【离散数学】谓词逻辑

简介: 1. 谓词2. 量词3. 等价式4. 蕴含式 5. 前束范式 6. 推理理论

1. 谓词

① 我们用大写字母表示谓词,小写字母表示客体名称,例如A表示"是个大学生",c表示张三,e表示李四,则A(c),A(e)分别表示“张三是个大学生”,“李四是个大学生”。
② 我们把A(b)称为一元谓词,B(a,b)称为二元谓词,L(a,b,c)称为三元谓词,依次类推

2. 量词

存在量词:∃
全称量词:∀

3. 等价式

① ﹁(∀x)P(x)⇔(∃x)﹁P(x)
证:设P(x)表示x今天来上课,则﹁P(x) 表示x今天没来上课
﹁(∀x)P(x)表示不是所有人今天来上课,(∃x)﹁P(x)表示存在有人今天没来上课,一个意思
② ﹁(∃x)P(x)⇔(∀x)﹁P(x)

① (∀x)(A(x)∨B)⇔((∀x)A(x)∨B)
② (∀x)(A(x)∧B)⇔((∀x)A(x)∧B)
③ (∃x)(A(x)∨B)⇔((∃x)A(x)∨B)
④ (∃x)(A(x)∧B)⇔((∃x)A(x)∧B)
由于B中不存在约束变元x,所以这个公式成立

① ((∀x)A(x)→B)⇔(∃x)(A(x)→B)
② ((∃x)A(x)→B)⇔(∀x)(A(x)→B)
③ (B→(∀x)A(x))⇔(∀x)(B→A(x))
④ (B→(∃x)A(x))⇔(∃x)(B→A(x))
⑤ (∀x)(P(x)∨Q(y))⇔((∀x)P(x)∨Q(y))

① (∀x)(A(x)∧B(x))⇔(∀x)A(x)∧(∀x)B(x)
证:A(x)表示人会唱歌,B(x)表示人会跳舞
(∀x)(A(x)∧B(x))表示所有人都唱歌跳舞
(∀x)A(x)∧(∀x)B(x)表示所有人唱歌且所有人跳舞
② (∃x)(A(x)∨B(x))⇔(∃x)A(x)∨(∃x)B(x)
证:A(x)表示人会唱歌,B(x)表示人会跳舞
(∃x)(A(x)∨B(x))表示存在有人唱歌或者有人跳舞
(∃x)A(x)∨(∃x)B(x)表示存在有人唱歌或者存在有人跳舞

4. 蕴含式

① (∀x)A(x)∨(∀x)B(x)⇒(∀x)(A(x)∨B(x))
证:A(x)表示学生聪明,B(x)表示学生努力
(∀x)A(x)∨(∀x)B(x)表示所有人聪明或者所有人都努力
(∀x)(A(x)∨B(x))表示所有人都聪明或者努力
② (∃x)A(x)∧(∃x)B(x)⇒(∃x)(A(x)∧B(x))

5. 前束范式

简单来说,就是把量词都提到最前面就是前束范式(注意改名)

6. 推理理论

① 先ES(存在指定规则),再US(全称指定规则)
② 证明方法同命题的推理理论

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