介绍如下：
（1）并（Union）
- 关系$R$与关系$S$的并记作：$R∪S=\{t|t∈R∨t∈S \}$
- 结果关系是由属于$R$或属于$S$的元组组成，且结果仍为$n$目关系，但结果关系要消除重复元组。
举例：
$R$和$S$
- 具有相同的目$n$（即两个关系都有n个属性）
- 相应的属性取自同一个域
$R∪S$
仍为$n$目关系，由属于$R$或属于$S$的元组组成
- $R∪S=\{t|t∈R∨t∈S \}$
具体如下图所示：
（2）交（ Intersection）
- 关系$R$与关系$S$的交记作：$R∩S=\{t|t∈R∧t∈S \}$
- 结果关系由既属于$R$又属于$S$的元组组成，且仍为$n$目关系。
举例：
$R$和$S$
- 具有相同的目$n$
- 相应的属性取自同一个域
$R∩S$
仍为$n$目关系，由既属于$R$又属于$S$的元组组成
- $R∩S=\{t|t∈R∧t∈S \}$
具体如下图所示：
（3）差（Difference）
- 关系R与关系S的差记作：$R-S=\{t|t∈R ∧t \notin S\}$
- $R$和$S$的差，结果关系由属于$R$而不属于$S$的所有元组组成，且仍为$n$目关系,即在关系$R$中减去$R$和$S$的相同元组。
举例：
$R$和$S$
- 具有相同的目$n$
- 相应的属性取自同一个域
$R - S$
仍为$n$目关系，由属于$R$而不属于$S$的所有元组组成
- $R-S=\{t|t∈R ∧t \notin S\}$
（4）广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）
- 两个分别为 $n$目和$m$目的关系，$R$和$S$的广义笛卡尔积是一个$(n+m)$列的元组的集合。
- 元组的前$n$列是关系$R$的一个元组，后$m$列是关系$S$的一个元组。若$R$有$k_1$个元组，$S$有$k_2$个元组，则关系$R$和关系$S$的广义笛卡尔积有$k_1×k_2$个元组。
- 记作：$R×S=\{(a_1,a_2,…a_m,b_1,b_2,…b_n)| (a_1,a_2,…a_m) ∈R ∧ (b_1,b_2,…b_n) ∈ S\}。$
严格地讲应该是广义的笛卡尔积
- $R$: $n$目关系，$k_1$个元组
- $S$: $m$目关系，$k_2$个元组
$R×S$
列:$m+n$列元组的集合
- 元组的前$n$列是关系$R$的一个元组
- 后$m$列是关系$S$的一个元组
- 行：$k_1×k_2$个元组
具体如下图所示：
1.2 专门的关系运算
在讲解之前，我们先引入几个记号，这样有助于下面的理解，确实关系代数后半部分有点难理解。
（1）$R,t\in R,t[A_i]$
设关系模式为$R(A_1，A_2，…，A_n)$，它的一个关系设为$R$，$t\in R$表示$t$是$R$的一个元组，$t[A_i]$则表示元组t中相应于属性$A_i$的一个分量。
（2）$\overbrace{t_rt_s}$ ， $R$为$n$目关系，$S$为$m$目关系。
$t_r\in R，t_s\in S， \overbrace{t_r t_s}$称为元组的连接。$\overbrace{t_r t_s}$是一个$n + m$列的元组，前$n$个分量为$R$中的一个$n$元组，后$m$个分量为$S$中的一个$m$元组。
（3）象集$Z_x$
给定一个关系$R（X,Z）$，$X$和$Z$为属性组。当$t[X]=x$时，$x$在$R$中的象集（Images Set）为：
$$Z_x={t[Z]|t \in R，t[X]=x}$$
它表示$R$中属性组$X$上值为$x$的诸元组在$Z$上分量的集合。
举例如下：
上面抽象的例子可能并不是特别容易理解，那么我们就拿生活中的实际例子进行解释：
学生-课程-选修关系:
学生关系Student、课程关系Course和选修关系SC
在上面的关系表中，我们可以把SC表看作一个关系R，它的属性组为学号，课程号以及成绩，即$R(Sno, Cno, Grade)$。这时我们将SC表与上面那个例子对比可以看出，Sno为==200215121==的学号在关系R（SC表）中的象集为$Sno_{200215121}=\{1，2，3\}$，以此类推，这样就比较容易理解一点。
1.2.1 选择运算
- 选择又称为限制
选择运算符的含义
- 关系R上的选择操作是根据某些条件对关系R做水平分割，即从行的角度选择符合条件的元组。
在关系R中选择满足给定条件的诸元组
- 记作：$σF（R）=\{t|t∈R∧F(t)=‘真’\}$
- F：选择条件，是一个逻辑表达式，取逻辑值“真”或“假”。
- 选择运算是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组，是从行的角度进行的运算
F：选择条件，是一个逻辑表达式
- 基本形式为：$X_1θY_1$
- $θ$：比较运算符$（＞，≥，＜，≤，＝或<>）$
- $X_1，Y_1$：属性名、常量、简单函数.
