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    算法复杂性分析是什么

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就好比问,汉语中常用写作方法有多少种,怎么分类。 算法按用途分,体现设计目的、有什么特点 算法按实现方式分,有递归、迭代、平行、序列、过程、确定、不确定等等 算法按设计范型分,有分治、动态、贪心、线性、图论、简化等等 作为图灵完备的语言,理论上”Java语言“可以实现所有算法。 “Java的标准库'中用了一些常用数据结构和相关算法. 像apache common这样的java库中又提供了一些通用的算法-------------------------排序是程序开发中一种非常常见的操作,对一组任意的数据元素(或记录)经过排序操作后,就可以把他们变成一组按关键字排序的有序队列。 对一个排序算法来说,一般从下面3个方面来衡量算法的优劣: 时间复杂度:它主要是分析关键字的比较次数和记录的移动次数。 空间复杂度:分析排序算法中需要多少辅助内存。 稳定性:若两个记录A和B的关键字值相等,但是排序后A,B的先后次序保持不变,则称这种排序算法是稳定的;反之,就是不稳定的。 就现有的排序算法来看,排序大致可分为内部排序和外部排序。如果整个排序过程不需要借助外部存储器(如磁盘等),所有排序操作都是在内存中完成,这种排序就被称为内部排序。 如果参与排序的数据元素非常多,数据量非常大,计算无法把整个排序过程放在内存中完成,必须借助于外部存储器(如磁盘),这种排序就被称为外部排序。 外部排序最常用算噶是多路归并排序,即将原文件分解称多个能够一次性装入内存的部分,分别把每一部分调入内存完成排序,接下来再对多个有序的子文件进行归并排序。 就常用的内部排序算法来说,可以分为以下几类: 选择排序(直接选择排序,堆排序) 交换排序(冒泡排序,快速排序) 插入排序(直接插入排序,折半插入排序,Shell排序) 归并排序 桶式排序 基数排序

