4.3、二叉排序树思路分析
4.3.1、添加子节点
假设待添加的节点为 node ，当前遍历的节点为 curNode，编码思路如下：
- 待添加节点 node 的值与当前节点 curNode 的值比较
- node.value < curNode.value：需要将 node 节点安排在 curNode 节点的左边，左移当前节点指针：curNode = curNode.left ，为下次判断做准备
- node.value >= curNode.value：需要将 node 节点安排在 curNode 节点的右边，右移当前节点指针：curNode = curNode.right ，为下次判断做准备
- 重复执行上述操作即可
何时停止递归？以下两个条件均可以让递归停止
- 待添加节点 node 的值比当前节点 curNode 的值小，并且 curNode 没有左节点
- node.value < curNode.value && curNode.left ==null
待添加节点 node 的值比当前节点 curNode 的值大（或相等），并且 curNode 没有右节点
- node.value >= curNode.value && curNode.right==null
总结：新添加的节点都会沉到最下面去，成为一个叶子节点
4.3.2、查找子节点
查找目标子节点：假设目标节点的值为 value ，当前遍历的节点为 curNode ，编码思路如下
目标值 value 与当前节点值 curNode.value 进行比较
- value == curNode.value：证明当前节点就是要找的节点，直接返回 curNode
- value < curNode.value：证明要找的节点在 curNode 左边，左移当前节点指针：curNode = curNode.left，并继续执行上述比较操作
- value >= curNode.value：证明要找的节点在 curNode 右边，右移当前节点指针：curNode = curNode.right，并继续执行上述比较操作
何时停止递归？
- 当前节点值与目标值相等：curNode.value == value，证明当前节点就是要找的节点，直接返回 curNode
- 或者当前节点为空：curNode == null，即证明没找到，返回 null
查找目标子节点的父节点（删除节点时需要查找目标节点的父节点）：假设目标节点的值为 value ，当前遍历的节点为 parentNode ，parentNode 表示目标节点的父节点，编码思路如下
已找到目标节点的父节点：
- 如果：parentNode.left != null && value = parentNode.left.value，则说明parent.left为目标节点，parent为目标节点的父节点
- 如果：parentNode.right != null && value = parentNode.right.value，则说明parent.right为目标节点，parent为目标节点的父节点
还未找到目标节点的父节点，判断目标值 value 与当前节点值 parentNode.value 的大小
- value < this.value && this.left != null：目标值在当前节点的左边，并且当前节点还有左节点，则将当前节点指针左移 parentNode = parentNode.left，继续寻找目标节点
- value >= this.value && this.left != null：目标值在当前节点的右边，并且当前节点还有右节点，则将当前节点指针右移 parentNode = parentNode.right，继续寻找目标节点
何时停止递归？两个递归停止条件，满足其中一个即可
- value = parentNode.left.value || value = parentNode.right.value ：找到目标节点的父节点，则直接返回 parentNode
- 找不到目标节点的父节点：往左找找不到，往右找也找不到，
4.3.3、删除子节点
再来一遍：
- 单链表能不能实现自删除？不能！
- 单链表想要删除需要怎么操作？找到其父节点！！！
假设目标节点的值为 value ，根节点为 root ，首先根据 value 值找到目标节点 targetNode ，再找到目标节点的父节点 parentNode
- 如果targetNode == null，说明没有找到目标节点，直接滚蛋
- 如果 targetNode != null && root.left == null && root.right == null，说明只有根节点既是目标节点，删除根节点即可
- 否则就是下面三种复杂的情况咯：
第一种情况：待删除的节点为叶子节点，直接删除该叶子节点即可
- 怎么样才算是叶子节点？targetNode.left == null && targetNode.right == null：左右节点都为空
怎么删除？
- 如果parentNode.left != null && parentNode.left.value == value：即待删除的节点是 parentNode 的左子节点，则删除 parentNode 的左节点：parentNode.left = null;
- 如果 parentNode.right!= null && parentNode.right.value == value：即待删除的节点是 parentNode 的右子节点，则删除 parentNode 的右节点：parentNode.right= null;
第二种情况：待删除的节点只有一颗子树，直接将其子树接在 parentNode 左边或右边即可
- 怎么判断节点只有一颗子树？targetNode.left 和 targetNode.right 中有且仅有一个为 null
怎么删除？四种情况
如果 targetNode 只有左子结点，则证明子树挂在 targetNode 的左边，现在来看看 target 挂在 parentNode 的哪边？
- 如果 target 挂在 parentNode 的左边，直接将 target 的子树挂在 parentNode 的左边：parentNode.left = target.left
- 如果 target 挂在 parentNode 的右边，直接将 target 的子树挂在 parentNode 的右边：parentNode.right = target.left
如果 targetNode 只有右子结点，则证明子树挂在 targetNode 的右边，现在来看看 target 挂在 parentNode 的哪边？
- 如果 target 挂在 parentNode 的左边，直接将 target 的子树挂在 parentNode 的左边：parentNode.left = target.right
