1，帮助线性系统求解。
线性系统是一种很广泛用来描述世界，描述问题的方式。很多问题都可以被线性系统抽象为$Ax=b$的形式，其中$x$是要求解，通过"高斯消元"可以很容易得到解。但是如果$A$是一个可逆的系数矩阵，并能够求出$A^{-1}$的话，就有$ A^{-1} \cdot A \cdot x = A^{-1}\cdot b$，也能解出$x=A^{-1}\cdot b$。不过在一次计算的过程中，求出矩阵$A$的逆的时间复杂度其实和"高斯消元"的过程几乎是一致的，甚至求$A^{-1}$的时间复杂度会更高。
但是对于形式$Ax=b$,如果在矩阵$A$不变，$b$会变化的情况下，通过$x=A^{-1}\cdot b$求解会大大加快计算速度。
2、当一个方阵$A$可逆，以下四个等价命题即成立：
① 矩阵$A$是非奇异矩阵;
② 齐次线性系统$Ax=0$有唯一解，且这个解为零解$\begin{bmatrix} 1&0&0&|&0\\0&1&0 &|&0\\0&0&1&|&0\end{bmatrix}\to x=0$;
③ 矩阵$A$的行最简形式为$I$,$reff(A) = I$ ；
④ 矩阵$A$可以表示为一些列初等矩阵的乘积,$reff(A)=I=E_{p}\cdot ... \cdot E_{3} \cdot E_{2} \cdot E_{1} \cdot A \\ (E_{p}^{-1}\cdot ... \cdot E_{3}^{-1} \cdot E_{2}^{-1} \cdot E_{1}^{-1})\cdot (E_{p}\cdot ... \cdot E_{3} \cdot E_{2} \cdot E_{1} )\cdot A = (E_{p}^{-1}\cdot ... \cdot E_{3}^{-1} \cdot E_{2}^{-1} \cdot E_{1}^{-1})\cdot I \\ A = E_{p}^{-1}\cdot ... \cdot E_{3}^{-1} \cdot E_{2}^{-1} \cdot E_{1}^{-1}$