青衫无名 2019-12-02 01:17:52 0 浏览量 回答数 0

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曾经因为看不懂数据结构和算法,而一度怀疑是自己太笨,实际上,很多人在第一次接触这门课时,都会有这种感觉,觉得数据结构和算法很抽象,晦涩难懂,宛如天书。正是这个原因,让很多初学者对这门课望而却步,希望以下分享能为初学者排忧解难。 我个人觉得,其实真正的原因是你没有找到好的学习方法,没有抓住学习的重点。实际上,数据结构和算法的东西并不多,常用的、基础的知识点更是屈指可数。只要掌握了正确的学习方法,学起来并没有看上去那么难,更不需要什么高智商、厚底子。 还记得大学里每次考前老师都要划重点吗?今天,我就给你划划我们这门课的重点,再告诉你一些我总结的学习小窍门。相信有了这些之后,你学起来就会有的放矢、事半功倍了。 什么是数据结构?什么是算法? 大部分数据结构和算法教材,在开篇都会给这两个概念下一个明确的定义。但是,这些定义都很抽象,对理解这两个概念并没有实质性的帮助,反倒会让你陷入死抠定义的误区。毕竟,我们现在学习,并不是为了考试,所以,概念背得再牢,不会用也就没什么用。 虽然我们说没必要深挖严格的定义,但是这并不等于不需要理解概念。下面我就从广义和狭义两个层面,来帮你理解数据结构与算法这两个概念。 从广义上讲,数据结构就是指一组数据的存储结构。算法就是操作数据的一组方法。 图书馆储藏书籍你肯定见过吧?为了方便查找,图书管理员一般会将书籍分门别类进行“存储”。按照一定规律编号,就是书籍这种“数据”的存储结构。 那我们如何来查找一本书呢?有很多种办法,你当然可以一本一本地找,也可以先根据书籍类别的编号,是人文,还是科学、计算机,来定位书架,然后再依次查找。笼统地说,这些查找方法都是算法。 从狭义上讲,是指某些著名的数据结构和算法,比如队列、栈、堆、二分查找、动态规划等。这些都是前人智慧的结晶,我们可以直接拿来用。我们要讲的这些经典数据结构和算法,都是前人从很多实际操作场景中抽象出来的,经过非常多的求证和检验,可以高效地帮助我们解决很多实际的开发问题。 那数据结构和算法有什么关系呢?为什么大部分书都把这两个东西放到一块儿来讲呢? 这是因为,数据结构和算法是相辅相成的。数据结构是为算法服务的,算法要作用在特定的数据结构之上。因此,我们无法孤立数据结构来讲算法,也无法孤立算法来讲数据结构。 比如,因为数组具有随机访问的特点,常用的二分查找算法需要用数组来存储数据。但如果我们选择链表这种数据结构,二分查找算法就无法工作了,因为链表并不支持随机访问。 数据结构是静态的,它只是组织数据的一种方式。如果不在它的基础上操作、构建算法,孤立存在的数据结构就是没用的。 现在你对数据结构与算法是不是有了比较清晰的理解了呢?有了这些储备,下面我们来看看,究竟该怎么学数据结构与算法。 看到数据结构和算法里的“算法”两个字,很多人就会联想到“数学”,觉得算法会涉及到很多深奥的数学知识。那我数学基础不是很好,学起来会不会很吃力啊? 数据结构和算法课程确实会涉及一些数学方面的推理、证明,尤其是在分析某个算法的时间、空间复杂度的时候,但是这个你完全不需要担心。 学习的重点在什么地方? 提到数据结构和算法,很多人就很头疼,因为这里面的内容实在是太多了。这里,我就帮你梳理一下,应该先学什么,后学什么。你可以对照看看,你属于哪个阶段,然后有针对地进行学习。 想要学习数据结构与算法,首先要掌握一个数据结构与算法中最重要的概念——复杂度分析。 这个概念究竟有多重要呢?可以这么说,它几乎占了数据结构和算法这门课的半壁江山,是数据结构和算法学习的精髓。 数据结构和算法解决的是如何更省、更快地存储和处理数据的问题,因此,我们就需要一个考量效率和资源消耗的方法,这就是复杂度分析方法。所以,如果你只掌握了数据结构和算法的特点、用法,但是没有学会复杂度分析,那就相当于只知道操作口诀,而没掌握心法。只有把心法了然于胸,才能做到无招胜有招! 所以,复杂度分析这个内容,你也一定要花大力气来啃,必须要拿下,并且要搞得非常熟练。否则,后面的数据结构和算法也很难学好。 搞定复杂度分析,下面就要进入数据结构与算法的正文内容了。 为了让你对数据结构和算法能有个全面的认识,我画了一张图,里面几乎涵盖了所有数据结构和算法书籍中都会讲到的知识点。 但是,作为初学者,或者一个非算法工程师来说,你并不需要掌握图里面的所有知识点。很多高级的数据结构与算法,比如二分图、最大流等,这些在我们平常的开发中很少会用到。所以,你暂时可以不用看。我还是那句话,咱们学习要学会找重点。如果不分重点地学习,眉毛胡子一把抓,学起来肯定会比较吃力。 所以,结合我自己的学习心得,还有这些年的面试、开发经验,我总结了20个最常用的、最基础数据结构与算法,不管是应付面试还是工作需要,只要集中精力逐一攻克这20个知识点就足够了。 这里面有10个数据结构:数组、链表、栈、队列、散列表、二叉树、堆、跳表、图、Trie树;10个算法:递归、排序、二分查找、搜索、哈希算法、贪心算法、分治算法、回溯算法、动态规划、字符串匹配算法。 掌握了这些基础的数据结构和算法,再学更加复杂的数据结构和算法,就会非常容易、非常快。 与此同时,为了帮助大家学习算法,准备了一份学习资料,获取方式:关注我的公众号“程序媛不是程序猿”,回复“算法”即可弹出领取地址。对于新手来说很适用。 在学习数据结构和算法的过程中,你也要注意,不要只是死记硬背,不要为了学习而学习,而是要学习它的“来历”“自身的特点”“适合解决的问题”以及“实际的应用场景”。对于每一种数据结构或算法,我都会从这几个方面进行详细讲解。只要你掌握了《数据结构与算法之美》每节课里讲的内容,就能在开发中灵活应用。 学习数据结构和算法的过程,是非常好的思维训练的过程,所以,千万不要被动地记忆,要多辩证地思考,多问为什么。如果你一直这么坚持做,你会发现,等你学完之后,写代码的时候就会不由自主地考虑到很多性能方面的事情,时间复杂度、空间复杂度非常高的垃圾代码出现的次数就会越来越少。你的编程内功就真正得到了修炼。 一些可以让你事半功倍的学习技巧 前面我给你划了学习的重点,作为一个过来人,现在我就给你分享一下,学习的一些技巧。掌握了这些技巧,可以让你化被动为主动,学起来更加轻松,更加有动力! 边学边练,适度刷题 “边学边练”这一招非常有用。建议你每周花1~2个小时的时间,集中把这周的三节内容涉及的数据结构和算法,全都自己写出来,用代码实现一遍。这样一定会比单纯地看或者听的效果要好很多! 有面试需求的同学,可能会问了,那我还要不要去刷题呢? 我个人的观点是可以“适度”刷题,但一定不要浪费太多时间在刷题上。我们学习的目的还是掌握,然后应用。除非你要面试Google、Facebook这样的公司,它们的算法题目非常非常难,必须大量刷题,才能在短期内提升应试正确率。如果是应对国内公司的技术面试,即便是BAT这样的公司,你只要彻底掌握这个专栏的内容,就足以应对。 多问、多思考、多互动 学习最好的方法是,找到几个人一起学习,一块儿讨论切磋,有问题及时寻求老师答疑。但是,离开大学之后,既没有同学也没有老师,这个条件就比较难具备了。 打怪升级学习法 学习的过程中,我们碰到最大的问题就是,坚持不下来。是的,很多基础课程学起来都非常枯燥。为此,我自己总结了一套“打怪升级学习法”。 游戏你肯定玩过吧?为什么很多看起来非常简单又没有乐趣的游戏,你会玩得不亦乐乎呢?这是因为,当你努力打到一定级别之后,每天看着自己的经验值、战斗力在慢慢提高,那种每天都在一点一点成长的成就感就不由自主地产生了。 知识需要沉淀,不要想试图一下子掌握所有 在学习的过程中,一定会碰到“拦路虎”。如果哪个知识点没有怎么学懂,不要着急,这是正常的。因为,想听一遍、看一遍就把所有知识掌握,这肯定是不可能的。学习知识的过程是反复迭代、不断沉淀的过程。 这些内容是我根据平时的学习和工作、面试经验积累,精心筛选出来的。只要掌握这些内容,应付日常的面试、工作,基本不会有问题。 以上内容出自近70000+程序员的算法课堂《数据结构与算法之美》,这个专栏是市面上唯一一门真正适用于工程师的专栏,专栏中列举大量实际软件开发中的场景,给你展示如何利用数据结构和算法解决真实的问题。整个专栏会涵盖100 多个算法真实项目场景案例,更难得的是它跟市面上晦涩的算法书籍不同的是,还手绘了一些清晰易懂的详解图(总共有 300 多张)。 手绘图—出自《数据结构与算法之美》 专栏已经更新完毕,72 篇文章,27 万字,这个专栏作者并非只是单纯地把某个知识点讲清楚,而是结合作者的理解、实践和经验来讲解,我相信它是一个跟所有国内、国外经典书籍都不一样的专栏,一个可以长期影响一些人的专栏。 这个专栏不会像《算法导论》那样,里面有非常复杂的数学证明和推理。作者会由浅入深,从概念到应用,一点一点给你解释清楚。你只要有高中数学水平,就完全可以学习。 当然,当然希望你最好有些编程基础,如果有项目经验就更好了。这样给你讲数据结构和算法如何提高效率、如何节省存储空间,你就会有很直观的感受。因为,对于每个概念和实现过程,作者都会从实际场景出发,不仅教你“是什么”,还会教你“为什么”,并且告诉你遇到同类型问题应该“怎么做”。 强烈推荐这个专栏给想攻克算法的同学,它改变了无数对算法恐惧的同学,我整理了一些专栏的评价给大家参考。