- 如果 target 挂在 parentNode 的右边，直接将 target 的子树挂在 parentNode 的右边：parentNode.right = target.right
- 以上逻辑有个 Bug ~~~ 当待删除的节点为根节点时 ，parentNode == null，这时候我们直接用根节点 root 来操作即可
第三种情况：待删除的节点具有两棵颗子树
- 从 targetNode 的左子树种找到值最大的节点（一直往右遍历），或者从从 targetNode 的右树种找到值最小的节点（一直往左遍历），假设最小值为 temp ，最小值所在的节点为 minNode
- 此时 minNode 肯定为叶子节点，删除 minNode 节点
- 将 targetNode.value 设置为 temp ，这样以 targetNode 根节点的子树又是一棵二叉排序树
4.4、二叉排序树代码
4.4.1、树节点的定义
- 树节点的定义
//创建Node结点 class Node { int value; Node left; Node right; public Node(int value) { this.value = value; } @Override public String toString() { return "Node [value=" + value + "]"; } // 中序遍历 public void infixOrder() { if (this.left != null) { this.left.infixOrder(); } System.out.println(this); if (this.right != null) { this.right.infixOrder(); } } // 添加结点的方法 // 递归的形式添加结点，注意需要满足二叉排序树的要求 public void add(Node node) { if (node == null) { return; } // 判断传入的结点的值，和当前子树根结点值的关系 if (node.value < this.value) { // 如果当前结点左子结点为null if (this.left == null) { this.left = node; } else { // 递归的向左子树添加 this.left.add(node); } } else { // 添加的结点的值大于 当前结点的值 if (this.right == null) { this.right = node; } else { // 递归的向右子树添加 this.right.add(node); } } } // 查找要删除的结点 /** * * @param value 希望删除的结点的值 * @return 如果找到返回该结点，否则返回null */ public Node search(int value) { if (value == this.value) { // 找到就是该结点 return this; } else if (value < this.value) {// 如果查找的值小于当前结点，向左子树递归查找 // 如果左子结点为空 if (this.left == null) { return null; } return this.left.search(value); } else { // 如果查找的值不小于当前结点，向右子树递归查找 if (this.right == null) { return null; } return this.right.search(value); } } // 查找要删除结点的父结点 /** * * @param value 要找到的结点的值 * @return 返回的是要删除的结点的父结点，如果没有就返回null */ public Node searchParent(int value) { // 如果当前结点就是要删除的结点的父结点，就返回 if ((this.left != null && this.left.value == value) || (this.right != null && this.right.value == value)) { return this; } else { // 如果查找的值小于当前结点的值, 并且当前结点的左子结点不为空 if (value < this.value && this.left != null) { return this.left.searchParent(value); // 向左子树递归查找 } else if (value >= this.value && this.right != null) { return this.right.searchParent(value); // 向右子树递归查找 } else { return null; // 没有找到父结点 } } } }
4.4.2、二叉排序树的定义
- 二叉排序树的定义
//创建二叉排序树 class BinarySortTree { private Node root; public Node getRoot() { return root; } // 添加结点的方法 public void add(Node node) { if (root == null) { root = node;// 如果root为空则直接让root指向node } else { root.add(node); } } // 中序遍历 public void infixOrder() { if (root != null) { root.infixOrder(); } else { System.out.println("二叉排序树为空，不能遍历"); } } // 查找要删除的结点 public Node search(int value) { if (root == null) { return null; } else { return root.search(value); } } // 查找父结点 public Node searchParent(int value) { if (root == null) { return null; } else { return root.searchParent(value); } } // 删除结点 public void delNode(int value) { if (root == null) { return; } else { // 1.