TimSort——最快的排序算法

排序算法是每个程序员绕不开的课题，无论是大学课程还是日常工作，都离不开排序算法。常见的排序算法有：冒泡排序、选择排序、插入排序、希尔排序、归并排序、快速排序、堆排序、基数排序等。下面是这些算法性能的概览：

上述算法中，我们日常用的最多的可能是快速排序和堆排序，这两个算法都是性能很高的排序算法，缺点是不稳定。今天要介绍的 TimSort 算法性能比快速排序和堆排序还高，且是稳定排序算法。

TimSort 简介

TimSort 算法是 Tim Peters) （就是写 Python 之禅 的那个大神） 于 2001 年为 Python 语言创建的。该算法建立在插入排序和归并排序的基础之上，兼具插入排序和归并排序的优点。

图1. Tim Peters，就是这位大神开创了 TimSort

TimSort 的平均时间复杂度为 $O(n\log n)$ ，最好情况 $O(n)$ ，最差情况 $O(n\log n)$ 。空间复杂度 $O(n)$ ，是一个稳定的排序算法。

自该算法被发明以来，已被 Python、Java、Android 平台和 GNU Octave 用作默认排序算法。Java 中的 Arrays.sort()，Python 中的 sort() 和 sorted() 背后用的都是 TimSort。

TimSort 原理

TimSort 的排序思想并不复杂，首先使用插入排序对小块进行排序，然后使用归并排序合并这些块。

TimSort 会将数组（列表）分成名为 Run 的小块。首先使用插入排序对这些 run 块进行排序，然后使用归并排序中的 combine 函数合并这些 run 块。如果数组的大小小于 run 块的大小，则仅使用插入排序对数组进行排序。run 块的大小可能从 32 到 64 不等，具体取决于数组的大小。请注意，子数组的大小尽量是 2 的幂，这样 merge 函数性能表现会更好。

以下是对 TimSort 算法的逐步解释：

• 使用插入排序将输入数组分成小的 run块。每个 run 块都为递增顺序。
• 然后使用改进的归并排序算法合并 run 块。合并步骤的工作原理是比较 每个run 块的第一个元素，并将最小的元素添加到输出数组。该过程一直持续到所有元素都添加到输出数组。
• 如果 run 块不是良构的，即有些不是按升序排列的，那么它们将合并在一起直到它们为良构的。
• run 块的大小在每次迭代中增加两倍，直到整个数组排序完成。

TimSort 的想法是基于插入排序对小数组表现良好的事实，因此在最好情况下可以获得插入排序 $O(n)$ 的最好性能。同时又能获得归并排序最差 $O(n\log n)$ 的性能表现。

TimSort 详解

小数组用插入排序

正如前面 TimSort 算法原理讲到的，如果数组比较小（通常是小于 $2^6=64$），那么 TimSort 会直接采用插入排序对数组进行排序。

这是因为插入排序作为一种简单的排序算法，对小列表最有效。它在较大的列表中非常慢，但在小列表中非常快。 插入排序的思想如下：

• 逐个扫一遍数组元素
• 通过在正确位置插入元素来构建排序数组

插入排序相信大家都学过，原理也比较简单，这里不做过多赘述。下面这一张动图很好的演示了插入排序的过程。

图2. 插入排序过程演示

Run 块

如果列表比较大，则算法会先遍历列表，查找严格递增或递减的部分。如果该部分是递减的，则将其反转成递增的。

举个例子，假如数组元素是 $[3, 2, 1, 9, 17, 34]$，遍历发现前3个元素是递减的，则 run 块会将其变为递增的，即 $[\bold{1,2,3},9,17,34]$。

当 run 块的数量等于或略小于 2 的幂时，合并 2 个数组的效率会更高。Timsort 通过确保 minrun 等于或小于 2 的幂来保证合并的效率。 minrun 的取值范围一般在 32 到 64 之间（含）。选定的 minrun 值要确保原始数组的长度除以 minrun 后等于或略小于 2 的幂。