游客arp6khj2dsufi 2019-12-02 03:09:08 0 浏览量 回答数 0

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抽象成数学问题: 明确问题是进行机器学习的第一步。机器学习的训练过程通常都是一件非常耗时的事情,胡乱尝试时间成本是非常高的。这里的抽象成数学问题,指的我们明确我们可以获得什么样的数据,目标是一个分类还是回归或者是聚类的问题,如果都不是的话,如果划归为其中的某类问题。 获取数据: 数据决定了机器学习结果的上限,而算法只是尽可能逼近这个上限。数据要有代表性,否则必然会过拟合。而且对于分类问题,数据偏斜不能过于严重,不同类别的数据数量不要有数个数量级的差距。而且还要对数据的量级有一个评估,多少个样本,多少个特征,可以估算出其对内存的消耗程度,判断训练过程中内存是否能够放得下。如果放不下就得考虑改进算法或者使用一些降维的技巧了。如果数据量实在太大,那就要考虑分布式了。 特征预处理与特征选择: 良好的数据要能够提取出良好的特征才能真正发挥效力。特征预处理、数据清洗是很关键的步骤,往往能够使得算法的效果和性能得到显著提高。归一化、离散化、因子化、缺失值处理、去除共线性等,数据挖掘过程中很多时间就花在它们上面。这些工作简单可复制,收益稳定可预期,是机器学习的基础必备步骤。筛选出显著特征、摒弃非显著特征,需要机器学习工程师反复理解业务。这对很多结果有决定性的影响。特征选择好了,非常简单的算法也能得出良好、稳定的结果。这需要运用特征有效性分析的相关技术,如相关系数、卡方检验、平均互信息、条件熵、后验概率、逻辑回归权重等方法。 训练模型与调优: 直到这一步才用到我们上面说的算法进行训练。现在很多算法都能够封装成黑盒供人使用。但是真正考验水平的是调整这些算法的(超)参数,使得结果变得更加优良。这需要我们对算法的原理有深入的理解。理解越深入,就越能发现问题的症结,提出良好的调优方案。 模型诊断:如何确定模型调优的方向与思路呢?这就需要对模型进行诊断的技术。过拟合、欠拟合判断是模型诊断中至关重要的一步。常见的方法如交叉验证,绘制学习曲线等。过拟合的基本调优思路是增加数据量,降低模型复杂度。欠拟合的基本调优思路是提高特征数量和质量,增加模型复杂度。误差分析 也是机器学习至关重要的步骤。通过观察误差样本,全面分析误差产生误差的原因:是参数的问题还是算法选择的问题,是特征的问题还是数据本身的问题。诊断后的模型需要进行调优,调优后的新模型需要重新进行诊断,这是一个反复迭代不断逼近的过程,需要不断地尝试, 进而达到最优状态。 模型融合: 一般来说,模型融合后都能使得效果有一定提升。而且效果很好。工程上,主要提升算法准确度的方法是分别在模型的前端(特征清洗和预处理,不同的采样模式)与后端(模型融合)上下功夫。因为他们比较标准可复制,效果比较稳定。而直接调参的工作不会很多,毕竟大量数据训练起来太慢了,而且效果难以保证。 上线运行:这一部分内容主要跟工程实现的相关性比较大。工程上是结果导向,模型在线上运行的效果直接决定模型的成败。 不单纯包括其准确程度、误差等情况,还包括其运行的速度(时间复杂度)、资源消耗程度(空间复杂度)、稳定性是否可接受。这些工作流程主要是工程实践上总结出的一些经验。并不是每个项目都包含完整的一个流程。这里的部分只是一个指导性的说明,只有大家自己多实践,多积累项目经验,才会有自己更深刻的认识。

珍宝珠 2019-12-02 03:22:25 0 浏览量 回答数 0

Quick BI 数据可视化分析平台

2020年入选全球Gartner ABI魔力象限,为中国首个且唯一入选BI产品

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TensorFlow 什么是TensorFlow? 该库是由Google与Brain Team合作开发的。TensorFlow几乎在每个Google应用程序中用于机器学习。 TensorFlow的工作方式类似于编写涉及大量张量操作的新算法的计算库。由于神经网络可以很容易地表示为计算图形,因此它们可以使用TensorFlow作为Tensors上的一系列操作来实现。此外,张量是表示数据的N维矩阵。 TensorFlow的特点 TensorFlow针对速度进行了优化,它利用XLA等技术实现快速线性代数运算。 使用TensorFlow,我们可以轻松地可视化图形的每个部分,这在使用Numpy或SciKit时不是一个选项。 其中一个非常重要的Tensorflow功能是它的可操作性非常灵活,这意味着它具有模块化,并且对于您想要独立的部分,它为您提供了这一选择。 它可以在CPU和GPU上轻松训练,用于分布式计算。 TensorFlow提供流水线操作,从某种意义上说,您可以训练多个神经网络和多个GPU,这使得模型在大规模系统上非常高效。已经有一大批软件工程师不断致力于稳定性改进。而且它是开源的,所以只要有互联网连接,任何人都可以使用它。 NumPy 什么是Numpy? Numpy被认为是Python中最受欢迎的机器学习库之一。TensorFlow和其他库在内部使用Numpy在Tensors上执行多个操作。数组接口是Numpy的最佳和最重要的功能。 Numpy的特点 Numpy非常具有交互性且易于使用;使复杂的数学实现变得非常简单;使编码变得简单易懂并且理解概念很容易;广泛使用,因此有很多开源贡献。 Scikit-Learn 什么是Scikit-Learn? 它是一个与NumPy和SciPy相关联的Python库。它被认为是处理复杂数据的最佳库之一。 这个库中有很多变化。一种修改是交叉验证功能,可以使用多个指标。物流回归和最近邻居等许多培训方法都得到了一些改进。 Scikit-Learn的特点 有多种方法可以检查监督模型对看不见的数据的准确性;无监督学习算法:同样,在提供中有大量的算法 - 从聚类,因子分析和主成分分析到无监督神经网络;用于从图像和文本中提取特征。