需求先去找到要删除的结点 targetNode Node targetNode = search(value); // 如果没有找到要删除的结点 if (targetNode == null) { return; } // 如果我们发现当前这颗二叉排序树只有一个结点 if (root.left == null && root.right == null) { root = null; return; } // 去找到targetNode的父结点 Node parent = searchParent(value); // 如果要删除的结点是叶子结点 if (targetNode.left == null && targetNode.right == null) { // 判断targetNode 是父结点的左子结点，还是右子结点 if (parent.left != null && parent.left.value == value) { // 是左子结点 parent.left = null; } else if (parent.right != null && parent.right.value == value) {// 是右子结点 parent.right = null; } } else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) { // 删除有两颗子树的节点 int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right); targetNode.value = minVal; } else { // 删除只有一颗子树的结点 // 如果要删除的结点有左子结点 if (targetNode.left != null) { if (parent != null) { // 如果 targetNode 是 parent 的左子结点 if (parent.left.value == value) { parent.left = targetNode.left; } else { // targetNode 是 parent 的右子结点 parent.right = targetNode.left; } } else { root = targetNode.left; } } else { // 如果要删除的结点有右子结点 if (parent != null) { // 如果 targetNode 是 parent 的左子结点 if (parent.left.value == value) { parent.left = targetNode.right; } else { // 如果 targetNode 是 parent 的右子结点 parent.right = targetNode.right; } } else { root = targetNode.right; } } } } } // 编写方法: // 1. 返回的 以node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值 // 2. 删除node 为根结点的二叉排序树的最小结点 /** * * @param node 传入的结点(当做二叉排序树的根结点) * @return 返回的 以node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值 */ public int delRightTreeMin(Node node) { Node target = node; // 循环的查找左子节点，就会找到最小值 while (target.left != null) { target = target.left; } // 这时 target就指向了最小结点 // 删除最小结点（该节点肯定是左叶子节点） delNode(target.value); return target.value; } }
4.4.3、代码测试
- 代码
public static void main(String[] args) { int[] arr = { 7, 3, 10, 12, 5, 1, 9, 2 }; BinarySortTree binarySortTree = new BinarySortTree(); // 循环的添加结点到二叉排序树 for (int i = 0; i < arr.length; i++) { binarySortTree.add(new Node(arr[i])); } // 中序遍历二叉排序树 System.out.println("中序遍历二叉排序树~"); binarySortTree.infixOrder(); // 1, 3, 5, 7, 9, 10, 12 // 测试一下删除叶子结点 binarySortTree.delNode(5); binarySortTree.delNode(10); System.out.println("删除结点后"); binarySortTree.infixOrder(); }
- 程序运行结果
中序遍历二叉排序树~ Node [value=1] Node [value=2] Node [value=3] Node [value=5] Node [value=7] Node [value=9] Node [value=10] Node [value=12] 删除结点后 Node [value=1] Node [value=2] Node [value=3] Node [value=7] Node [value=9] Node [value=12]
4.5、课后练习
- 如果我们从左子树找到最大的结点， 然后前面的思路完成.
5、平衡二叉树(AVL 树)
5.1、二叉排序树的问题
看一个案例(说明二叉排序树可能的问题)，给你一个数列{ 1,2,3,4,5,6 } ，要求创建一颗二叉排序树(BST)，并分析问题所在
- 左子树全部为空，从形式上看，更像一个单链表
- 插入速度没有影响
- 查询速度明显降低(因为需要依次比较)，不能发挥BST 的优势，因为每次还需要比较左子，其查询速度比单链表还慢
- 解决方案-平衡二叉树(AVL)
5.2、平衡二叉树基本介绍
- 平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树（Self-balancing binary search tree）又被称为AVL树， 可以保证查询效率较高。
- 平衡二叉树具有以下特点：它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。
- 平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。
- 注意：平衡二叉树一定是二叉排序树！！！
- 举例说明，看看下面哪些AVL树, 为什么?
