目录
一、杨辉三角
1.1 简介
1.2 特性
二、案例实现
2.1 C/C++算法实现
2.2 python实现
三、重点分析
一、杨辉三角
这里简单介绍一下，具体的在百度百科上都能找到。
1.1 简介
杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。
1.2 特性
前提：每行端点与结尾的数为1.
每个数等于它上方两数之和。
每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
第n行的数字有n项。
前n行共[(1+n)n]/2 个数。
第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。
每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
将第n行的数字分别乘以10^（m-1），其中m为该数所在的列，再将各项相加的和为11^（n-1）。11^0=1，11^1=1x10^0+1×10^1=11，11^2=1×10^0+2x10^1+1x10^2=121，11^3=1x10^0+3×10^1+3x10^2+1x10^3=1331，11^4=1x10^0+4x10^1+6x10^2+4x10^3+1x10^4=14641，11^5=1x10^0+5x10^1+10x10^2+10x10^3+5x10^4+1×10^5=161051。
第n行数字的和为2^（n-1）。1=2^（1-1），1+1=2^（2-1），1+2+1=2^（3-1），1+3+3+1=2^（4-1），1+4+6+4+1=2^（5-1），1+5+10+10+5+1=2^（6-1）。
斜线上数字的和等于其向左（从左上方到右下方的斜线）或向右拐弯（从右上方到左下方的斜线），拐角上的数字。1+1=2，1+1+1=3，1+1+1+1=4，1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，1+3=4，1+3+6=10，1+4=5。
将各行数字左对齐，其右上到左下对角线数字的和等于斐波那契数列的数字。1，1，1+1=2，2+1=3，1+3+1=5，3+4+1=8，1+6+5+1=13，4+10+6+1=21，1+10+15+7+1=34，5+20+21+8+1=55。
二、案例实现
2.1 C/C++算法实现
在这里使用的是堆栈空间存储方法实现，最后结果打印出想要的前n行所有的数据。其实网上也有很多实现方法，有的内存、时间消耗可能比我的更小。在这里我只是个引子，附上代码:
#include <string> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define n 20 void fun(int **arr,int num) { int i = 0,j = 0; if (arr == NULL) { return ; } arr[0][0] = 1; arr[1][0] = 1; arr[1][1] = 1; for(i = 2;i < num;i++) { arr[i][0] = 1; for (j = 1;j < i;j++) { arr[i][j] = arr[i-1][j-1]+arr[i-1][j]; } arr[i][i] = 1; } return ; } int main() { int i,j = 0; int **array = new int *[n]; for (j = 0;j < n;j++) { array[j] = new int[j+1]; memset(array[j],0,sizeof(int)*(j+1)); } fun(array,n); for(i = 0;i < n;i++) { for (j = 0;j < (n-i);j++) { printf(" "); } for (j = 0;j < i+1;j++) { printf("%d ",array[i][j]); } printf("\n"); } for(i = 0;i < n;i++) { if (array[i] != NULL) { delete []array[i]; array[i] = NULL; } } delete []array; array = NULL; system("pause"); return 0; }
执行结果：
2.2 python实现
def yh_tri(mylist1,mylist2,n): l = len(mylist1) if n < 2: return if l < 2: return if l >= n: print("the list len >= %d ",n) return for i in range(l,n): mylist2.append(1) for j in range(i-1): a = mylist1[i-1][j] b = mylist1[i-1][j+1] c = a + b mylist2.append(c) mylist2.append(1) mylist1.insert(len(mylist1),mylist2[:]) mylist2.clear()
函数调用：
mylist1 = [[1],[1,1]] mylist2 = [] n = 10 #可根据需求改变 yh_tri(mylist1,mylist2,n) for i in range(n): print(" "*(2*n-2*i-2),mylist1[i])
最后执行结果：
In [1]:runfile('D:/my_workspace/Python/yh_tri.py', wdir='D:/my_workspace/Python') [1] [1, 1] [1, 2, 1] [1, 3, 3, 1] [1, 4, 6, 4, 1] [1, 5, 10, 10, 5, 1] [1, 6, 15, 20, 15, 6, 1] [1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1] [1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1] [1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1]
三、重点分析
1、杨辉三角特性分析，需要明确其中的规律：即下一层的数首尾均为1，且其他数是由上层左右肩部数据之和得到的。对应特性3，特性7。
2、在c/c++实现中，需要二维内存循环开辟，并注意结束后的内存释放。
3、python实现过程中，嵌套列表中元素循环添加问题，注意列表之间赋值后，不要随着列表更改而改变大列表的元素（后续会详细分析讲到）。
