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202104-2 邻域均值
| 试题编号： | 202104-2 |
|---|---|
| 试题名称： | 邻域均值 |
| 时间限制： | 1.0s |
| 内存限制： | 512.0MB |
题目内容：
试题背景
顿顿在学习了数字图像处理后，想要对手上的一副灰度图像进行降噪处理。不过该图像仅在较暗区域有很多噪点，如果贸然对全图进行降噪，会在抹去噪点的同时也模糊了原有图像。因此顿顿打算先使用邻域均值来判断一个像素是否处于较暗区域，然后仅对处于较暗区域的像素进行降噪处理。
问题描述
待处理的灰度图像长宽皆为 n 个像素，可以表示为一个 ==n×n== 大小的矩阵 A，其中每个元素是一个 ==[0,L)== 范围内的整数，表示对应位置像素的灰度值。
对于矩阵中任意一个元素 Aij（0≤i,j<n），其邻域定义为附近若干元素的集和：
==Neighbor(i,j,r)={Axy|0≤x,y<n and |x−i|≤r and |y−j|≤r}==
人话就是
这里使用了一个额外的参数 r 来指明 Aij 附近元素的具体范围。根据定义，易知 Neighbor(i,j,r) 最多有 (2r+1)2 个元素。
如果元素 Aij 邻域中所有元素的平均值==小于或等于==一个给定的阈值 t，我们就认为该元素对应位置的像素处于较暗区域。
下图给出了两个例子，左侧图像的较暗区域在右侧图像中展示为黑色，其余区域展示为白色。
现给定邻域参数 r 和阈值 t，试统计输入灰度图像中有多少像素处于较暗区域。
输入格式
输入共 n+1 行。
输入的第一行包含四个用空格分隔的正整数 n、L、r 和 t，含义如前文所述。
第二到第 n+1 行输入矩阵 A。
第 i+2（0≤i<n）行包含用空格分隔的 n 个整数，依次为 Ai0,Ai1,⋯,Ai(n−1)。
输出格式
输出一个整数，表示输入灰度图像中处于较暗区域的像素总数。
样例输入
4 16 1 6
0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11
12 13 14 15样例输出
7样例输入
11 8 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 7 0 0 0 7 0 0 7 7 0
7 0 7 0 7 0 7 0 7 0 7
7 0 0 0 7 0 0 0 7 0 7
7 0 0 0 0 7 0 0 7 7 0
7 0 0 0 0 0 7 0 7 0 0
7 0 7 0 7 0 7 0 7 0 0
0 7 0 0 0 7 0 0 7 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0样例输出
83评测用例规模与约定
70% 的测试数据满足 n≤100、r≤10。
全部的测试数据满足 0<n≤600、0<r≤100 且 2≤t<L≤256。解题思路：二维前缀和
手写图解：
公式解读：
$$ |x-i|\ \le \ r $$
$$ i-r\ \le \ x\ \le \ i+r $$
$$ 1\ \le \ x\ \le \ n $$
$$ x1\ \in \ \max \left( 1,i-r \right) $$
$$ x2\ \in \ \min \left( n,i+r \right) $$
二维前缀和（运用了容斥定理）图解：
$$ S\left( x_2,y_2 \right) =S\left( x_2,y_1 \right) +S\left( x_1,y_2 \right) -S\left( x_1,y_1 \right) +A\left( x_2,y_2 \right) $$
$$ A\left( x_2,y_2 \right) =S\left( x_2,y_2 \right) -S\left( x_2,y_1 \right) -S\left( x_1,y_2 \right) +S\left( x_1,y_1 \right) $$
【补充】
设b[]为前缀和数组，a[]为原数组，根据这句话可以得到前缀和的定义式和递推式：
| 定义式 | 递推式 | |
|---|---|---|
| 一维前缀和 | ![b[i]=\sum_{j=0}^{i}a[j]](https://private.codecogs.com/gif.latex?b%5Bi%5D%3D%5Csum_%7Bj%3D0%7D%5E%7Bi%7Da%5Bj%5D) | ![b[i]=b[i-1]+a[i]](https://private.codecogs.com/gif.latex?b%5Bi%5D%3Db%5Bi-1%5D+a%5Bi%5D) |
| 二维前缀和 | b[x=\sum_{i=0}^{x}\sum_{j=0}^{y}ai](https://private.codecogs.com/gif.latex?b%5Bx%5D%5By%5D%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bx%7D%5Csum_%7Bj%3D0%7D%5E%7By%7Da%5Bi%5D%5Bj%5D) | b[x=bx-1+bx-bx-1+ax](https://private.codecogs.com/gif.latex?b%5Bx%5D%5By%5D%3Db%5Bx-1%5D%5By%5D+b%5Bx%5D%5By-1%5D-b%5Bx-1%5D%5By-1%5D+a%5Bx%5D%5By%5D) |
【差分】
差分是一个数组相邻两元素的差，一般为下标靠后的减去靠前的一个。设差分数组p[]，即：
![p[i]=a[i]-a[i-1]](https://private.codecogs.com/gif.latex?p%5Bi%5D%3Da%5Bi%5D-a%5Bi-1%5D)
【联系】前缀和 和 差分 是一对互逆过程。
AC代码：
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int[][] sum = new int[605][605], data = new int[605][605];
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt(), l = sc.nextInt(), r = sc.nextInt(), t = sc.nextInt();
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++)
data[i][j] = sc.nextInt();
// 前缀和
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++)
sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + data[i][j];
int res = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++) {
int x1, x2, y1, y2;
x1 = Math.max(1, i-r);
x2 = Math.min(n, i+r);
y1 = Math.max(1, j-r);
y2 = Math.min(n, j+r);
// 通过前缀和拿到区域面积
int tarSum = sum[x2][y2] - sum[x1-1][y2] - sum[x2][y1-1] + sum[x1-1][y1-1];
if(tarSum <= t*(x2-x1+1)*(y2-y1+1)) res++;
}
System.out.println(res);
}
}