5.3、平衡二叉树思路分析
5.3.1、计算子树高度
其实计算子树高度这个递归还挺难理解的，我想了想，可以这样来理解：
- left == null ? 0 : left.height()是求左子树的高度
- right == null ? 0 : right.height()是求右子树的高度
- 所以如上两个表达式取最大值，即为当前子树的高度
// 返回 以该结点为根结点的树的高度 public int height() { return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1; }
- 画了个图来说明计算子树高度的递归顺序和递归回溯过程
5.3.2、左旋转
- 问题：当插入8 时，rightHeight() - leftHeight() > 1成立，此时，不再是一颗 AVL树了
怎么处理–进行左旋转（就是降低右子树的高度）
创建一个新的节点 newNode (以4这个值创建)，创建一个新的节点，值等于当前根节点的值
把新节点的左子树设置了当前节点的左子树：newNode.left = left
把新节点的右子树设置为当前节点的右子树的左子树：newNode.right =right.left;
把当前节点的值换为右子节点的值：value=right.value;
把当前节点的右子树设置成右子树的右子树：right=right.right;
把当前节点的左子树设置为新节点：left=newNode;
- 想想为啥是上面的的步骤？
- 插入节点 8 后，整棵树不再是 AVL 树，节点 4 的右子树高度 > 节点 4 的左子树高度，需要进行左旋
- 问题来了：什么是左旋？怎么进行左旋？还是以下面的图为例：不就是把节点 6 往上提，把根节点 4 往左下沉，然后再把节点 5 挂在节点 4 的右边
5.3.3、右旋转
- 问题：当插入6 时，leftHeight() - rightHeight() > 1成立，此时，不再是一颗 AVL树了
- 怎么处理–进行右旋转（就是降低左子树的高度） 这里是将 9 这个节点，通过右旋转，到右子树
- 创建一个新的节点 newNode (以10这个值创建) ，创建一个新的节点，值等于当前根节点的值
- 把新节点的右子树设置了当前节点的右子树：newNode.right = right;
- 把新节点的左子树设置为当前节点的左子树的右子树：newNode.left =left.right;
- 把当前节点的值换为左子节点的值：value=left.value;
- 把当前节点的左子树设置成左子树的左子树：left=left.left;
- 把当前节点的右子树设置为新节点：right=newNode;
想想为啥是上面的的步骤？
- 插入节点 6 后，整棵树不再是 AVL 树，节点 10 的左子树高度 > 节点 10 的右子树高度，需要进行右旋
- 问题来了：什么是右旋？怎么进行右旋？还是以下面的图为例：不就是把节点 8 往上提，把根节点 10 往右下沉，然后把节点 9 挂在节点 10 的左边
5.3.4、双旋转
- 问题分析
如下不平衡二叉树满足右旋条件，根节点 10 的左子树高度 > 根节点的右子树高度
- 但不巧的是：根节点 10 的左子树的右子树高度 > 根节点 10 的左子树的左子树高度，那么在进行右旋后，还是棵不平衡二叉树
- 那不就是因为节点 7 的右子树太长了，进行右旋后，挂到右边去会导致整棵树的右子树过高
怎么解决？
- 目标：把节点 7 的右子树的高度降低，即对节点 7 进行左旋
- 我先把以节点 7 为根节点的树搞成 AVL 树（对节点 7 进行左旋），再对节点 10 进行右旋，就行啦~
- 即先对当前结点的左节点进行左旋转，再对当前结点进行右旋转的操作即可
编码思路：假设当前节点为 curNode
如果 curNode.rightHeight() - curNode.leftHeight() > 1：需进行左旋
如果 curNode.left.leftHeight() > curNode.left.rightHeight()
- 先对curNode.left进行右旋：curNode.left.rightRotate()
- 再对curNode进行左旋：curNode.leftRotate()
- 否则直接进行左旋：curNode.leftRotate()
如果curNode.leftHeight() - curNode.rightHeight() > 1：需进行右旋
如果 curNode.left.rightHeight() > curNode.left.leftHeight()
- 先对curNode.left进行左旋：curNode.left.leftHeight()
- 再对 curNode 进行右旋：curNode.rightRotate()
- 否则直接进行右旋：curNode.rightRotate()
- 图有点难看，有时间再重新画吧。。。
5.4、平衡二叉树代码
5.4.1、树节点的定义
// 创建Node结点 class Node { int value; Node left; Node right; public Node(int value) { this.value = value; } // 返回左子树的高度 public int leftHeight() { if (left == null) { return 0; } return left.height(); } // 返回右子树的高度 public int rightHeight() { if (right == null) { return 0; } return right.height(); } // 返回 以该结点为根结点的树的高度 public int height() { return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1; } // 左旋转方法 private void leftRotate() { // 创建新的结点，以当前根结点的值 Node newNode = new Node(value); // 把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树 newNode.left = left; // 把新的结点的右子树设置成当前结点的右子树的左子树 newNode.right = right.left; // 把当前结点的值替换成右子结点的值 value = right.value; // 把当前结点的右子树设置成当前结点右子树的右子树 right = right.right; // 把当前结点的左子树(左子结点)设置成新的结点 left = newNode; } // 右旋转 private void rightRotate() { Node newNode = new Node(value); newNode.right = right; newNode.left = left.right; value = left.value; left = left.left; right = newNode; } @Override public String toString() { return "Node [value=" + value + "]"; } // 添加结点的方法 // 递归的形式添加结点，注意需要满足二叉排序树的要求 public void add(Node node) { if (node == null) { return; } // 判断传入的结点的值，和当前子树的根结点的值关系 if (node.value < this.value) { // 如果当前结点左子结点为null if (this.left == null) { this.left = node; } else { // 递归的向左子树添加 this.left.add(node); } } else { // 添加的结点的值大于 当前结点的值 if (this.right == null) { this.right = node; } else { // 递归的向右子树添加 this.right.add(node); } } // 当添加完一个结点后，如果: (右子树的高度-左子树的高度) > 1 , 左旋转 if (rightHeight() - leftHeight() > 1) { // 如果它的右子树的左子树的高度大于它的右子树的右子树的高度 if (right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()) { // 先对右子结点进行右旋转 right.rightRotate(); // 然后在对当前结点进行左旋转 leftRotate(); // 左旋转.. } else { // 直接进行左旋转即可 leftRotate(); } return; // 必须要!!! } // 当添加完一个结点后，如果 (左子树的高度 - 右子树的高度) > 1, 右旋转 if (leftHeight() - rightHeight() > 1) { // 如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度 if (left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) { // 先对当前结点的左结点(左子树)->左旋转 left.leftRotate(); // 再对当前结点进行右旋转 rightRotate(); } else { // 直接进行右旋转即可 rightRotate(); } } } // 中序遍历 public void infixOrder() { if (this.left != null) { this.left.infixOrder(); } System.out.println(this); if (this.right != null) { this.right.infixOrder(); } } }
5.4.2、平衡二叉树的定义
// 创建AVLTree class AVLTree { private Node root; public Node getRoot() { return root; } // 添加结点的方法 public void add(Node node) { if (root == null) { root = node;// 如果root为空则直接让root指向node } else { root.add(node); } } // 中序遍历 public void infixOrder() { if (root != null) { root.infixOrder(); } else { System.out.println("二叉排序树为空，不能遍历"); } } }
5.4.3、代码测试
- 代码
public static void main(String[] args) { int[] arr = { 10, 11, 7, 6, 8, 9 }; // 创建一个 AVLTree对象 AVLTree avlTree = new AVLTree(); // 添加结点 for (int i = 0; i < arr.length; i++) { avlTree.add(new Node(arr[i])); } // 遍历 System.out.println("中序遍历"); avlTree.infixOrder(); System.out.println("平衡处理后~~"); System.out.println("树的高度=" + avlTree.getRoot().height()); // 3 System.out.println("树的左子树高度=" + avlTree.getRoot().leftHeight()); // 2 System.out.println("树的右子树高度=" + avlTree.getRoot().rightHeight()); // 2 System.out.println("当前的根结点=" + avlTree.getRoot());// 8 System.out.println("根节点的左结点=" + avlTree.getRoot().left);// 7 System.out.println("根节点的右结点=" + avlTree.getRoot().right);// 10 }
- 程序运行结果
中序遍历 Node [value=6] Node [value=7] Node [value=8] Node [value=9] Node [value=10] Node [value=11] 平衡处理后~~ 树的高度=3 树的左子树高度=2 树的右子树高度=2 当前的根结点=Node [value=8] 根节点的左结点=Node [value=7] 根节点的右结点=Node [value=10]
