首先我们先来介绍下树

树形结构

基本概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点

除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m)，又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继树

是递归定义的

特殊概念(重要)

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

高度：高度是指从该节点到叶子节点的所经过的节点个数

例如A的高度为4(A—>P经历了四个节点),G的高度为2(G—>N）经历了两个节点)

深度：深度是指从该节点到根节点所经过的节点个数

例如B的深度为2(B—>A经历了2个节点)

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为

兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林

树的表示形式（了解）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法， 孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
int value;        // 树中存储的数据
Node firstChild;  // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

孩子兄弟表示法示意图:

树的应用

文件系统管理（目录和文件）

二叉树(重点)

二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉 树组成。

二叉树的特点：

1.每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。

2.二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

二叉树的基本形态

上图给出了几种特殊的二叉树形态，从左往右依次是：空树、只有根节点的二叉树、节点只有左子树、节点只有右 子树、节点的左右子树均存在，一般二叉树都是由上述基本形态结合而形成的。

两种特殊的二叉树

1.满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2 k 2^{k}2

k

-1，则它就是满二叉树。满二叉树其实是一种特殊的完全二叉树，我们后面学习的堆，其实就是完全二叉树

2.完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一 一对应时称之为完全 二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的性质(一般用于填空和选择题)

1.若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2 i − 1 2^{i-1}2

i−1

(i>0)个结点

2.若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2 k 2^{k}2

k

-1(k>=0)

最大节点数就是放满的情况下，所以一个节点的深度为3，那么这棵二叉树最多可以放7个节点，也就是层数为3的满二叉树.

3.对任何一棵二叉树, 如果其叶子结点个数为 n0, 度为2的非叶子结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

4.具有n个结点的完全二叉树的深度k为

k向上取整

5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有：

（1):

若i>0，则双亲序号为：(i-1)/2；

若i=0，此时i为根节点编号，根节点是无双亲节点的

上述需要注意的是:此时的编号是从i=0的时候开始编号的，也就是说根节点此时的编号为0,所以双亲序号为(i-1)/2;而当i=1的时候，此时根节点的编号为1，那么双亲序号为i/2，来看一道题目:

将一颗有 100 个结点的完全二叉树从根这一层开始，每一层从左到右依次对结点进行编号，根节点编号为 1 ，则编号为 98的节点的父节点编号为?

答：很多同学在做这道题目的时候都会直接套(98-1)/2 = 48,但是这样算的话是错误的，原因是我们此时根节点编号是从1开始的，并不是从0开始的，所以此时就直接98/2=49即可，所以父节点的编号为49.

(2):

若2i+1

若2i+2

练习题

假设一棵完全二叉树中总共有1000个节点，则该二叉树中 500个叶子节点， 500个非叶子节点，1 个节点只有左孩子， 0个只有右孩子。

二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：

顺序存储(顺序存储多用于完全二叉树)

类似于链表的链式存储(适用于所有二叉树类型的存储)

顺序存储我们在下节介绍，我们首先来介绍链式存储

链式存储法

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。

二叉表示法图示:也就是我们的孩子表示法

三叉表示法图示:也就是我们的孩子双亲表示法