- 属性名也可以用它的序号来代替；
以最上面的学生-课程-选修关系表举例说明更好理解：
[例1] 查询信息系（IS系）全体学生
$σ_{Sdept} = 'IS' (Student)
或 σ_5 ='IS'(Student)$
结果：
[例2] 查询年龄小于20岁的学生
$σ_{Sage< 20}(Student)
或 σ_{4 < 20}(Student)$
结果：
1.2.2 投影（Projection）
投影运算符的含义：
从R中选择出若干属性列组成新的关系
- $π_A(R) = { t[A] | t \in R }$
- A：R中的属性列
投影操作主要是从列的角度进行运算：
但投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）
举例说明一下：
[例3] 查询学生的姓名和所在系
即求Student关系上学生姓名和所在系两个属性上的投影
$π_{Sname，Sdept}(Student)
或 π_{2，5}(Student)$
结果：
[例4] 查询学生关系Student中都有哪些系
$π_{Sdept}(Student)$
结果：
由此可见，使用投影操作可以将关系表中的列单独拿出来组成新的关系表，这样方便我们可以更加清楚的查看自己想要的信息。
1.2.3 连接（Join）
连接也称为$θ$连接
连接运算的含义：
从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组
连接运算从$R和S$的广义笛卡尔积$R×S$中选取（$R$关系）在$A$属性组上的值与（$S$关系）在$B$属性组上值满足比较关系$θ$的元组
举例说明一下：
[例5]关系R和关系S 如下所示：
1.2.4 两类常用连接运算
（1）等值连接（equijoin）
什么是等值连接?
- θ为“＝”的连接运算称为等值连接
等值连接的含义
- 从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的
那些元组，即等值连接为：
举例说明：
（2）自然连接（Natural join）
自然连接是一种特殊的等值连接
- 两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组
- 在结果中把重复的属性列去掉
自然连接的含义
- R和S具有相同的属性组B
举例：
一般的连接操作是从行的角度进行运算。
自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。
1.2.5 除（Division）
给定关系$R (X，Y)$和$S (Y，Z)$，其中$X，Y，Z$为属性组。$R$中的$Y$与$S$中的$Y$可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。$R$与$S$的除运算得到一个新的关系$P(X)$，$P$是$R$中满足下列条件的元组在 $X$ 属性列上的投影：
元组在$X$上分量值$x$的象集$Y_x$包含$S$在$Y$上投影的集合，记作：
关于象集的概念我们在前面已经提到了，在此直接举例子说明除：
[例6]设关系$R、S$分别为下图的(a)和(b)，$R÷S$的结果为图(c)
通过上面的结果我们可以发现，关系$R$中的$B、C$属性组，和关系$S$中的$B、C$属性组的域都是相同的，$R与S$的除运算得到了一个新的关系，我们将它当做$P(A)$，$P$是$R$中满足上述条件的元组在$A$属性列中的投影。
分析：
设关系$R，S$,分别为例6中的(a)和(b)，$R÷S$的结果为图(c),关系$R$中$A$可以取四个值$\{ a_1，a_2，a_3，a_4\},$ 其中：
- $a_1$的象集为$\{（b_1，c_2）,（b_2，c_1），（b_2，c_3）\}$
- $a_2$的象集为$\{（b_3，c_7）,（b_2，C_3）\}$
- $a_3$的象集为$\{ (b_4，c_6) \}$
- $a_4$的象集为$\{（b_6，c_6）\}$
$S$在$（B，C）$上的投影为$\{（b_1，c_2），（b_2，c_1）,（b_2，c_3）\}$
显然只有$a_1$的象集包含了$S$在$(B,C)$属性组上的投影，所以$R÷S=\{a1\}$。
除操作是同时从行和列角度进行运算
📢博客主页： https://blog.csdn.net/m0_63007797?spm=1011.2415.3001.5343
📢欢迎点赞 👍 收藏 ⭐留言 📝 如有错误敬请指正！
📢本文由 心无旁骛~ 原创，首发于 CSDN博客🙉
📢停下休息的时候不要忘了别人还在奔跑，希望大家抓紧时间学习，全力奔赴更美好的生活✨
