上一篇博客介绍了双层优化的基本原理和使用KKT条件求解双层优化的方法，这篇博客将介绍使用yalmip的双层优化问题的求解方法。
1.KKT函数
通过调用yalmip工具箱中的KKT函数，可以直接求出优化问题的KKT条件，省去自己手动写的步骤，函数用法如下：
[KKTsystem, details] = kkt(Constraint,Objective,z)
其中z表示优化变量，KKTsystem存储KKT条件的约束表达式，details是一个结构体变量，用于存储KKT条件的细节。以上一篇博客中双层优化问题的下层优化问题为例：
matlab代码：
%% 目标函数和约束条件 x=sdpvar(1); y=sdpvar(1); Constraints=[-3*x+y <= -3 , 3*x+y <= 30]; objective=-y; [KKTsystem, details] = kkt(Constraints,objective,x);
运行结果：
将下层优化的KKT条件作为约束添加到上层优化中，就可以求出这个双层优化的结果：
%% 清空 clc clear close all warning off %% 目标函数和约束条件 x=sdpvar(1); y=sdpvar(1); Constraints_down=[-3*x+y <= -3 , 3*x+y <= 30]; objective_down=-y; [KKTsystem , details] = kkt(Constraints_down,objective_down,x); Constraints_up=[2*x-3*y >= -12 , x+y <= 14]; objective_up=-x-2*y; ops=sdpsettings('verbose', 0 , 'solver', 'gurobi'); result=optimize([KKTsystem,Constraints_up,boundingbox([Constraints_up,Constraints_down])],objective_up,ops); %% 输出模型 saveampl(KKTsystem,objective_down,'KKT_model'); %% 输出结果 disp(['最优解：x=',num2str(value(x)),',y=',num2str(value(y))]) disp(['最优函数值=',num2str(value(objective_up))])
求解的结果如下：
和上一篇博客手动写KKT的求解结果一致。
上面的例子是一个简单的线性双层优化问题，yalmip官方文档中给出了使用KKT函数求解非线性双层优化的例子。这个双层优化问题如下：
一样可以用KKT函数求解，代码如下（这是官网提供的代码）：
sdpvar x1 x2 y1 y2 y3 OO = -8*x1-4*x2+4*y1-40*y2-4*y3; OO = OO+OO^2; CO = [x1>=0, x2>=0]; OI = (x1+2*x2+y1+y2+2*y3)^2; CI = [[y1 y2 y3] >= 0, -y1+y2+y3 <= 10, 2*x1-y1+2*y2-0.5*y3 <= 10, 2*x2+2*y1-y2-0.5*y3 <= 9.7]; [K,details] = kkt(CI,OI,[x1 x2]) optimize([K,CO,boundingbox([CI,CO]),details.dual<=100],OO)
求解结果为：
最优目标函数为-0.25
x1=0.0625,x2=0,y1=0,y2=0,y3=0。
2.solvebilevel函数
solvebilevel是yalmip工具箱内置的求解双层优化问题的函数。也就是通过这个函数，不需要咱手动写KKT条件，也不需要使用KKT函数，直接把上、下层优化的目标函数、约束条件往里面一放，就能求出结果。
代码如下：
%% 清空 clc clear close all warning off %% 目标函数和约束条件 x=sdpvar(1); y=sdpvar(1); Constraints_down=[-3*x+y <= -3 , 3*x+y <= 30]; objective_down=-y; Constraints_up=[2*x-3*y >= -12 , x+y <= 14]; objective_up=-x-2*y; solvebilevel(Constraints_up,objective_up,Constraints_down,objective_down,y) %% 输出结果 disp(['最优解：x=',num2str(value(x)),',y=',num2str(value(y))]) disp(['最优函数值=',num2str(value(objective_up))])
求解结果如下：
和上篇博客手动写KKT条件，这篇博客利用KKT函数求解的结果都是一样的，确实比较省事。但也要注意，这个函数只适用于规模较小的问题，如果问题规模比较大，还是需要自己手动进行双层问题的求解。
