应用「博弈论」分析「先手必胜态」序列具有何种性质|Java 刷题打卡

简介: 应用「博弈论」分析「先手必胜态」序列具有何种性质|Java 刷题打卡

题目描述



这是 LeetCode 上的 810. 黑板异或游戏 ,难度为 困难


Tag : 「博弈论」、「数学」、「异或」


黑板上写着一个非负整数数组 nums[i] 。


Alice 和 Bob 轮流从黑板上擦掉一个数字,Alice 先手。如果擦除一个数字后,剩余的所有数字按位异或运算得出的结果等于 0 的话,当前玩家游戏失败。 (另外,如果只剩一个数字,按位异或运算得到它本身;如果无数字剩余,按位异或运算结果为 0。)


换种说法就是,轮到某个玩家时,如果当前黑板上所有数字按位异或运算结果等于 0,这个玩家获胜。


假设两个玩家每步都使用最优解,当且仅当 Alice 获胜时返回 true。


示例:


输入: nums = [1, 1, 2]
输出: false
解释: 
Alice 有两个选择: 擦掉数字 1 或 2。
如果擦掉 1, 数组变成 [1, 2]。剩余数字按位异或得到 1 XOR 2 = 3。那么 Bob 可以擦掉任意数字,因为 Alice 会成为擦掉最后一个数字的人,她总是会输。
如果 Alice 擦掉 2,那么数组变成[1, 1]。剩余数字按位异或得到 1 XOR 1 = 0。Alice 仍然会输掉游戏。
复制代码


提示:


  • 1 <= N <= 1000
  • 0 <= nums[i] <= 2162^{16}216


基本分析



这是一道「博弈论」题。


如果没接触过博弈论,其实很难想到,特别是数据范围为 10310^3103,很具有迷惑性。


如果接触过博弈论,对于这种「判断先手后手的必胜必败」的题目,博弈论方向是一个优先考虑的方向。


根据题意,如果某位玩家在操作前所有数值异或和为 000,那么该玩家胜利。要我们判断给定序列时,先手是处于「必胜态」还是「必败态」,如果处于「必胜态」返回 True,否则返回 False


对于博弈论的题目,通常有两类的思考方式:


  1. 经验分析:见过类似的题目,猜一个性质,然后去证明该性质是否可推广。
  2. 状态分析:根据题目给定的规则是判断「胜利」还是「失败」来决定优先分析「必胜态」还是「必败态」时具有何种性质,然后证明性质是否可推广。


博弈论



对于本题,给定的是判断「胜利」的规则(在给定序列的情况下,如果所有数值异或和为 000 可立即判断胜利,其他情况无法立即判断胜负),那么我们应该优先判断何为「先手必胜态」,如果不好分析,才考虑分析后手的「必败态」。


接下来是分情况讨论:


1. 如果给定的序列异或和为 000,游戏开始时,先手直接获胜:


由此推导出性质一:给定序列 nums 的异或和为 000,先手处于「必胜态」,返回 True


2. 如果给定序列异或和不为 000,我们需要分析,先手获胜的话,序列会满足何种性质:


显然如果要先手获胜,则需要满足「先手去掉一个数,剩余数值异或和必然不为 000;同时后手去掉一个数后,剩余数值异或和必然为 000」。


换句话说,我们需要分析什么情况下「经过一次后手操作」后,序列会以上述情况 111 的状态,回到先手的局面


也就是反过来分析想要出现「后手必败态」,序列会有何种性质。


假设后手操作前的异或和为 SumSumSumSum≠0Sum \neq 0Sum=0),「后手必败态」意味着去掉任意数字后异或和为 000


同时根据「相同数值异或结果为 000」的特性,我们知道去掉某个数值,等价于在原有异或和的基础上异或上这个值。


则有:


Sum′=Sum⊕nums[i]=0Sum' = Sum ⊕ nums[i] = 0Sum=Sumnums[i]=0

由于是「后手必败态」,因此 iii 取任意一位,都满足上述式子。


则有:


Sum⊕nums[0]=...=Sum⊕nums[k]=...=Sum⊕nums[n−1]=0Sum ⊕ nums[0] = ... = Sum ⊕ nums[k] = ... = Sum ⊕ nums[n - 1] = 0Sumnums[0]=...=Sumnums[k]=...=Sumnums[n1]=0


同时根据「任意数值与 000 异或数值不变」的特性,我们将每一项进行异或:


(Sum⊕nums[0])⊕...⊕(Sum⊕nums[k])⊕...⊕(Sum⊕nums[n−1])=0(Sum ⊕ nums[0]) ⊕ ... ⊕ (Sum ⊕ nums[k]) ⊕ ... ⊕ (Sum ⊕ nums[n - 1]) = 0(Sumnums[0])...(Sumnums[k])...(Sumnums[n1])=0


根据交换律进行变换:


(Sum⊕Sum⊕...⊕Sum)⊕(nums[0]⊕...⊕nums[k]⊕...⊕nums[n−1])=0(Sum ⊕ Sum ⊕ ... ⊕ Sum) ⊕ (nums[0] ⊕ ... ⊕ nums[k] ⊕ ... ⊕ nums[n - 1]) = 0 (SumSum...Sum)(nums[0]...nums[k]...nums[n1])=0


再结合 SumSumSum 为原序列的异或和可得:


(Sum⊕Sum⊕...⊕Sum)⊕Sum=0,Sum≠0(Sum ⊕ Sum ⊕ ... ⊕ Sum) ⊕ Sum = 0 , Sum \neq 0(SumSum...Sum)Sum=0,Sum=0