剑曼红尘 2020-03-26 13:02:32 0 浏览量 回答数 0

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[递归]-分- [递推] 和 [回归] 递归的概念及递归算法的结构 1、所谓的递归,是指函数在执行过程中自己调用了自己或者说某种数据结构在定义时又引用了自身。这两种情况都可理解为递归。比如: void fun() { .. fun() .. }//fun 以上函数fun就是一个递归函数。而针对于各种数据结构中的递归结构就更多了,如单链表,广义表,树。在这些递归结构中,具有一个相同的特征:其中的某个域的数据类型是其结点类型本身。 2、递归算法的大致结构为: a、递归出口 b、递归体 一个递归算法,当其问题求解的规模越来越小时必定有一个递归出口,就是不再递归调用的语句。递归体则是每次递归时执行的语句序列。比如以下简要描述的递归函数中: f(n)=1 (当n=0时) f(n)=n*f(n-1) (当n>0时) 这个递归函数,实际是求n的阶乘。当n=0时,不再递归调用,而当其值置为1;当n>0时,就执行n*f(n-1),这是递归调用。从整体上理解递归算法的大致结构有利于我们在设计递归算法时,从总体上把握算法的正确性。 二、栈与递归的关系:递归的运行 递归在实现过程中是借助于栈来实现的。高级语言的函数调用,每次调用,系统都要自动为该次调用分配一系列的栈空间用于存放此次调用的相关信息:返回地址,局部变量等。这些信息被称为工作记录(或活动记录)。而当函数调用完成时,就从栈空间内释放这些单元,但是,在该函数没有完成前,分配的这些单元将一直保存着不被释放。递归函数的实现,也是通过栈来完成的。在递归函数没有到达递归出口前,都要不停地执行递归体,每执行一次,就要在工作栈中分配一个工作记录的空间给该“层”调用存放相关数据,只有当到达递归出口时,即不再执行函数调用时,才从当前层返回,并释放栈中所占用的该“层”工作记录空间。请大家注意,递归调用时,每次保存在栈中的是局部数据,即只在当前层有效的数据,到达下一层时上一层的数据对本层数据没有任何影响,一切从当前调用时传过来的实在参数重新开始。 由此可见,从严老师P版教材中,利用栈将递归向非递归转化时所采用的方法,实质是用人工写的语句完成了本该系统程序完成的功能,即:栈空间中工作记录的保存和释放。大家在以后的作题时,可以参照以上的分析来理解递归函数的运行过程。实际上,现在的考试中,已经很少见到有学校要求运用栈与实现递归转化为非递归来解题了,所以,大家能理解这个算法更好,不能理解的也不用太担心。我曾就此问题专门向严老师咨询过,严老师说之所以在C版的教材中没有讲到这个算法,也是考虑到了目前国内学校在这方面已经基本不作要求。但是,递归算法的运行过程应该心中有数。 三、递归与递推的关系 “递归算法的执行过程分递推与回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。在回归阶段,当获得最简单的情况后,逐级返回,依次获得稍复杂问题的解。”(摘自于“高程”教材) “递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求问题解的一种方法。设要求问题规模为N的解,当N=1时,解或已知,或能非常方便地得到解。能采用递推法构造算法的问题有重要的递推性质,即当得到问题规模为i-1的解后,由问题的递推性质,能从已求得的规模为1,2,3、、、i-1的一系列解,构造出问题规模为i的解。直到最终得到问题规模为N的解。” 由此可见,递推是递归的一个阶段,递归包含着递推。当然,对于实际的算法设计,知不知道这两者之间的关系并不重要,重要的是我们能找出这其中的递推规律和回归时机。 四、适合于用递归实现的问题类型 必须具有两个条件的问题类型才能用递归方法求得: 1、规模较大的一个问题可以向下分解为若干个性质相同的规模较小的问题,而这些规模较小的问题仍然可以向下分解。 2、当规模分解到一定程度时,必须有一个终止条件,不得无限分解。 由此可见适合于递归实现的问题类型有: 1、函数定义是递归的。如阶乘,FIB数列。 2、数据结构递归的相关算法。如:树结构。 3、解法是递归的。如:汉诺塔问题。 五、递归算法的设计 从递归算法的结构来分析,进行递归算法的设计时,无非要解决两个问题:递归出口和递归体。即要确定何时到达递归出口,何时执行递归体,执行什么样的递归体。递归算法算法设计的关键是保存每一层的局部变量并运用这些局部变量。由此,递归算法的设计步骤可从以下三步来作: 1、分析问题,分解出小问题; 2、找出小问题与大问题之间的关系,确定递归出口; 3、用算法语言写出来。 六、递归算法向非递归算法的转化方法 1、迭代法 如果一个函数既有递归形式的定义,又有非递归的迭代形式的定义,则通常可以用循环来实现递归算法的功能。 2、消除尾递归 尾递归,是一类特殊的递归算法。它是指在此递归算法中,当执行了递归调用后,递归调用语句后面再没有其它可以执行的语句了,它即没有用到外层的状态,也没有必要保留每次的返回地址,因为其后不再执行其它任何*作,所以可以考虑消除递归算法。这种情况下,我们可以用循环结构设置一些工作单元来帮助消除尾递归,这些工作单元用于存放一层层的参数。 3、利用栈 当一个递归算法不利于用迭代法和消除尾递归法实现向非递归算法的转化时,可以考虑用栈来实现。实现的过程实际上就是用人工的方法模拟系统程序来保存每层的参数,返回地址,以及对参数进行运算等。 一般情况下,对于递归算法向非递归算法的转化问题,特别是结构定义时的递归算法,我们通常先写出递归算法,然后再向非递归算法转化,而不是首先就尝试写出非递归算法来。

祁同伟 2019-12-02 01:25:44 0 浏览量 回答数 0

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沉默术士 2019-12-01 22:07:51 1453 浏览量 回答数 1

