最大、最小值定理证明

最大、最小值定理：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，那么函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有最大值与最小值。

证明：

先证明有最大值，前述有界性定理已经证明，函数$f$有上界，根据确界原理，函数$f$有上确界，记为M，则M就是函数的最大值，而区间$[a,b]$上必存在一点$\xi$，使得$f(\xi)=M$。
为证明上述结论，我们使用反证法，先假设不存在这样的点使得$f(\xi)=M$，即$f(x)<M(x\in[a,b])$，设
$$ g(x)=\frac{1}{M-f(x)} $$
由复合函数的穿透性可知，$g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，根据有界性定理可知，函数$g(x)$有界，设$G$为其上界，则
$$ f(x)=M-\frac{1}{g(x)} \leq M-\frac{1}{G} $$
这与$M$是函数$f(x)$的上确界的前提矛盾，故假设不成立，函数$f(x)$有最大值。
同理可以证明函数$f(x)$有最小值。