前言
有了AVL树，为什么还要用红黑树？
红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O ( l o g 2 n ) O(log_2 n )O(log
2
n)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。
一、什么是红黑树
红黑树（Red Black Tree） 是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构，典型的用途是实现关联数组。红黑树是在1972年由Rudolf Bayer发明的，当时被称为平衡二叉B树（symmetric binary B-trees）。后来，在1978年被 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 修改为如今的 “红黑树”。红黑树是一种特化的AVL树（平衡二叉树），都是在进行插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡，从而获得较高的查找性能。 它虽然是复杂的，但它的最坏情况运行时间也是非常良好的，并且在实践中是高效的： 它可以在O ( l o g 2 n ) O(log_2 n)O(log
2
n)时间内做查找，插入和删除，这里的 n 是树中元素的数目。
二、红黑树的性质
红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。
性质如下：
1. 每个结点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空节点, 即NIL节点)
【注意】
红黑树中最短的路径即是全黑节点的路径，最长的路径则是一黑一红间隔的路径，因此红黑树就保证了：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍。
三、红黑树节点定义
红黑树的节点与AVL树几乎相同，只是红黑树节点相当于AVL树来说新增了颜色这个成员变量，而少了平衡因子。
enum Colour { RED, BLACK, }; template<class K, class V> struct RBTreeNode { RBTreeNode<K, V>* _left; RBTreeNode<K, V>* _right; RBTreeNode<K, V>* _parent; pair<K, V> _kv; Colour _col; RBTreeNode(const pair<K, V>& kv) :_kv(kv) , _left(nullptr) , _right(nullptr) , _parent(nullptr) , _col(RED) {} };
四、红黑树的插入操作
红黑树是在二叉搜索树的基础上进行插入并加上其平衡限制条件。由于上述性质的约束：插入的新节点不能为黑节点，应插入红节点。因为当插入黑节点时将破坏性质5，所以每次插入的点都是红结点，但是若他的父节点也为红，那岂不是破坏了性质4？所以要做一些“旋转”和一些节点的变色！以下是红黑树插入过程中所遇到的所有情况。
注意：这里约定cur为当前节点，p为父节点，u为叔叔节点，g为祖父节点。
情况一
情况一：即cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红。
调整方法，u节点存在且为红色，将p和u改成黑色，g改成红色，如果g不是根，则g一定有父节点，且g的双亲如果是红色，则需要继续往上调整，即g变成cur，继续直到满足红黑树条件或者到达根节点，最后将根节点置为黑色即可。
情况二
情况二：即cur为红，p为红，g为黑，u不存在 / u为黑。
【说明】
u的情况有两种：
- 如果u节点不存在，则cur一定是新插入的节点，因为如果cur不是新插入的节点，则cur和p一定有一个节点的颜色是黑色的，就不满足性质4：每条路径黑色节点的个数相同。
- 如果节点u存在，则其一定是黑色的。那么cur节点原来一定是黑色的，即当前cur节点是红色的原因是因为cur的子树在调整过程中将cur节点的颜色有黑色变为红色
p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反，p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转。
情况三
情况三: 即cur为红，p为红，g为黑，u不存在 / u为黑。
p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；相反，p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转，就变成了情况二，在右旋或者左旋加变色即可。
五、红黑树的验证
红黑树的检测分为两步：
- 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
- 检测其是否满足红黑树的性质
代码如下：
bool IsBalanceRBTree() { if (_root == nullptr) //空树是红黑树 return true; // 检查根节点是否是红黑树 if (BLACK != _root->_col) { cout << "违反红黑树性质二：根节点必须是黑色" << endl; return false; } //获取任意一条路径中的黑色结点个数——比较基准值 size_t blackCount = 0; Node* cur = _root; while (cur) { if (BLACK == cur->_col) { ++blackCount; } cur = cur->_left; } //检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数 size_t k = 0; return _IsValidRBTree(_root, k, blackCount); } bool _IsValidRBTree(Node* root, size_t k, const size_t& blackCount) { //走到空, 判断 k 和 blackCount是否相等 if (nullptr == root) { if (k != blackCount) { cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点个数必须相等" << endl; return false; } return true; } // 统计黑色节点的个数 if (BLACK == root->_col) ++k; //检查当前节点与其双亲节点是否都为红色 if (RED == root->_col && root->_parent && RED == root->_parent->_col) { cout << "违反性质三：存在连在一起的红色节点" << endl; return false; } return _IsValidRBTree(root->_left, k, blackCount) && _IsValidRBTree(root->_right, k, blackCount); }
六、红黑树完整代码
#pragma once #include<assert.h> #include<iostream> #include<vector> #include<queue> using namespace std; enum Colour { RED, BLACK, }; template<class K, class V> struct RBTreeNode { RBTreeNode<K, V>* _left; RBTreeNode<K, V>* _right; RBTreeNode<K, V>* _parent; pair<K, V> _kv; Colour _col; RBTreeNode(const pair<K, V>& kv) :_kv(kv) , _left(nullptr) , _right(nullptr) , _parent(nullptr) , _col(RED) {} }; template<class K, class V> class RBTree { typedef RBTreeNode<K, V> Node; public: bool Insert(const pair<K, V>& kv) { // 1、搜索树的插入规则 // 2、看是否违反平衡规则 if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); _root->_col = BLACK; return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } //找到了插入位置 cur = new Node(kv); cur->_col = RED; //插入结点为红色 if (parent->_kv.first < kv.first) { parent->_right = cur; } else { parent->_left = cur; } cur->_parent = parent; //存在连续的红结点 while (parent && parent->_col == RED) { Node* grandfather = parent->_parent; assert(grandfather); //parent在左 if (grandfather->_left == parent) { Node* uncle = grandfather->_right; //情况一 if (uncle && uncle->_col == RED) //叔叔存在且为红色 { //变色 parent->_col = uncle->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; //继续往上处理 cur = grandfather; parent = cur->_parent; } else // 叔叔 不存在 或者 存在且为黑 { //情况二 if (cur == parent->_left) //右单旋 { // g // p //c RotateR(grandfather); parent->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } //情况三 else //左右双旋 { // g // p // c RotateL(parent); RotateR(grandfather); cur->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } break; } } //parent在右 else //(grandfather->_right == parent) { Node* uncle = grandfather->_left; //情况一 if (uncle && uncle->_col == RED) //叔叔存在且为红色 { //变色 parent->_col = uncle->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; //继续往上处理 cur = grandfather; parent = cur->_parent; } else // 叔叔 不存在 或者 存在且为黑 { //情况二 if (cur == parent->_right) //左单旋 { // g // p // c RotateL(grandfather); parent->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } //情况三 else //(cur == parent->_left) 右左双旋 { // g // p // c RotateR(parent); RotateL(grandfather); cur->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } break; } } } _root->_col = BLACK; return true; } void InOrder() { _InOrder(_root); cout << endl; } void Height() { cout << "最长路径:" << _maxHeight(_root) << endl; cout << "最短路径:" << _minHeight(_root) << endl; } vector<vector<int>> levelOrder() { vector<vector<int>> vv; if (_root == nullptr) return vv; queue<Node*> q; int levelSize = 1; q.push(_root); while (!q.empty()) { // levelSize控制一层一层出 vector<int> levelV; while (levelSize--) { Node* front = q.front(); q.pop(); levelV.push_back(front->_kv.first); if (front->_left) q.push(front->_left); if (front->_right) q.push(front->_right); } vv.push_back(levelV); for (auto e : levelV) { cout << e << " "; } cout << endl; // 上一层出完，下一层就都进队列 levelSize = q.size(); } return vv; } //检查是否是红黑树 bool IsBalanceRBTree() { if (_root == nullptr) //空树是红黑树 return true; // 检查根节点是否是红黑树 if (BLACK != _root->_col) { cout << "违反红黑树性质二：根节点必须是黑色" << endl; return false; } //获取任意一条路径中的黑色结点个数——比较基准值 size_t blackCount = 0; Node* cur = _root; while (cur) { if (BLACK == cur->_col) { ++blackCount; } cur = cur->_left; } //检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数 size_t k = 0; return _IsValidRBTree(_root, k, blackCount); } private: void RotateL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; parent->_right = subRL; if (subRL) subRL->_parent = parent; Node* grandParent = parent->_parent; subR->_left = parent; parent->_parent = subR; if (parent == _root) { _root = subR; subR->_parent = nullptr; } else { if (parent == grandParent->_left) { grandParent->_left = subR; } else { grandParent->_right = subR; } subR->_parent = grandParent; } } void RotateR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; parent->_left = subLR; if (subLR) subLR->_parent = parent; Node* grandParent = parent->_parent; subL->_right = parent; parent->_parent = subL; if (parent == _root) { _root = subL; subL->_parent = nullptr; } else { if (parent == grandParent->_left) { grandParent->_left = subL; } else { grandParent->_right = subL; } subL->_parent = grandParent; } } void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) return; _InOrder(root->_left); cout << root->_kv.first << " "; _InOrder(root->_right); } int _maxHeight(Node* root) { if (root == nullptr) return 0; int lh = _maxHeight(root->_left); int rh = _maxHeight(root->_right); return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1; } int _minHeight(Node* root) { if (root == nullptr) return 0; int lh = _minHeight(root->_left); int rh = _minHeight(root->_right); return lh < rh ? lh + 1 : rh + 1; } bool _IsValidRBTree(Node* root, size_t k, const size_t& blackCount) { //走到空, 判断 k 和 blackCount是否相等 if (nullptr == root) { if (k != blackCount) { cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点个数必须相等" << endl; return false; } return true; } // 统计黑色节点的个数 if (BLACK == root->_col) ++k; //检查当前节点与其双亲节点是否都为红色 if (RED == root->_col && root->_parent && RED == root->_parent->_col) { cout << "违反性质三：存在连在一起的红色节点" << endl; return false; } return _IsValidRBTree(root->_left, k, blackCount) && _IsValidRBTree(root->_right, k, blackCount); } private: Node* _root = nullptr; };
七、红黑树模拟实现STL中的map与set
1. 红黑树的迭代器实现
迭代器的好处是可以方便遍历，是数据结构的底层实现与用户透明。如果想要给红黑树增加迭代
器，需要考虑以前问题：
STL明确规定，begin()与end()代表的是一段前闭后开的区间，而对红黑树进行中序遍历后，可以得到一个有序的序列，因此：begin()可以放在红黑树中最小节点(即最左侧节点)的位置，end()放在最大节点(最右侧节点)的下一个位置，关键是最大节点的下一个位置在哪块？
STL库中的红黑树实现带了一个哨兵位的头节点，通过头节点存储begin和end的指针即解决了这个问题。由于为了减少操作，上面所实现的红黑树没有带头节点，因此只需要begin()放在红黑树中最小节点(即最左侧节点)的位置，end()直接指向nullptr。红黑树迭代器实现代码：
template<class T, class Ref, class Ptr> struct __RBTreeIterator { typedef RBTreeNode<T> Node; typedef __RBTreeIterator<T, Ref, Ptr> self; Node* _node; __RBTreeIterator(Node* node) :_node(node) {} Ref operator*() { return _node->_data; } Ptr operator->() { return &_node->_data; } self& operator++() { if (_node->_right == nullptr) { //找祖先里面，孩子是父亲左的那个 Node* cur = _node; Node* parent = cur->_parent; while (parent && parent->_right == cur) { cur = cur->_parent; parent = cur->_parent; } _node = parent; } else { //右子树的最左节点 Node* subL = _node->_right; while (subL->_left) { subL = subL->_left; } _node = subL; } return *this; } self operator++(int) { self tmp(*this); ++(*this); return tmp; } self& operator--() { if (_node->_left == nullptr) { //找祖先里面，找祖先里面，孩子是父亲右的那个 Node* cur = _node; Node* parent = cur->_parent; while (parent && parent->_left) { cur = cur->_parent; parent = cur->_parent; } _node = parent; } else { //左子树的最右节点 Node* subR = _node->_left; while (subR->_right) { subR = subR->_left; } _node = subR; } return *this; } self operator--(int) { self tmp(*this); --(*this); return tmp; } bool operator!=(const self& s) { return _node != s._node; } bool operator==(const self& s) { return _node == s._node; } };
2. 改造红黑树
- 因为关联式容器中存储的是<key, value>的键值对，因此 k为key的类型，ValueType: 如果是map，则为pair<K, V>; 如果是set，则为k。
- KeyOfValue: 通过value来获取key的一个仿函数类
红黑树改造：
// T决定红黑树存什么数据 // set RBTree<K, K> // map RBTree<K, pair<K, V>> // KeyOfT -> 支持取出T对象中key的仿函数 template<class K, class T, class KeyOfT> class RBTree { typedef RBTreeNode<T> Node; public: typedef __RBTreeIterator<T, T&, T*> iterator; typedef __RBTreeIterator<T, const T&, const T*> const_iterator; iterator Begin() { Node* subL = _root; while (subL && subL->_left) { subL = subL->_left; } return subL; } iterator End() { return iterator(nullptr); } const_iterator Begin() const { Node* subL = _root; while (subL && subL->_left) { subL = subL->_left; } return subL; } const_iterator End() const { return const_iterator(nullptr); } pair<iterator,bool> Insert(const T& data) { // 1、搜索树的插入规则 // 2、看是否违反平衡规则 if (_root == nullptr) { _root = new Node(data); _root->_col = BLACK; return make_pair(iterator(_root), true); } KeyOfT kot; Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (kot(cur->_data) < kot(data)) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (kot(cur->_data) > kot(data)) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return make_pair(iterator(cur), true); } } //找到了插入位置 cur = new Node(data); Node* newnode = cur; cur->_col = RED; //插入结点为红色 if (kot(parent->_data) < kot(data)) { parent->_right = cur; } else { parent->_left = cur; } cur->_parent = parent; //存在连续的红结点 