《数论概论（原书第4版）》一第1章 什么是数论

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第1章 什么是数论

数论研究正整数集合
1,2,3,4,5,6,7,…,

它也常被称为自然数集合．特别地,我们要研究不同类型数之间的关系．自古以来,人们已将自然数分成各种不同类型．下面是一些熟悉的或不那么熟悉的例子:

奇数1,3,5,7,9,11,…

偶数2,4,6,8,10,…

平方数1,4,9,16,25,36,…

立方数1,8,27,64,125,…

素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…

合数4,6,8,9,10,12,14,15,16,…

模4余1的数1,5,9,13,17,21,25,…

模4余3的数3,7,11,15,19,23,27,…

三角数1,3,6,10,15,21,…

完全数6,28,496,…

斐波那契数1,1,2,3,5,8,13,21,…

毫无疑问,你已熟悉许多类型的数．其他类型的数(如“模4”的数)你可能不熟悉．如果一个数被4除余数为1，则称这个数与1模4同余,与3模4同余的数类似．如果一个数是可排列成三角形(顶端一个石子,第二行两个石子,等等)的石子数,则称这个数为三角数．由1与1开始产生斐波那契数,前两个数相加得到数列中的下一个数．最后,如果一个数的全部因数(除它本身外)之和等于这个数,则称这个数为完全数．

6例如,整除6的数是1,2和3,1+2+3=6．类似地,28的因数是1,2,4,7和14，

1+2+4+7+14=28．

在数论旅途中，我们会遇到这样那样的数．

典型的数论问题

数论的主要目的是发现不同类型数之间令人感兴趣的、意想不到的关系,并证明这些关系是正确的．本节中我们将介绍一些典型的数论问题,有的将在本书中彻底解决，有的虽已解决但解法太难不宜列入本书，还有一些直到今天仍未解决．

平方和Ⅰ．两个平方数之和可能等于平方数吗?答案显然是“肯定的”．例如,32+42=52与52+122=132．这些是勾股数组的例子．第2章讲述所有勾股数组．

高幂次和．两个立方数之和等于立方数吗?两个4次方数之和是4次方数吗?一般地,两个n次方之和是n次方吗?答案是“否定的”．这个著名问题称为费马大定理,由费马(Pierre de Fermat)于17世纪首先提出,直到1994年才由怀尔斯(Andrew Wiles)完全解决．怀尔斯的证明使用了复杂的数学技巧,我们不能在此详细叙述,但第30章将证明没有4次方数等于两个（正的）4次方数之和,第46章将概述怀尔斯的证明思路．

素数无穷．素数是一个整数p＞1, 它仅有因数1与p．

 存在无穷多个素数吗?

 存在无穷多个除4余1的素数吗？

 存在无穷多个除4余3的素数吗？

这些问题的答案都是“肯定的”．在第12章和第21章我们将证明这些事实,并且讨论狄利克雷(Lejeune Dirichlet)于1837年证明的更一般结果．7

平方和Ⅱ．哪些数等于两个平方数之和呢?对这类问题，素数的情形往往容易回答，所以我们先问哪些(奇)素数是两个平方数之和．例如,
3不是,5=12+22,7不是,11不是,

13=22+32,17=12+42,19不是,23不是,

29=22+52,31不是,37=12+62,…

你看出模式了吗?可能没有,因为这仅是一个短表,但长表会产生猜想:如果p与1 (mod 4)同余，则p是两个平方数之和．换句话说,如果p被4除余1，则p是两个平方数之和;如果p被4除余3，则p不是两个平方数之和．我们将在第24章证明这个结论．

数的形状．平方数是可排列成正方形的数1,4,9,16,… ．三角数是可排列成三角形的数1,3,6,10, … ．前几个三角数与平方数如图11所示．

自然要问是否存在也是平方数的三角数(除1外)．答案是“肯定的”,最小的例子是

所以我们会问是否有更多的例子,如果有,存在无穷多个吗?8要搜索更多的例子,下述公式是有用的:

关于这个公式有一个有趣的故事．在高斯(Carl Friedrich Gauss,1777—1855)上小学的时候,有一次,老师给全班同学布置了一道作业题:从1加到100．当高斯的同学奋力相加时,高斯走向老师递上答案:5050．故事的结局是,老师既没留下深刻印象也没

