插值方法及MATLAB实例解析
插值：已知有限个已知数据点，求得的插值函数必须过这些点，然后在这个范围内用插值函数求得未知数据点的值。
拟合：已知有限个已知数据点，但拟合函数不用过每一个数据点，只要在这些点的总偏差最小。
下面的几种插值方法不再赘述，可以参考链接，具体的会在程序中注解。
1.分段线性插值
2.样条插值
3.拉格朗日插值多项式
拉格朗日插值的基函数为：
拉格朗日基函数经过每一个已知点。
l i 是n次多项式，满足：
拉格朗日插值函数：
举个简单的例子：
已知三个点( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x 3 , y 3 ) ， x 1 ≠ x 2 ≠ x 3 ,那么拉格朗日插值函数就可以写成：
不难发现：当x = x 1 , x 2 , x 3 的时候，刚好是已知点对应的函数值，要插值的时候只需将x xx换成该范围内的任意值即可，这下你应该很清楚了。
4. 例题与程序
%插值 clear,clc x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]; %已知数据点 y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6]; x=0:0.1:15; %要插值的点 y1=interp1(x0,y0,x); %第一种插值法：默认线性插值（分段线性插值） y2=interp1(x0,y0,x,'spline'); %第二种插值法：三次样条插值 %csape(x0,y0,conds) pp1=csape(x0,y0); %csape()函数返回给定点（x0,y0）的三次样条插值，此处conds默认为complete y3=ppval(pp1,x); %ppval函数给出三次样条插值pp在x处对应的函数值 pp2=csape(x0,y0,'second'); %此处conds为边界为二阶导数，默认值为[0 0] y4=ppval(pp2,x); %y3和y4的差别在于conds的选择不同 %拉格朗日插值 syms t; sum=0; f=1; for i=1:10 for j=1:10 if j==i continue; %i=j时跳出本次循环 else f=f.*(((t-x0(j))./(x0(i)-x0(j)))); %基函数表达式 end end sum=sum+f.*y0(i); f=1; end y5=vpa(subs(sum,t,x),6) %将符号变量替换为x A=[x',y1',y2',y3',y4',y5']; %输出5种插值点的函数值 vpa(A,6) %显示5位有效数字 %-------------------------------绘图-----------------------------% subplot(2,2,1) plot(x0,y0,'+',x,y1,'-') %绘制原来数据点和分段线性插值的图像 title('Piecewise linear') subplot(2,2,2) %用spline插值 plot(x0,y0,'+',x,y2) title('Spline1') subplot(2,2,3) %用csape插值 plot(x0,y0,'+',x,y3) title('Spline2-csape') subplot(2,2,4) %用拉格朗日插值 plot(x0,y0,'+',x,y5) title('Lagrange') %求x=0处的曲线斜率 dx=diff(x); dy=diff(y3); dy_dx=dy./dx; dy_dx0=dy_dx(1) %求x<=13<=15内的最小点 ytemp=y3(131:151); %步长是0.1 ymin=min(ytemp); %找到y的最小的y值再找到对应的x值 index=find(y3==ymin); %find()函数，返回.....的索引 xmin=x(index); min_point_13_15=[xmin,ymin]
结果如下:
