算法的复杂度

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。

时间复杂度

时间复杂度是一个函数。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

大O的渐进表示法
大O符号：用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：
1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2.在修改后的运行次数中，只保留最高阶项。
3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
大O的渐进表示法去掉了对结果影响不大的项，简洁表示出了执行次数。
注意：
·O(1)并不是代表1次，而是常数次。
·大O渐进表示法只是估算。
另外有些算法的时间复杂度存在最好，平均，最坏的情况：
·最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)。
·平均情况：任意输入规模的期望运行次数
·最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N的数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中，一般只关注最坏运行情况，所以它的时间复杂度为O(N)。

各种求时间复杂度例题：

计算冒泡排序的时间复杂度：

计算两个循环的时间复杂度：

计算二分查找的时间复杂度：

注意：在c语言中logN的底数默认是2。

计算阶乘递归的时间复杂度：

下面是变式：

计算斐波那契递归的时间复杂度：

空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。

空间复杂度算的是变量的个数，计算规则也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数，局部变量，一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

各种求空间复杂度的例题：

求冒泡排序的空间复杂度：

求斐波那契数列的空间复杂度

算法常见复杂度：