while (parent && parent->_col == RED) { Node* grandfather = parent->_parent; //assert(grandfather); //parent在左 if (grandfather->_left == parent) { Node* uncle = grandfather->_right; //情况一 if (uncle && uncle->_col == RED) //叔叔存在且为红色 { //变色 parent->_col = uncle->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; //继续往上处理 cur = grandfather; parent = cur->_parent; } else // 叔叔 不存在 或者 存在且为黑 { //情况二 if (cur == parent->_left) //右单旋 { // g // p //c RotateR(grandfather); parent->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } //情况三 else //左右双旋 { // g // p // c RotateL(parent); RotateR(grandfather); cur->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } break; } } //parent在右 else //(grandfather->_right == parent) { Node* uncle = grandfather->_left; //情况一 if (uncle && uncle->_col == RED) //叔叔存在且为红色 { //变色 parent->_col = uncle->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; //继续往上处理 cur = grandfather; parent = cur->_parent; } else // 叔叔 不存在 或者 存在且为黑 { //情况二 if (cur == parent->_right) //左单旋 { // g // p // c RotateL(grandfather); parent->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } //情况三 else //(cur == parent->_left) 右左双旋 { // g // p // c RotateR(parent); RotateL(grandfather); cur->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } break; } } } _root->_col = BLACK; return make_pair(iterator(newnode), true); } iterator Find(const K& key) { Node* cur = _root; KeyOfT kot; while (cur) { if (kot(cur->_data) < key) { cur = cur->_right; } else if (kot(cur->_data) > key) { cur = cur->_left; } else { return iterator(cur); } } return End(); } private: void RotateL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; parent->_right = subRL; if (subRL) subRL->_parent = parent; Node* grandParent = parent->_parent; subR->_left = parent; parent->_parent = subR; if (parent == _root) { _root = subR; subR->_parent = nullptr; } else { if (parent == grandParent->_left) { grandParent->_left = subR; } else { grandParent->_right = subR; } subR->_parent = grandParent; } } void RotateR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; parent->_left = subLR; if (subLR) subLR->_parent = parent; Node* grandParent = parent->_parent; subL->_right = parent; parent->_parent = subL; if (parent == _root) { _root = subL; subL->_parent = nullptr; } else { if (parent == grandParent->_left) { grandParent->_left = subL; } else { grandParent->_right = subL; } subL->_parent = grandParent; } } private: Node* _root = nullptr; };
3. 封装map
map的底层结构就是红黑树，因此在map中直接封装一棵红黑树，然后将其接口包装下即可。
template<class K, class V> class map { struct MapKeyOfT { const K& operator()(const pair<K,V>& kv) { return kv.first; } }; public: typedef typename RBTree<K, pair<K, V>, MapKeyOfT>::iterator iterator; typedef typename RBTree<K, pair<K, V>, MapKeyOfT>::const_iterator const_iterator; iterator begin() { return _t.Begin(); } iterator end() { return _t.End(); } pair<iterator, bool> insert(const pair<K, V>& kv) { return _t.Insert(kv); } iterator find(const K& key) { return _t.Find(key); } V& operator[](const K& key) { pair<iterator, bool> ret = insert(make_pair(key, V())); return ret.first->second; } private: RBTree<K, pair<K, V>, MapKeyOfT> _t; }
4. 封装set
set的底层为红黑树，因此只需在set内部封装一棵红黑树，即可将该容器实现出来，基本操作与map类似。
template<class K> class set { struct SetKeyOfT { const K& operator()(const K& key) { return key; } }; public: typedef typename RBTree<K, K, SetKeyOfT>::const_iterator iterator; typedef typename RBTree<K, K, SetKeyOfT>::const_iterator const_iterator; iterator begin()const { return _t.Begin(); } iterator end()const { return _t.End(); } pair<iterator, bool> insert(const K& key) { auto ret = _t.Insert(key); return pair<iterator, bool>(iterator(ret.first._node), ret.second); } iterator find(const K& key) { return _t.Find(key); } private: RBTree<K, K, SetKeyOfT> _t; };