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  算法,数据结构是关键,另外还有组合数学,特别是集合与图论,概率论也重要。推荐买一本《算法导论》,那本书行,看起来超爽。。。基本掌握语法还不行啊,语法的超熟练掌握,不然出了错误很难调试的。。。最重要的是超牛皮的头脑啦,分析能力,逻辑推理能力很重要。ACM很好玩啦,祝你成功。。。   acm是3人一组的,以学校为单位报名的,也就是说要得到学校同意,还要有2个一起搞的。其实可能是你不知道你们学校搞acm的地方,建议你好好询问下你们学校管科技创新方面的人。建议你找几个兴趣相同的一起做,互相探讨效果好多了,团队合作也是acm要求的3大能力之一。   数据结构远远不够的,建议你看算法导论,黑书,oj的话个人觉得还是poj好,有水题有好题,而且做的人多,要解题报告什么的也好找。我们就是一些做acm的学生一起搞,也没老师,这样肯定能行的。   基础的话是语言,然后数据结构,然后算法。   ACM有三个方向:算法,数学,实现   要求三种能力:英文,自学,团队协作   简单的说,你要能读懂英文的题意描述,要有一门acm能使用的编程语言,要会数据结构,有一点数学基础,一点编程方面天赋,要有兴趣和毅力(最重要),就具有做ACM的基本条件了。   做acm我推荐c,c++也可以,java在某些情况下好用,但是大多数情况的效率和代码量都不大好,所以建议主用c++,有些题目用java   还有什么问题,可以问我啊。   不好意思,没见过用java描述的acm书籍,大多数是用伪命令,其他有的用的c,c++,老一些的用pascal。java只是用来做高精度的一些题的,个人觉得不用专门看这方面的书,java的基本部分学好就够用了。所以我还是推荐主用c++,在高精度和个别题再用java。你可以找找java描述的算法设计与分析,这个好像有   数据结构:C语言版 清华大学出版社 严蔚敏 《数据结构》   算法:清华大学出版社 王晓东 《算法设计与分析》   麻省理工大学 中译本:机械工业出版社 《算法导论》   基本上这三本书就已经足够了,建议一般水平的人先不要看算法导论,待另外两本书看的差不多的时候,再看算法导论加深理解。   另外还有很多针对性更强的书籍,不过针对性太强,这里就不多介绍了。   以上一些都是些算法方面的书,最好的方式就是做题与看书相结合,很多在线做题的网站,PKU,ZOJ很多,推荐PKU,题目比较多,参与的人比较多。做一段时间的题,然后看书,研究算法,再做题,这样进步比较快。   还有关于ACM竞赛,我有自己的一点话说。   首先说下ACM/ICPC是个团队项目,最后的参赛名额是按照学校为单位的,所以找到志同道合的队友和学校的支持是很重要的。   刚刚接触信息学领域的同学往往存在很多困惑,不知道从何入手学习,在这篇文章里,我希望能将自己不多的经验与大家分享,希望对各位有所帮助。   一、语言是最重要的基本功   无论侧重于什么方面,只要是通过计算机程序去最终实现的竞赛,语言都是大家要过的第一道关。亚洲赛区的比赛支持的语言包括C/C++与JAVA。笔者首先说说JAVA,众所周知,作为面向对象的王牌语言,JAVA在大型工程的组织与安全性方面有着自己独特的优势,但是对于信息学比赛的具体场合,JAVA则显得不那么合适,它对于输入输出流的操作相比于C++要繁杂很多,更为重要的是JAVA程序的运行速度要比C++慢10倍以上,而竞赛中对于JAVA程序的运行时限却往往得不到同等比例的放宽,这无疑对算法设计提出了更高的要求,是相当不利的。其实,笔者并不主张大家在这种场合过多地运用面向对象的程序设计思维,因为对于小程序来说这不旦需要花费更多的时间去编写代码,也会降低程序的执行效率。   接着说C和C++。许多现在参加讲座的同学还在上大一,C的基础知识刚刚学完,还没有接触过C++,其实在赛场上使用纯C的选手还是大有人在的,它们主要是看重了纯C在效率上的优势,所以这部分同学如果时间有限,并不需要急着去学习新的语言,只要提高了自己在算法设计上的造诣,纯C一样能发挥巨大的威力。   而C++相对于C,在输入输出流上的封装大大方便了我们的操作,同时降低了出错的可能性,并且能够很好地实现标准流与文件流的切换,方便了调试的工作。如果有些同学比较在意这点,可以尝试C和C++的混编,毕竟仅仅学习C++的流操作还是不花什么时间的。   C++的另一个支持来源于标准模版库(STL),库中提供的对于基本数据结构的统一接口操作和基本算法的实现可以缩减我们编写代码的长度,这可以节省一些时间。但是,与此相对的,使用STL要在效率上做出一些牺牲,对于输入规模很大的题目,有时候必须放弃STL,这意味着我们不能存在“有了STL就可以不去管基本算法的实现”的想法;另外,熟练和恰当地使用STL必须经过一定时间的积累,准确地了解各种操作的时间复杂度,切忌对STL中不熟悉的部分滥用,因为这其中蕴涵着许多初学者不易发现的陷阱。   通过以上的分析,我们可以看出仅就信息学竞赛而言,对语言的掌握并不要求十分全面,但是对于经常用到的部分,必须十分熟练,不允许有半点不清楚的地方,下面我举个真实的例子来说明这个道理——即使是一点很细微的语言障碍,都有可能酿成错误:   在去年清华的赛区上,有一个队在做F题的时候使用了cout和printf的混合输出,由于一个带缓冲一个不带,所以输出一长就混乱了。只是因为当时judge team中负责F题的人眼睛尖,看出答案没错只是顺序不对(答案有一页多,是所有题目中最长的一个输出),又看了看程序发现只是输出问题就给了个Presentation error(格式错)。如果审题的人不是这样而是直接给一个 Wrong Answer,相信这个队是很难查到自己错在什么地方的。   现在我们转入第二个方面的讨论,基础学科知识的积累。   二、以数学为主的基础知识十分重要   虽然被定性为程序设计竞赛,但是参赛选手所遇到的问题更多的是没有解决问题的思路,而不是有了思路却死活不能实现,这就是平时积累的基础知识不够。今年World Final的总冠军是波兰华沙大学,其成员出自于数学系而非计算机系,这就是一个鲜活的例子。竞赛中对于基础学科的涉及主要集中于数学,此外对于物理、电路等等也可能有一定应用,但是不多。因此,大一的同学也不必为自己还没学数据结构而感到不知从何入手提高,把数学捡起来吧。下面我来谈谈在竞赛中应用的数学的主要分支。   1、离散数学——作为计算机学科的基础,离散数学是竞赛中涉及最多的数学分支,其重中之重又在于图论和组合数学,尤其是图论。   图论之所以运用最多是因为它的变化最多,而且可以轻易地结合基本数据结构和许多算法的基本思想,较多用到的知识包括连通性判断、DFS和BFS,关节点和关键路径、欧拉回路、最小生成树、最短路径、二部图匹配和网络流等等。虽然这部分的比重很大,但是往往也是竞赛中的难题所在,如果有初学者对于这部分的某些具体内容暂时感到力不从心,也不必着急,可以慢慢积累。   竞赛中设计的组合计数问题大都需要用组合数学来解决,组合数学中的知识相比于图论要简单一些,很多知识对于小学上过奥校的同学来说已经十分熟悉,但是也有一些部分需要先对代数结构中的群论有初步了解才能进行学习。