感到有趣,但是不再布置课外作业了．

有一种验证高斯公式的简单几何方法也许是高斯自己发明的．取由1+2+3+…+n个格点构成的两个三角形以及有n+1个格点的一条额外主对角线,并将它们拼凑起来．例如，可用图12来处理n=6的情形．

在图12中,我们用黑点标记主对角线上额外的n+1=7个格点，得到的正方形具有由n+1个格点组成的边,所以用数学表达式得到公式

两个三角形+主对角线=正方形．

从两端减去n+1再除以2就得到高斯公式．

孪生素数．在素数表中,有时会出现相邻奇数都是素数的情形．在小于100的下述素数表中，已将孪生素数加框:

存在无穷多个孪生素数吗?也就是说，是否有无穷多个素数p使得p+2也是素数？迄今为止，没有人能解答这个问题．

形如N2+1的素数．如果取N=1,2,3,…,列出形如N2+1的数,其中一些是素数．当然,如果N是奇数,则N2+1是偶数,所以它不是素数(除非N=1)．实际上,人们感兴趣的只是让N取偶数值．在下表中已用粗体突出显示了素数:

看起来有相当一些是素数,但是,当N较大时你就会发现这种素数越来越稀少．所以我们问是否存在无穷多个形如N2+1的素数．迄今为止，没有人知道这个问题的答案．

现在,我们已看到在数论中研究的一些问题．人们如何设法回答这些问题呢?答案是数论既有试验性也有理论性．试验部分常常首先出现，它引出问题并揭示回答问题的方法．理论部分随之而来，在这部分人们设法进行论证,给出问题的最后答案．概括来说,研究步骤如下：

1积累数据,通常是数值数据,但有时更抽象．

2分析数据,设法找出模式与关系．

3形成解释模式与关系的猜想(即猜测)，10通常借助公式来表达这些猜想．

4通过收集额外数据、检查新信息是否符合猜想来验证你的猜想．

5设计（你的）猜想成立的论证(即证明)．

这五个步骤在数论及数学研究中非常重要．更普遍地,科学方法总是包含至少前四个步骤．当心有些伪“科学家”仅用前三个步骤就声称“证明”了一些东西．有了收集的数据，一般来说找出一些解释并不太难．科学理论的正确验证是它能够预测还没有进行的试验结果．换句话说，只有当人们已进行了新数据对比试验时,科学理论才成为可信的．对所有真正的科学来说，这都是正确的途径．在数学研究中,人们需要证明步骤,即断言的逻辑序列,它从已知事实开始、以所希望的结论结束．

习题

11既是平方数又是三角数的前两个数是1与36求下一个这样的数,如果可能的话,求再下一个．你能给出求三角平方数的有效方法吗?你认为有无穷多个三角平方数吗?

12试将前几个奇数加起来,观察所得到的数是否满足某些模式．一旦发现模式,将它表示成公式．给出你的公式成立的几何证明．

13连续的奇数3,5,7都是素数．存在无穷多个这样的“素数三元组”吗?换句话说,存在无穷多个素数p使得p+2与p+4也是素数吗?

14尽管没有人保证,但是人们普遍认为有无穷多个素数形如N2+1．

(a)你认为存在无穷多个形如N2-1的素数吗?

(b)你认为存在无穷多个形如N2-2的素数吗?

(c)形如N2-3的数如何呢?形如N2-4的数又如何呢?

(d)你认为a取哪些值时存在无穷多个形如N2-a的素数？

15通过重排和式中的项也可推导出前n个正整数和的公式．请补充推导细节:

1+2+3+… +n=(1+n)+（2+(n-1)）+（3+(n-2)）+…

=(1+n)+(1+n)+(1+n)+… ．

特别地,在第二行有多少个n+1呢?(需要分别讨论n是偶数与奇数的情形．如果还不清楚,首先将n=6与n=7的式子明确写出来．)11

16为以下结论填上易于判别的准则：

（a）M是三角数当且仅当是一个奇平方数．

（b）N是奇平方数当且仅当是一个三角数．

（c）证明(a)、（b）中你所填的准则的正确性．12