相关可以表示因果关系 — 仅在满足某些条件时
让我们给出因果关系的正式定义。因果关系是x导致y。关联意味着x和y沿相同或相反的方向一起移动。因果关系应满足以下三个经典条件：
- x必须在y之前发生
- x必须与y相关
- x和y之间的关系不能用其他原因解释。
从相关性推断因果关系是一件很难的事
图（A）：从相关性推断因果关系很可怕
在图（A）中，冰淇淋销量的增长与夏季鲨鱼的袭击密切相关。您认为这有意义吗？这是一种关联，但不是因果关系，因为并非以上三个条件中的所有条件都成立。首先，鲨鱼袭击的次数不会随着冰淇淋销售的增加而增加。
其次，冰淇淋销售量的增长与鲨鱼袭击之间的相关性可能始终存在，也可能不是始终存在。第三，也是最重要的一点，两个因素之间的关系可以用夏季来解释。实际上，炎热的夏天是冰淇淋销售量增加和鲨鱼袭击增加的驱动力。
混杂因素（Confounding Factor）：冰淇淋销售量x和鲨鱼袭击次数y都受夏季热量，混杂因素z的驱动，如图（B）所示。混杂因素是一个既影响因变量y又影响自变量x的变量，从而导致了虚假关联。一项研究可能会忽略混杂因素。因为我们没有收集足够的数据，所以它是不可观察的。而补救措施是将混杂因素识别为可观察的因素。
图（B）：混杂因素
内生性：如果存在一个混杂因素可以解释x和y之间的关系，则x是内生的。x和y之间的相关性也无法解释或毫无意义。您能说冰淇淋销售与鲨鱼袭击之间存在正相关关系吗？我们不应试图从正号或负号得出任何结论。事实是该系数可以更高，更低，甚至不同。
如何量化X对Y的影响？
为了衡量治疗的效果，我们必须与没有治疗的事实进行比较。换句话说，我们讨论如果个人不接受治疗会产生什么结果。
随机对照试验（RCT）通常是非常好的标准
我们要怎么解决这个难题呢？随机对照试验（RCT）通常被视为非常好的标准，因为可以确定因果关系（Shadish et al，2002）。如果我们可以将个体随机分配到治疗组和对照组，那么两组的个体特征将大致相等。那么，治疗效果就是两组之间的y之差。
让我用一种统计的方式来进行以上描述。普通最小二乘（OLS）假设x与不可观察项𝜺之间没有相关性，即没有内生性。这可以用RCT中实现，因为随机分配下不可能出现内生性或混杂问题。在下式中描述了OLS，其中i是N个个体中每个个体的标识符。第二个方程是矩阵形式。关键假设是E（X𝜺）= 0，这表示x与不可观测项𝜺之间没有相关性。错误项可能是任何不可观察的项。
但是，在大多数情况下进行RCT会不可行。RCT可能很耗时，或很昂贵，或难以向需要合作的公众解释，并且有时是不道德的。例如，在医院中，研究人员可能会建议将患者保留为对照组。这显然不可行，因为该研究使患者处于危险之中。并非所有决策问题或临床实验都可以遵循RCT。那我们还有什么办法？研究人员越来越依赖于准实验设计并取得了令人信服的结果。“准”一词表面上看起来表示不是真的。准实验设计类似于随机对照试验，但没有对研究者进行随机分配（Cook＆Campbell，1979）。
准实验接近“一样好”
RCT中无法进行大量研究。因此，我们使用了准实验设计，其中已曝光和未曝光单位之间的唯一区别是曝光本身。典型的准实验包括回归不连续性回归——Regression Discontinuity（RD），差异——Difference-in-differences（DiD）和固定效应模型——Fixed-Effects Model （FE）。
不连续性回归（RD）
RD设计将刚好高于和刚好低于阈值的对象进行比较，如图（D）中“Before”方案中的绿色框所示。预计绿色框中的主题非常相似。在“After”场景中，正确的小组受到干预，结果有所不同。结果的这种跳跃或不连续可以解释为干预的结果。
图（D）：RD