组合数学在竞赛中很少以难题的形式出现,但是如果积累不够,任何一道这方面的题目却都有可能成为难题。   2、数论——以素数判断和同余为模型构造出来的题目往往需要较多的数论知识来解决,这部分在竞赛中的比重并不大,但只要来上一道,也足以使知识不足的人冥思苦想上一阵时间。素数判断和同余最常见的是在以密码学为背景的题目中出现,在运用密码学常识确定大概的过程之后,核心算法往往要涉及数论的内容。   3、计算几何——计算几何相比于其它部分来说是比较独立的,就是说它和其它的知识点很少有过多的结合,较常用到的部分包括——线段相交的判断、多边形面积的计算、内点外点的判断、凸包等等。计算几何的题目难度不会很大,但也永远不会成为最弱的题。   4、线性代数——对线性代数的应用都是围绕矩阵展开的,一些表面上是模拟的题目往往可以借助于矩阵来找到更好的算法。   5、概率论——竞赛是以黑箱来判卷的,这就是说你几乎不能动使用概率算法的念头,但这也并不是说概率就没有用。关于这一点,只有通过一定的练习才能体会。   6、初等数学与解析几何——这主要就是中学的知识了,用的不多,但是至少比高等数学多,我觉得熟悉一下数学手册上的相关内容,至少要知道在哪儿能查到,还是必要的。   7、高等数学——纯粹运用高等数学来解决的题目我接触的只有一道,但是一些题目的叙述背景往往需要和这部分有一定联系,掌握得牢固一些总归没有坏处。   以上就是竞赛所涉及的数学领域,可以说范围是相当广的。我认识的许多人去搞信息学的竞赛就是为了逼着自己多学一点数学,因为数学是一切一切的基础。   三、数据结构与算法是真正的核心   虽然数学十分十分重要,但是如果让三个只会数学的人参加比赛,我相信多数情况下会比三个只会数据结构与算法的人得到更为悲惨的结局。   先说说数据结构。掌握队列、堆栈和图的基本表达与操作是必需的,至于树,我个人觉得需要建树的问题有但是并不多。(但是树往往是很重要的分析工具)除此之外,排序和查找并不需要对所有方式都能很熟练的掌握,但你必须保证自己对于各种情况都有一个在时间复杂度上满足最低要求的解决方案。说到时间复杂度,就又该说说哈希表了,竞赛时对时间的限制远远多于对空间的限制,这要求大家尽快掌握“以空间换时间”的原则策略,能用哈希表来存储的数据一定不要到时候再去查找,如果实在不能建哈希表,再看看能否建二叉查找树等等——这都是争取时间的策略,掌握这些技巧需要大家对数据结构尤其是算法复杂度有比较全面的理性和感性认识。   接着说说算法。算法中最基本和常用的是搜索,主要是回溯和分支限界法的使用。这里要说的是,有些初学者在学习这些搜索基本算法是不太注意剪枝,这是十分不可取的,因为所有搜索的题目给你的测试用例都不会有很大的规模,你往往察觉不出程序运行的时间问题,但是真正的测试数据一定能过滤出那些没有剪枝的算法。实际上参赛选手基本上都会使用常用的搜索算法,题目的区分度往往就是建立在诸如剪枝之类的优化上了。   常用算法中的另一类是以“相似或相同子问题”为核心的,包括递推、递归、贪心法和动态规划。这其中比较难于掌握的就是动态规划,如何抽象出重复的子问题是很多题目的难点所在,笔者建议初学者仔细理解图论中一些以动态规划为基本思想所建立起来的基本算法(比如Floyd-Warshall算法),并且多阅读一些定理的证明,这虽然不能有什么直接的帮助,但是长期坚持就会对思维很有帮助。   四、团队配合   通过以上的介绍大家也可以看出,信息学竞赛对于知识面覆盖的非常广,想凭一己之力全部消化这些东西实在是相当困难的,这就要求我们尽可能地发挥团队协作的精神。同组成员之间的熟练配合和默契的形成需要时间,具体的情况因成员的组成不同而不同,这里我就不再多说了。   五、练习、练习、再练习   知识的积累固然重要,但是信息学终究不是看出来的,而是练出来的,这是多少前人最深的一点体会,只有通过具体题目的分析和实践,才能真正掌握数学的使用和算法的应用,并在不断的练习中增加编程经验和技巧,提高对时间复杂度的感性认识,优化时间的分配,加强团队的配合。总之,在这里光有纸上谈兵是绝对不行的,必须要通过实战来锻炼自己。   大家一定要问,我们去哪里找题做,又如何检验程序是否正确呢。这大可不必担心,现在已经有了很多网上做题的站点,这些站点提供了大量的题库并支持在线判卷,你只需要把程序源码提交上去,马上就可以知道自己的程序是否正确,运行所使用的时间以及消耗的内存等等状况。下面我给大家推荐几个站点,笔者不建议大家在所有这些站点上做题,选择一个就可以了,因为每个站点的题都有一定的难易比例,系统地做一套题库可以使你对各种难度、各种类型的题都有所认识。   1、Ural:   Ural是中国学生对俄罗斯的Ural州立大学的简称 ,那里设立了一个Ural Online Problem Set,并且支持Online Judge。Ural的不少题目算法性和趣闻性都很强,得到了国内广大学生的厚爱。根据“信息学初学者之家”网站的统计,Ural的题目类型大概呈如下的分布:   题型   搜索   动态规划   贪心   构造   图论   计算几何   纯数学问题   数据结构   其它   所占比例   约10%   约15%   约5%   约5%   约10%   约5%   约20%   约5%   约25%   这和实际比赛中的题型分布也是大体相当的。有兴趣的朋友可以去看看。   2、UVA:   UVA代表西班牙Valladolid大学(University de Valladolid)。该大学有一个那里设立了一个PROBLEM SET ARCHIVE with ONLINE JUDGE ,并且支持ONLINE JUDGE,形式和Ural大学的题库类似。不过和Ural不同的是,UVA题目多的多,而且比较杂,而且有些题目的测试数据比较刁钻。这使得刚到那里做题的朋友往往感觉到无所适从,要么难以找到合适的题目,要么Wrong Answer了很多次以后仍然不知道错在那里。 如果说做Ural题目主要是为了训练算法,那么UVA题目可以训练全方位的基本功和一些必要的编程素质。UVA和许多世界知名大学联合办有同步网上比赛,因此那里强人无数,不过你先要使自己具有听懂他们在说什么的素质:)   3、ZOJ:   ZOJ是浙江大学建立的ONLINE JUDGE,是中国大学建立的第一个同类站点,也是最好和人气最高的一个,笔者和许多班里的同学就是在这里练习。ZOJ虽然也定位为一个英文网站,但是这里的中国学生比较多,因此让人觉得很亲切。这里目前有500多道题目,难易分配适中,且涵盖了各大洲的题目类型并配有索引,除此之外,ZOJ的JUDGE系统是几个网站中表现得比较好的一个,很少出现Wrong Answer和Presentation error混淆的情况。这里每月也办有一次网上比赛,只要是注册的用户都可以参加。   说起中国的ONLINE JUDGE,去年才开始参加ACM竞赛的北京大学现在也建立了自己的提交系统;而我们学校也是去年开始参加比赛,现在也有可能推出自己的提交系统,如果能够做成,到时候大家就可以去上面做题了。同类网站的飞速发展标志着有越来越多的同学有兴趣进入信息学的领域探索,这是一件好事,同时也意味着更激烈的竞争。