至此,我们分析出当处于「后手必败态」时,去掉任意一个数值会满足上述式子。


根据「相同数值偶数次异或结果为 000」的特性,可推导出「后手必败态」会导致交回到先手的序列个数为偶数,由此推导后手操作前序列个数为奇数,后手操作前一个回合为偶数。


由此推导出性质二:只需要保证先手操作前序列个数为偶数时就会出现「后手必败态」,从而确保「先手必胜态」。


代码:


class Solution {
    public boolean xorGame(int[] nums) {
        int sum = 0;
        for (int i : nums) sum ^= i;
        return sum == 0 || nums.length % 2 == 0;
    }
}
复制代码


  • 时间复杂度:O(n)O(n)O(n)
  • 空间复杂度:O(1)O(1)O(1)


总结



事实上,在做题的时候,我也是采取「先假定奇偶性,再证明」的做法,因为这样比较快。


但「假定奇偶性」这一步是比较具有跳跃性的,这有点像我前面说到的「经验分析解法」,而本题解证明没有做任何的前置假定,单纯从「先手必胜态」和「后手必败态」进行推导,最终推导出「先手序列偶数必胜」的性质 ,更符合前面说到的「状态分析解法」。


两种做法殊途同归,在某些博弈论问题上,「经验分析解法」可以通过「归纳」&「反证」很好分析出来,但这要求选手本身具有一定的博弈论基础;而「状态分析解法」则对选手的题量要求低些,逻辑推理能力高些。


两种方法并无优劣之分,都是科学严谨的做法。


最后



这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.810 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先将所有不带锁的题目刷完。


在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。


为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:github.com/SharingSour…


在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

相关文章
|
13天前
|
人工智能 Java API
Java与大模型集成实战:构建智能Java应用的新范式
随着大型语言模型(LLM)的API化,将其强大的自然语言处理能力集成到现有Java应用中已成为提升应用智能水平的关键路径。本文旨在为Java开发者提供一份实用的集成指南。我们将深入探讨如何使用Spring Boot 3框架,通过HTTP客户端与OpenAI GPT(或兼容API)进行高效、安全的交互。内容涵盖项目依赖配置、异步非阻塞的API调用、请求与响应的结构化处理、异常管理以及一些面向生产环境的最佳实践,并附带完整的代码示例,助您快速将AI能力融入Java生态。
152 12
|
21天前
|
数据采集 存储 弹性计算
高并发Java爬虫的瓶颈分析与动态线程优化方案
高并发Java爬虫的瓶颈分析与动态线程优化方案
|
21天前
|
安全 Java API
Java SE 与 Java EE 区别解析及应用场景对比
在Java编程世界中,Java SE(Java Standard Edition)和Java EE(Java Enterprise Edition)是两个重要的平台版本,它们各自有着独特的定位和应用场景。理解它们之间的差异,对于开发者选择合适的技术栈进行项目开发至关重要。
100 1
|
2月前
|
安全 Java 编译器
new出来的对象,不一定在堆上?聊聊Java虚拟机的优化技术:逃逸分析
逃逸分析是一种静态程序分析技术,用于判断对象的可见性与生命周期。它帮助即时编译器优化内存使用、降低同步开销。根据对象是否逃逸出方法或线程,分析结果分为未逃逸、方法逃逸和线程逃逸三种。基于分析结果,编译器可进行同步锁消除、标量替换和栈上分配等优化,从而提升程序性能。尽管逃逸分析计算复杂度较高,但其在热点代码中的应用为Java虚拟机带来了显著的优化效果。
63 4
|
2月前
|
设计模式 XML 安全
Java枚举(Enum)与设计模式应用
Java枚举不仅是类型安全的常量,还具备面向对象能力,可添加属性与方法,实现接口。通过枚举能优雅实现单例、策略、状态等设计模式,具备线程安全、序列化安全等特性,是编写高效、安全代码的利器。
|
2月前
|
机器学习/深度学习 人工智能 自然语言处理
Java 大视界 -- Java 大数据机器学习模型在自然语言生成中的可控性研究与应用(229)
本文深入探讨Java大数据与机器学习在自然语言生成(NLG)中的可控性研究,分析当前生成模型面临的“失控”挑战,如数据噪声、标注偏差及黑盒模型信任问题,提出Java技术在数据清洗、异构框架融合与生态工具链中的关键作用。通过条件注入、强化学习与模型融合等策略,实现文本生成的精准控制,并结合网易新闻与蚂蚁集团的实战案例,展示Java在提升生成效率与合规性方面的卓越能力,为金融、法律等强监管领域提供技术参考。
|
2月前
|
存储 监控 数据可视化
Java 大视界 -- 基于 Java 的大数据可视化在企业生产运营监控与决策支持中的应用(228)
本文探讨了基于 Java 的大数据可视化技术在企业生产运营监控与决策支持中的关键应用。面对数据爆炸、信息孤岛和实时性不足等挑战,Java 通过高效数据采集、清洗与可视化引擎,助力企业构建实时监控与智能决策系统,显著提升运营效率与竞争力。
Java 数据库 Spring
59 0
|
1月前
|
算法 Java
Java多线程编程:实现线程间数据共享机制
以上就是Java中几种主要处理多线程序列化资源以及协调各自独立运行但需相互配合以完成任务threads 的技术手段与策略。正确应用上述技术将大大增强你程序稳定性与效率同时也降低bug出现率因此深刻理解每项技术背后理论至关重要.
92 16
|
2月前
|
缓存 并行计算 安全
关于Java多线程详解
本文深入讲解Java多线程编程,涵盖基础概念、线程创建与管理、同步机制、并发工具类、线程池、线程安全集合、实战案例及常见问题解决方案,助你掌握高性能并发编程技巧,应对多线程开发中的挑战。

热门文章

最新文章