如果 run 块的长度小于 minrun，则计算该 run 块长度与 minrun 的偏离，看看 run 块还差多少元素并执行插入排序以创建新 run 块。

这部分完成后，我们得到一堆排序好的 run 块。

归并

这一步，Timsort 执行归并排序将 run 块合并在一起。这里，Timsort 需要确保在归并排序时保持稳定性和合并平衡。

为了保持稳定性，算法就不应该交换 2 个等值的数。这不仅保留了它们在列表中的原始位置，而且使算法更快。

当 Timsort 发现 run 块时，会将它们添加到栈中。栈是先进后出的。

Timsort 试图在归并排序 run 块时平衡两种相互竞争的需求。一方面，我们希望尽可能地延迟合并，以便利用稍后可能出现的模式。但我们更希望尽快进行合并，以利用刚刚发现的处于栈顶的 run 块，因此我们也不能将合并延迟“太久”，因为它会消耗更多内存来记住仍未合并的 run 块，并且栈的大小是有限的。

为了找到最优折中方案，Timsort 会跟踪栈中最近的三个项并规定如下 2 个法则：

1. $A \gt B+C$
2. $B \gt C$

其中 $A,B,C$ 是栈中最近的三个项。用 Tim Peters 的原话说：

结果证明这是一个很好的折衷方案，在栈顶维护两个不变量，其中 A、B 和 C 是三个最右边尚未合并的切片的长度。

通常，将不同长度的相邻 run 块合并到位是很困难的。更难的是我们必须保持稳定。为了解决这个问题，Timsort 预留了临时内存。它将两个 run 块中较小的（同时调用 run A 和 run B）放入该临时内存中。

算法实现

下面给出 TimSort 的 Python 实现。

TimSort 依赖于插入排序和归并排序，我们首先实现这 2 种排序。

# insertionSort函数用插入排序从left到right排序数组arr
def insertionSort(arr, left, right):
    for i in range(left + 1, right + 1):
        j = i
        while j > left and arr[j] < arr[j - 1]:
            arr[j], arr[j - 1] = arr[j - 1], arr[j]
            j -= 1

# merge函数合并排序好的run块
def merge(arr, l, m, r):

    # 原数组一分为二：左数组和右数组
    len1, len2 = m - l + 1, r - m
    left, right = [], []
    for i in range(0, len1):
        left.append(arr[l + i])
    for i in range(0, len2):
        right.append(arr[m + 1 + i])

    i, j, k = 0, 0, l

    # 比较后将两个数组合并成一个更大的数组
    while i < len1 and j < len2:
        if left[i] <= right[j]:
            arr[k] = left[i]
            i += 1

        else:
            arr[k] = right[j]
            j += 1

        k += 1

    # 复制左数组遗留元素
    while i < len1:
        arr[k] = left[i]
        k += 1
        i += 1

    # 复制右数组遗留元素
    while j < len2:
        arr[k] = right[j]
        k += 1
        j += 1

计算 run 块的最小值，确保归并可以高效运行

MIN_MERGE = 32

# 计算run块的最小长度 
def calcMinRun(n):
    r = 0
    while n >= MIN_MERGE:
        r |= n & 1
        n >>= 1
    return n + r

TimSort过程

# TimSort排序
def timSort(arr):
    n = len(arr)
    minRun = calcMinRun(n)

    # 对大小为 RUN 的单个子数组进行排序
    for start in range(0, n, minRun):
        end = min(start + minRun - 1, n - 1)
        insertionSort(arr, start, end)

    # 从大小 RUN（或 32）开始合并。最终合并形成大小为2^n
    size = minRun
    while size < n:
        # 选择左子数组的起点。 
        # 合并 arr[left..left+size-1] 和 arr[left+size, left+2*size-1] 
        # 每次合并后，left 增加 2*size
        for left in range(0, n, 2 * size):
            # 查找左子数组的终点 
            # mid+1 为右子数组的起点
            mid = min(n - 1, left + size - 1)
            right = min((left + 2 * size - 1), (n - 1))

            # 合并子数组 arr[left.....mid] & arr[mid+1....right]
            if mid < right:
                merge(arr, left, mid, right)

        size = 2 * size

if __name__ == "__main__":
    arr = [-2, 7, 15, -14, 0, 15, 0,
           7, -7, -4, -13, 5, 8, -14, 12]

    print("排序前")
    print(arr)

    timSort(arr)

    print("排序后")
    print(arr)

输出：

排序前
-2, 7, 15, -14, 0, 15, 0, 7, -7, -4, -13, 5, 8, -14, 12
排序后
-14  -14  -13  -7  -4  -2  0  0  5  7  7  8  12  15  15

总结

Timsort 实际上已经内置于 Python 中，上面给出的代码实现仅作为演示用。

在 Python 要使用 Timsort，只需 list.sort() 或 sorted(list) 即可。

如果你想掌握 Timsort 的工作原理，我强烈建议你尝试自己实现一遍！