小旋风柴进 2019-12-02 01:20:20 0 浏览量 回答数 0

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【算法】五分钟算法小知识:洗牌算法

游客ih62co2qqq5ww 2020-05-06 13:22:45 11 浏览量 回答数 1

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成为一名合格的开发工程师不是一件简单的事情,需要掌握从开发到调试到优化等一系列能力,这些能力中的每一项掌握起来都需要足够的努力和经验。而要成为一名合格的机器学习算法工程师(以下简称算法工程师)更是难上加难,因为在掌握工程师的通用技能以外,还需要掌握一张不算小的机器学习算法知识网络。 下面我们就将成为一名合格的算法工程师所需的技能进行拆分,一起来看一下究竟需要掌握哪些技能才能算是一名合格的算法工程师。 1.基础开发能力 所谓算法工程师,首先需要是一名工程师,那么就要掌握所有开发工程师都需要掌握的一些能力。 有些同学对于这一点存在一些误解,认为所谓算法工程师就只需要思考和设计算法,不用在乎这些算法如何实现,而且会有人帮你来实现你想出来的算法方案。这种思想是错误的,在大多数企业的大多数职位中,算法工程师需要负责从算法设计到算法实现再到算法上线这一个全流程的工作。 笔者曾经见过一些企业实行过算法设计与算法实现相分离的组织架构,但是在这种架构下,说不清楚谁该为算法效果负责,算法设计者和算法开发者都有一肚子的苦水,具体原因不在本文的讨论范畴中,但希望大家记住的是,基础的开发技能是所有算法工程师都需要掌握的。 2.概率和统计基础 概率和统计可以说是机器学习领域的基石之一,从某个角度来看,机器学习可以看做是建立在概率思维之上的一种对不确定世界的系统性思考和认知方式。学会用概率的视角看待问题,用概率的语言描述问题,是深入理解和熟练运用机器学习技术的最重要基础之一。 概率论内容很多,但都是以具体的一个个分布为具体表现载体体现出来的,所以学好常用的概率分布及其各种性质对于学好概率非常重要。 对于离散数据,伯努利分布、二项分布、多项分布、Beta分布、狄里克莱分布以及泊松分布都是需要理解掌握的内容; 对于离线数据,高斯分布和指数分布族是比较重要的分布。这些分布贯穿着机器学习的各种模型之中,也存在于互联网和真实世界的各种数据之中,理解了数据的分布,才能知道该对它们做什么样的处理。 此外,假设检验的相关理论也需要掌握。在这个所谓的大数据时代,最能骗人的大概就是数据了,掌握了假设检验和置信区间等相关理论,才能具备分辨数据结论真伪的能力。例如两组数据是否真的存在差异,上线一个策略之后指标是否真的有提升等等。这种问题在实际工作中非常常见,不掌握相关能力的话相当于就是大数据时代的睁眼瞎。 在统计方面,一些常用的参数估计方法也需要掌握,典型的如最大似然估计、最大后验估计、EM算法等。这些理论和最优化理论一样,都是可以应用于所有模型的理论,是基础中的基础。 3.机器学习理论 虽然现在开箱即用的开源工具包越来越多,但并不意味着算法工程师就可以忽略机器学习基础理论的学习和掌握。这样做主要有两方面的意义: 掌握理论才能对各种工具、技巧灵活应用,而不是只会照搬套用。只有在这个基础上才能够真正具备搭建一套机器学习系统的能力,并对其进行持续优化。否则只能算是机器学习搬砖工人,算不得合格的工程师。出了问题也不会解决,更谈不上对系统做优化。 学习机器学习的基础理论的目的不仅仅是学会如何构建机器学习系统,更重要的是,这些基础理论里面体现的是一套思想和思维模式,其内涵包括概率性思维、矩阵化思维、最优化思维等多个子领域,这一套思维模式对于在当今这个大数据时代做数据的处理、分析和建模是非常有帮助的。如果你脑子里没有这套思维,面对大数据环境还在用老一套非概率的、标量式的思维去思考问题,那么思考的效率和深度都会非常受限。 机器学习的理论内涵和外延非常之广,绝非一篇文章可以穷尽,所以在这里我列举了一些比较核心,同时对于实际工作比较有帮助的内容进行介绍,大家可在掌握了这些基础内容之后,再不断探索学习。 4.开发语言和开发工具 掌握了足够的理论知识,还需要足够的工具来将这些理论落地,这部分我们介绍一些常用的语言和工具。 5.架构设计 最后我们花一些篇幅来谈一下机器学习系统的架构设计。 所谓机器学习系统的架构,指的是一套能够支持机器学习训练、预测、服务稳定高效运行的整体系统以及他们之间的关系。 在业务规模和复杂度发展到一定程度的时候,机器学习一定会走向系统化、平台化这个方向。这个时候就需要根据业务特点以及机器学习本身的特点来设计一套整体架构,这里面包括上游数据仓库和数据流的架构设计,以及模型训练的架构,还有线上服务的架构等等。这一套架构的学习就不像前面的内容那么简单了,没有太多现成教材可以学习,更多的是在大量实践的基础上进行抽象总结,对当前系统不断进行演化和改进。但这无疑是算法工程师职业道路上最值得为之奋斗的工作。在这里能给的建议就是多实践,多总结,多抽象,多迭代。 6.机器学习算法工程师领域现状 现在可以说是机器学习算法工程师最好的时代,各行各业对这类人才的需求都非常旺盛。典型的包括以下一些细分行业: 推荐系统。推荐系统解决的是海量数据场景下信息高效匹配分发的问题,在这个过程中,无论是候选集召回,还是结果排序,以及用户画像等等方面,机器学习都起着重要的作用。 广告系统。广告系统和推荐系统有很多类似的地方,但也有着很显著的差异,需要在考虑平台和用户之外同时考虑广告主的利益,两方变成了三方,使得一些问题变复杂了很多。它在对机器学习的利用方面也和推荐类似。 搜索系统。搜索系统的很多基础建设和上层排序方面都大量使用了机器学习技术,而且在很多网站和App中,搜索都是非常重要的流量入口,机器学习对搜索系统的优化会直接影响到整个网站的效率。 风控系统。风控,尤其是互联网金融风控是近年来兴起的机器学习的又一重要战场。不夸张地说,运用机器学习的能力可以很大程度上决定一家互联网金融企业的风控能力,而风控能力本身又是这些企业业务保障的核心竞争力,这其中的关系大家可以感受一下。 但是所谓“工资越高,责任越大”,企业对于算法工程师的要求也在逐渐提高。整体来说,一名高级别的算法工程师应该能够处理“数据获取数据分析模型训练调优模型上线”这一完整流程,并对流程中的各种环节做不断优化。一名工程师入门时可能会从上面流程中的某一个环节做起,不断扩大自己的能力范围。 除了上面列出的领域以外,还有很多传统行业也在不断挖掘机器学习解决传统问题的能力,行业的未来可谓潜力巨大。

