1.算法仿真效果
matlab2022a仿真结果如下：
2.算法涉及理论知识概要
LDPC ( Low-density Parity-check，低密度奇偶校验）码是由 Gallager 在1963 年提出的一类具有稀疏校验矩阵的线性分组码 (linear block codes)，然而在接下来的 30 年来由于计算能力的不足，它一直被人们忽视。1996年，D MacKay、M Neal 等人对它重新进行了研究，发现 LDPC 码具有逼近香农极限的优异性能。并且具有译码复杂度低、可并行译码以及译码错误的可检测性等特点，从而成为了信道编码理论新的研究热点。
Mckay ，Luby 提出的非正则 LDPC 码将 LDPC 码的概念推广。非正则LDPC码 的性能不仅优于正则 LDPC 码，甚至还优于 Turbo 码的性能，是目前己知的最接近香农限的码。
在LDPC码的校验矩阵中，如果行列重量固定为(P，Y)，即每个校验节点有Y个变量节点参与校验，每个变量节点参与P个校验节点，我们称之为正则LDPC码。Gallager最初提出的Gallager码就具有这种性质。从编码二分图的角度来看，这种LDPC码的变量节点度数全部为P，而校验节点的度数都为Y。我们还可以适当放宽上述正则LDPC码的条件，行列重量的均值可以不是一个整数，但行列重量尽量服从均匀分布。另外为了保证LDPC码的二分图上不存在长度为4的圈。我们通常要求行与行以及列与列之间的交叠部分重量不超过1，所谓交叠部分即任意两列或两行的相同部分。我们可以将正则LDPC码校验矩阵H的特征概括如下：
- H的每行行重固定为P，每列列重固定为Y。
- 任意两行(列)之间同为1的列(行)数(称为重叠数)不超过1，即H矩阵中不含四角为1 的小方阵，也即无4线循环。
- 行重P和列重Y相对于H的行数M、列数N很小，H是个稀疏矩阵。
在正则LDPC码的校验矩阵中。行重和列重的均值保持不变，所以校验矩阵中1的个数随着码长的增加而线性增长，整个校验矩阵的元素个数则成平方增长。当码长达到一定长度时，校验矩阵H是非常稀疏的低密度矩阵。对于正则的LDPC码，MacKay给出了以下两个结论：
- 对于任意给定列重大于3的LDPC码，存在某个小于信道传输容量且大于零的速率r ，当码长足够长时，可以实现以小于r且不为零的速率无差错的传输。也就是说任意给定一个不为零的传输速率r，存在一个小于相应香农限的噪声门限，当信道噪声低于该门限且码长足够长的时候，可以实现以r速率无差错的传输。
- 当LDPC码的校验矩阵H的列重Y不固定，而是根据信道特性和传输速率来确定时，则一定可以找到一个最佳码，实现在任意小于信道传输容量的速率下无差错的传输。
对LDPC码的定义都是在二元域基础上的，MaKcay对上述二元域的LDPC码又进行了推广。如果定义中的域不限于二元域就可以得到多元域GF(q)上的LDPC码。多元域上的LDPC码具有较二进制LDPC码更好的性能，而且实践表明在越大的域上构造的LDPC码，译码性能就越好，比如在GF(16)上构造的正则码性能己经和Turbo码相差无几。多元域LDPC码之所以拥有如此优异的性能，是因为它有比二元域LDPC码更重的列重，同时还有和二元域LDPC码相似的二分图结构。
LDPC码在典型的数字通信系统下的性能仿真
在次典型的数字通信系统中，进行分析比较，LDPC码长分别选204,504,1008 ,采用高斯消元法，构造校验矩阵 码率为1/2,采用标准的BP算法译码，在AWGN信道，BPSK调制.
3.MATLAB核心程序
R = 0.5;
N = 204;
M = N*R;
EbN0 = [0,1,2,3,4,5];
max_iter = 40;
[H,G] = getG(M,N);
disp('Start......');
for i=1:length(EbN0)
Bit_err(i) = 0;
Num_err = 0;
Numbers = 0; %误码率累加器
while Num_err <= Times(i)
Num_err
fprintf('Eb/N0 = %f\n', EbN0(i));
Trans_data = round(rand(1,N-M)); %产生需要发送的随机数
ldpc_code = mod(Trans_data*G,2); %LDPC编码
Trans_BPSK = 2*ldpc_code-1; %BPSK
%通过高斯信道
sigma = sqrt(1./(2*10^(EbN0(i)/10)*R));
Rec_BPSK = Trans_BPSK + sigma*randn(1,size(G,2));
%LDPC译码
z_hat = func_Dec(Rec_BPSK,sigma,H,max_iter);
x_hat = z_hat(size(G,2)+1-size(G,1):size(G,2));
[nberr,rat] = biterr(x_hat',Trans_data);
Num_err = Num_err+nberr;
Numbers = Numbers+1;
end
Bit_err(i)=Num_err/(N*Numbers);
end
figure;
semilogy(EbN0,Bit_err,'o-r');
xlabel('Eb/N0（dB）');
ylabel('BER');
grid on;
if N == 204
save R1.mat EbN0 Bit_err
end
if N == 504
save R2.mat EbN0 Bit_err
end
if N == 1008
save R3.mat EbN0 Bit_err
end