标准空间：欧拉空间是对现实空间的规则抽象和推广（从n<=3推广到有限n维空间）。
一个标准二维空间由互相垂直的两个标准单位向量$\vec e_1=(1,0) 和 \ \vec e_2=(0,1)$所定义，在$\vec e_1$向量方向上的移动单位为$\vec e_1$向量的模$\|\vec e_1\|$，在$\vec e_2$向量方向上的移动单位为$\vec e_2$向量的模$\|\vec e_2\|$。用矩阵表示这个二维空间：
从列视角看待下式矩阵与向量的乘法：
$ \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix}y = \begin{bmatrix} x \\0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\y \end{bmatrix} = x \cdot \vec e_1 + y \cdot \vec e_2$
在$\vec e_1=(1,0)和 \ \vec e_2=(0,1)$所定义的空间中，$(x,y)$这个坐标释意为描述一个在$\vec e_1$向量方向上的移动单位为$x \cdot \|\vec e_1\|$，和在$\vec e_2$向量方向上移动$y$个$ \|\vec e_2\|$单位后的点。构成空间的两个向量的模都是1，所以在两向量中分别移动$x,y$单位后的结果向量在该空间中为描述$(x,y)$。
在欧拉空间中，任意$n$个线性无关向量组都可以建立一个空间，如两线性无关向量$\vec u \ , \ \vec v$建立了一个空间:$ \begin{bmatrix} 4&2 \\ 1&3 \end{bmatrix}$，$\color{red}{ \small 其中}\color{red}{\vec u \ , \ \vec v} \color{red}{\small 两向量的分量值是基于标准欧式空间给出的描述}$。我们可以知道，一个标准二维空间的点$(2,3)$，坐标$(2,3)$是在这个标准二维空间中$\vec e_1$方向上移动2个单位，$\vec e_2$方向上移动3个单位的点对象的位置描述，这个点在$\vec u \ , \ \vec v$建立的空间体系中的描述坐标应该是：
$ \begin{bmatrix} 4&2 \\ 1&3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 3\end{bmatrix} = 2 \cdot \begin{bmatrix} 4\\1\end{bmatrix} + 3 \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 \\ 11 \end{bmatrix} = 2 \cdot \vec u + 2 \cdot \vec v$
在标准二维空间的基础上，建立一个非标准二维空间$\vec u \ , \ \vec v$，并在非标准二维空间内刻画一个描述在标准二维空间内点$(2,3)$
