一.题目
二.思路
在动规五部曲中，这个区别主要是体现在递推公式上，其他都和上一篇文章思路是一样的。
所以我们重点讲一讲递推公式。
这里重申一下dp数组的含义：
- dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。
- dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来
- 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
- 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]
在上一题中，因为股票全程只能买卖一次，所以如果买入股票，那么第i天持有股票即dp[i][0]一定就是 -prices[i]。
而本题，因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。
那么第i天持有股票即dp[i][0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]。
再来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来
第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]
注意这里和上一题就是一样的逻辑，卖出股票收获利润（可能是负值）天经地义！
C++代码如下：
（注意代码中的注释，标记了和121.买卖股票的最佳时机唯一不同的地方）
class Solution { public: int maxProfit(vector<int>& prices) { int len = prices.size(); vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2, 0)); dp[0][0] -= prices[0]; dp[0][1] = 0; for (int i = 1; i < len; i++) { dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); // 注意这里是和121. 买卖股票的最佳时机唯一不同的地方。 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]); } return dp[len - 1][1]; } };
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
这正是因为本题的股票可以买卖多次！ 所以买入股票的时候，可能会有之前买卖的利润即：dp[i - 1][1]，所以dp[i - 1][1] - prices[i]。
想到到这一点，对这两道题理解的就比较深刻了。
Java语言版本：
// 动态规划 class Solution // 实现1：二维数组存储 // 可以将每天持有与否的情况分别用 dp[i][0] 和 dp[i][1] 来进行存储 // 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n) public int maxProfit(int[] prices) { int n = prices.length; int[][] dp = new int[n][2]; // 创建二维数组存储状态 dp[0][0] = 0; // 初始状态 dp[0][1] = -prices[0]; for (int i = 1; i < n; ++i) { dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]); // 第 i 天，没有股票 dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]); // 第 i 天，持有股票 } return dp[n - 1][0]; // 卖出股票收益高于持有股票收益，因此取[0] } }
