向量的内积外积与其几何意义

一、点乘（内积）

有向量 $\vec a=(x_1,y_1)，\vec b=(x_2,y_2)$，夹角为 $\theta$，内积为：
$$ \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=x_1x_2 + y_1y_2 $$

几何意义：

1. 夹角，由 $\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$ 知，当内积 $>0$，$\theta<90^\circ$，内积 $<0$，$\theta>90^\circ$，内积 $=0$，$\theta=90^\circ$。同时也可以计算 $\theta$ 的值：$$\theta=arccos\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}$$
2. 投影，$$|\vec a|\cos\theta=\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|}$$ 表示 $\vec a$ 在 $\vec b$ 上的投影。
   对偶性：$\vec a \cdot \vec b=|\vec a|(|\vec b|\cos\theta)=|\vec b|(|\vec a|\cos\theta)$
   $|\vec a|(|\vec b|\cos\theta)$ 的理解是 $\vec a$ 的长度与 $\vec b$ 在 $\vec a$ 上的投影的乘积；
   $|\vec b|(|\vec a|\cos\theta)$ 的理解是 $\vec b$ 的长度与 $\vec a$ 在 $\vec b$ 上的投影的乘积；
   而这两个是相等的。

二、叉乘（外积）

上面的公式，就是求三阶行列式。

几何意义：

1. 上面如果不把 $\vec i,\vec j,\vec k$ 的具体指带入公式，而是写成 $\vec a \times \vec b=m\vec i+n\vec j+l\vec k$ 的形式，向量 $(m,n,l)$ 就是一个同时垂直 $\vec a$ 和 $\vec b$ 的向量，如下图：

2. 对于二维向量，$\vec a=(x_1,y_1)，\vec b=(x_2,y_2)$，按照上面的公式得：

$\vec a \times \vec b=\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix}=x_1y_2-x_2y_1$，设这个数值为 $m$。
则，$|m|=|a×b|=|a| |b|\sin\theta$ （$\theta$为 $\vec a$ 和 $\vec b$ 的夹角）
且，|m| = $\vec a$ 和 $\vec b$构成的平行四边形的面积 ，如下图：

3. 判断向量的相对位置（顺逆时针）

$\vec a$ 和 $\vec b$ 如图所示：

如果让 $\vec a$ 以最小角度转到 $\vec b$ 的方向，是顺时针还是逆时针呢，从图中很容易看出，但怎么用数字判断呢？
仍然是 $m=\vec a \times \vec b=x_1y_2-x_2y_1$，
当 $m>0$，$\vec a$ 逆时针转到 $\vec b$ 的角度 $<180^\circ$，
当 $m<0$，$\vec a$ 逆时针转到 $\vec b$ 的角度 $>180^\circ$，
当 $m=0$，$\vec a$ 和 $\vec b$ 共线。

直观记忆如下图：

$m>0$，$\vec b$ 在蓝色部分；
$m<0$，$\vec b$ 在红色部分；
$m=0$，$\vec b$ 在分界线上（与 $\vec a$ 共线 ）。

三、扩展（坐标系引发的顺逆指针分不清事件）

我们平时默认的坐标系是这样的：

但有时候的坐标系是这样的（比如数字图像中）：

可以发现，同样的 $\vec a=(2,1)$ 转到 $\vec b=(1,2)$ ，在上面的坐标系中就是逆时针，而在下面的坐标系中就是顺时针，所以为了统一说明，定义了 “正旋转” ：从 $x$ 轴旋转到 $y$ 轴的方向。
所以，上面利用向量叉乘判断向量相对位置的性质描述应该为：
当 $m>0$，$\vec a$ 正旋转到 $\vec b$ 的角度 $<180^\circ$，
当 $m<0$，$\vec a$ 正旋转到 $\vec b$ 的角度 $>180^\circ$，
当 $m=0$，$\vec a$ 和 $\vec b$ 共线。
而那张直观记忆图只在我们平时默认的坐标系中才成立。