在“After”期间（“ 1” =After）对Y的预期影响为E [Y（1）| X]，而“Before”期间（“ 0” =Before）为E [Y（0）| X ]。在小绿色框中，所有X都非常相似，因此，“之前”和“之后”期间的X被认为是相同的。RD的结果接近RCT。
面板数据(Panel Data)：也称为纵向或横向时间序列数据。在面板数据中，您拥有所有时间段内个人的数据点。基本的面板数据回归模型类似于方程式（1），其中𝜶和𝜷是系数，而i和t是个体和时间的指标。面板数据使您可以控制变量并说明各个变量的差异性。有趣的是，在Python中使用Pandas模块时，您可能会奇怪为什么开发人员将其称为“ Pandas”-非常可爱！实际上，它来自“面板数据”。
假设我们可以在OLS中详尽详尽地指定所有因素：如果我们想知道一个人的婚姻状况是否会增加一个人的收入。假设我们可以指定一个详尽的模型，明确列出影响收入水平的所有因素：
其中y_it是时间t中i的收入，x_it是婚姻状况，Z_it都是观察到的随时间变化的变量，例如年龄或工作数量。W_i都是观察到的不随时间变化变量，例如种族，𝛆_it是误差项。如果我们可以列出所有因素，则可以得到𝜷的无偏差估计。
在面板数据上运行OLS时，它也称为“池化OLS”。当每个观察值彼此独立时，这是没问题的，虽然这不太可能，因为面板数据中同一个人的观察是相关的。话虽如此，有时观察结果在面板内的相关性很小，可以忽略不计。然后，您可以这样做。
但是，我们不太可能在OLS中指定所有可能的因素：很可能我们无法详尽列出所有OLS的因素。假设我们从上面的方程式中省略了Z_it和W_i，而仅将y_it回归到x_it上。我们知道婚姻状况（x_it），年龄（Z_it）和种族（W_i）很可能相关。在没有明确指定Z_it和W_i的情况下，OLS中𝜷的估计几乎可以肯定是有偏差的。这是因为未在方程式中指定Z_it和W_i使得它们变得不可观察并合并到误差项𝛆_it中。这使得婚姻状况（x_it）是内生的（请参见上面的说明）。所以结果𝜷，无论是正数还是负数，都将毫无意义。因此，遗漏变量的问题是一个非常严重的问题。如果省略了任何已知变量，则OLS中的结果都是不可靠的。
固定效果模型
上面的𝝆_i变量称为固定效果，因为它不会随时间变化。它捕获了个人的所有不随时间变化的因素，例如性别，种族甚至个人特质。y_it和x_it是i的收入和婚姻状况，Z_it代表i的所有其他随时间变化的因素。假定误差𝛆_it与所有上述因素都不相关（如果违反了此假设，则将面临省略变量导致的偏差）。
如何估算方程式（3）？在几乎所有教科书中，您都可以看到像方程式（3）一样的基本表述形式。可以将其视为i = 0，1。当有多个个体i = 1，…N时，𝝆_i可以视为具有各自系数𝜽_i的一组（N-1）个虚拟变量D_i的简写，如图所示。等式（4）是您在回归输出中看到的。
DiD是FE模型的特例
DiD是FE模型的特例。
图（E）：DiD
DiD背后的想法很简单。首先，我们计算在“Before”期间两组之间的结果均值之差，即图（E）中的“ A”。其次，我们在“After”期间计算相同的值，即“ B”。然后我们取“第二差异”，即“A”和“ B”之间的差异，并标记为“ C”。第二差异衡量两组结果的变化如何不同。差异归因于干预的因果效应。
以面板数据形式，可以通过“differencing out”混淆因素从有限元模型中得出DiD。因为没有混淆因素，所以影响确实是因果关系。典型设置类似于公式（5）。
假设个体i在治疗组（x_i = 1）或对照组（x_i = 0）中，并且在治疗前（t_i = 1）或治疗后（t_i = 0）。后期的效应为𝜷_2，如图（E）所示。这是通过以下方式得出的：
DiD模型和FE模型之间的区别在于更改是外生的。更改是在个人i的选择之外进行的。例如，某州更改了其最低饮酒年龄法律。此政策是外生的。
