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[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 Gronwall-type inequality)

2014-06-26 548

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简介： Suppose that

$\bex \cfrac{\rd f}{\rd t}+h\leq gf\quad (f,g,h\geq 0,\ t\in [0,T]). \eex$ Then for

$t\in [0,T]$ , $$\bex f(t)+\int_0^t h(s)\rd s \leq f...

Suppose that

$\bex \cfrac{\rd f}{\rd t}+h\leq gf\quad (f,g,h\geq 0,\ t\in [0,T]). \eex$ Then for

$t\in [0,T]$ ,

$\bex f(t)+\int_0^t h(s)\rd s \leq f(0)\sez{ 1+\int_0^t g(s)\rd s\cdot \exp\sex{\int_0^t g(s)\rd s} }. \eex$

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张祖锦

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[再寄小读者之数学篇](2014-06-21 Beal-Kaot-Majda type logarithmic Sobolev inequality)

For

$f\in H^s(\bbR^3)$ with

$s>\cfrac{3}{2}$ , we have $$\bex \sen{f}_{L^\infty}\leq C\sex{1+\sen{f}_{\dot B^0_{\infty,\infty}}}\ln \sex{1+\sen{f}_{H^s}},\quad s>\cfrac{3}{2}.

张祖锦

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Perl

[再寄小读者之数学篇](2015-06-24 Series)

(AMM. Problems and Solutions. 2015. 03) Let

$\sed{a_n}$ be a monotone decreasing sequence of real numbers that converges to

$0$ .

张祖锦

556 0 0

张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Besov space estimates)

(1)

$\bex \sen{D^k f}_{\dot B^s_{p,q}}\sim \sen{f}_{\dot B^{s+k}_{p,q}}. \eex$ (2) $$\beex \bea &\quad s>0,\ q\in [1,\infty],\quad p_1,r_1\in [1,...

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593 0 0

张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Logarithmical Sobolev inequality using BMO space)

$$\bex q>3\ra \sen{\n f}_{L^\infty} \leq C(q)\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2}\sex{e+\sen{\n f}_{W^{1,q}}+\sen{f}_{L^\infty}} }.

张祖锦

793 0 0

张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-12-04

$\left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0.$ )

试证:

$\bex \left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0. \eex$ 证明 (from Hansschwarzkopf): 对任何

$x>0$ , 有 \[x\ln\left(1+\frac{1}{x}\ri...

张祖锦

879 0 0

张祖锦

Perl

[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 Bernstein's inequality)

$$\bex \supp \hat u\subset \sed{2^{j-2}\leq |\xi|\leq 2^j} \ra \cfrac{1}{C}2^{jk}\sen{f}_{L^p} \leq \sen{D^k f}_{L^p}\leq C2^{jk} \sen{f}_{L^p}; \eex$...

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张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2015-05-01 求渐近线)

试求曲线

$f(x)=xe^\frac{1}{x^2}$ 的渐近线. 解答: 由

$\bex \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty \eex$ 知曲线没有水平渐近线.

张祖锦

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机器学习/深度学习

[再寄小读者之数学篇](2014-06-15 右半实轴上的一致连续函数)

(from Longji Zhong) 设

$f$ 在

$(0,\infty)$ 上一致连续, 且对

$\forall\ h>0$ ,

$\dps{\vlm{n}f(nh)}$ 存在. 试证:

$\dps{\vlm{x}f(x)}$ 存在.

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601 0 0

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[再寄小读者之数学篇](2014-05-27 矩阵的迹与 Jacobian)

(from MathFlow) 设

$A=(a_{ij})$ , 且定义

$\bex \n_A f(A)=\sex{\cfrac{\p f}{\p a_{ij}}}. \eex$ 试证: (1)

$\n_A\tr (AB)=B^t$ ; (2)

$\n_A \tr(ABA^tC)=CAB+C^tAB^t$ .

张祖锦

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[再寄小读者之数学篇](2014-07-17 一阶中值)

设

$f(x)$ 在

$[a,b]$ 上可导, 且

$f'(a)=f'(b)$ , 试证: $$\bex \exists\ \xi\in (a,b),\st f'(\xi)(\xi-a)=f(\xi)-f(a).

张祖锦

753 0 0

[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 Gronwall-type inequality)

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