寒凝雪 2019-12-02 01:21:12 0 浏览量 回答数 0

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HTTPS基本原理 一、http为什么不安全。 http协议没有任何的加密以及身份验证的机制,非常容易遭遇窃听、劫持、篡改,因此会造成个人隐私泄露,恶意的流量劫持等严重的安全问题。 国外很多网站都支持了全站https,国内方面目前百度已经在年初完成了搜索的全站https,其他大型的网站也在跟进中,百度最先完成全站https的最大原因就是百度作为国内最大的流量入口,劫持也必然是首当其冲的,造成的有形的和无形的损失也就越大。关于流量劫持问题,我在另一篇文章中也有提到,基本上是互联网企业的共同难题,https也是目前公认的比较好的解决方法。但是https也会带来很多性能以及访问速度上的牺牲,很多互联网公司在做大的时候都会遇到这个问题:https成本高,速度又慢,规模小的时候在涉及到登录和交易用上就够了,做大以后遇到信息泄露和劫持,想整体换,代价又很高。 2、https如何保证安全 要解决上面的问题,就要引入加密以及身份验证的机制。 这时我们引入了非对称加密的概念,我们知道非对称加密如果是公钥加密的数据私钥才能解密,所以我只要把公钥发给你,你就可以用这个公钥来加密未来我们进行数据交换的秘钥,发给我时,即使中间的人截取了信息,也无法解密,因为私钥在我这里,只有我才能解密,我拿到你的信息后用私钥解密后拿到加密数据用的对称秘钥,通过这个对称密钥来进行后续的数据加密。除此之外,非对称加密可以很好的管理秘钥,保证每次数据加密的对称密钥都是不相同的。 但是这样似乎还不够,如果中间人在收到我的给你公钥后并没有发给你,而是自己伪造了一个公钥发给你,这是你把对称密钥用这个公钥加密发回经过中间人,他可以用私钥解密并拿到对称密钥,此时他在把此对称密钥用我的公钥加密发回给我,这样中间人就拿到了对称密钥,可以解密传输的数据了。为了解决此问题,我们引入了数字证书的概念。我首先生成公私钥,将公钥提供给相关机构(CA),CA将公钥放入数字证书并将数字证书颁布给我,此时我就不是简单的把公钥给你,而是给你一个数字证书,数字证书中加入了一些数字签名的机制,保证了数字证书一定是我给你的。 所以综合以上三点: 非对称加密算法(公钥和私钥)交换秘钥 + 数字证书验证身份(验证公钥是否是伪造的) + 利用秘钥对称加密算法加密数据 = 安全 3、https协议简介 为什么是协议简介呢。因为https涉及的东西实在太多了,尤其是一些加密算法,非常的复杂,对于这些算法面的东西就不去深入研究了,这部分仅仅是梳理一下一些关于https最基本的原理,为后面分解https的连接建立以及https优化等内容打下理论基础。 3.1 对称加密算法 对称加密是指加密和解密使用相同密钥的加密算法。它要求发送方和接收方在安全通信之前,商定一个密钥。对称算法的安全性依赖于密钥,泄漏密钥就意味着任何人都可以对他们发送或接收的消息解密,所以密钥的保密性对通信至关重要。 对称加密又分为两种模式:流加密和分组加密。 流加密是将消息作为位流对待,并且使用数学函数分别作用在每一个位上,使用流加密时,每加密一次,相同的明文位会转换成不同的密文位。流加密使用了密钥流生成器,它生成的位流与明文位进行异或,从而生成密文。现在常用的就是RC4,不过RC4已经不再安全,微软也建议网络尽量不要使用RC4流加密。 分组加密是将消息划分为若干位分组,这些分组随后会通过数学函数进行处理,每次一个分组。假设需要加密发生给对端的消息,并且使用的是64位的分组密码,此时如果消息长度为640位,就会被划分成10个64位的分组,每个分组都用一系列数学公式公式进行处理,最后得到10个加密文本分组。然后,将这条密文消息发送给对端。对端必须拥有相同的分组密码,以相反的顺序对10个密文分组使用前面的算法解密,最终得到明文的消息。比较常用的分组加密算法有DES、3DES、AES。其中DES是比较老的加密算法,现在已经被证明不安全。而3DES是一个过渡的加密算法,相当于在DES基础上进行三重运算来提高安全性,但其本质上还是和DES算法一致。而AES是DES算法的替代算法,是现在最安全的对称加密算法之一。分组加密算法除了算法本身外还存在很多种不同的运算方式,比如ECB、CBC、CFB、OFB、CTR等,这些不同的模式可能只针对特定功能的环境中有效,所以要了解各种不同的模式以及每种模式的用途。这个部分后面的文章中会详细讲。 对称加密算法的优、缺点: 优点:算法公开、计算量小、加密速度快、加密效率高。 缺点:(1)交易双方都使用同样钥匙,安全性得不到保证; (2)每对用户每次使用对称加密算法时,都需要使用其他人不知道的惟一钥匙,这会使得发收信双方所拥有的钥匙数量呈几何级数增长,密钥管理成为用户的负担。 (3)能提供机密性,但是不能提供验证和不可否认性。 3.2 非对称加密算法 在非对称密钥交换算法出现以前,对称加密一个很大的问题就是不知道如何安全生成和保管密钥。非对称密钥交换过程主要就是为了解决这个问题,使得对称密钥的生成和使用更加安全。 密钥交换算法本身非常复杂,密钥交换过程涉及到随机数生成,模指数运算,空白补齐,加密,签名等操作。 常见的密钥交换算法有RSA,ECDHE,DH,DHE等算法。涉及到比较复杂的数学问题,下面就简单介绍下最经典的RSA算法。RSA:算法实现简单,诞生于1977年,历史悠久,经过了长时间的破解测试,安全性高。缺点就是需要比较大的素数也就是质数(目前常用的是2048位)来保证安全强度,很消耗CPU运算资源。RSA是目前唯一一个既能用于密钥交换又能用于证书签名的算法。我觉得RSA可以算是最经典的非对称加密算法了,虽然算法本身都是数学的东西,但是作为最经典的算法,我自己也花了点时间对算法进行了研究,后面会详细介绍。 非对称加密相比对称加密更加安全,但也存在两个明显缺点: 1,CPU计算资源消耗非常大。一次完全TLS握手,密钥交换时的非对称解密计算量占整个握手过程的90%以上。而对称加密的计算量只相当于非对称加密的0.1%,如果应用层数据也使用非对称加解密,性能开销太大,无法承受。 2,非对称加密算法对加密内容的长度有限制,不能超过公钥长度。比如现在常用的公钥长度是2048位,意味着待加密内容不能超过256个字节。 所以公钥加密(极端消耗CPU资源)目前只能用来作密钥交换或者内容签名,不适合用来做应用层传输内容的加解密。 3.3 身份认证 https协议中身份认证的部分是由数字证书来完成的,证书由公钥、证书主体、数字签名等内容组成,在客户端发起SSL请求后,服务端会将数字证书发给客户端,客户端会对证书进行验证(验证查看这张证书是否是伪造的。也就是公钥是否是伪造的),并获取用于秘钥交换的非对称密钥(获取公钥)。 数字证书有两个作用: 1,身份授权。确保浏览器访问的网站是经过CA验证的可信任的网站。 2,分发公钥。每个数字证书都包含了注册者生成的公钥(验证确保是合法的,非伪造的公钥)。在SSL握手时会通过certificate消息传输给客户端。 申请一个受信任的数字证书通常有如下流程: 1,终端实体(可以是一个终端硬件或者网站)生成公私钥和证书请求。 2,RA(证书注册及审核机构)检查实体的合法性。如果个人或者小网站,这一步不是必须的。 3,CA(证书签发机构)签发证书,发送给申请者。 4,证书更新到repository(负责数字证书及CRL内容存储和分发),终端后续从repository更新证书,查询证书状态等。 数字证书验证: 申请者拿到CA的证书并部署在网站服务器端,那浏览器发起握手接收到证书后,如何确认这个证书就是CA签发的呢。怎样避免第三方伪造这个证书。答案就是数字签名(digital signature)。数字签名是证书的防伪标签,目前使用最广泛的SHA-RSA(SHA用于哈希算法,RSA用于非对称加密算法)数字签名的制作和验证过程如下: 1,数字签名的签发。首先是使用哈希函数对待签名内容进行安全哈希,生成消息摘要,然后使用CA自己的私钥对消息摘要进行加密。 2,数字签名的校验。使用CA的公钥解密签名,然后使用相同的签名函数对待签名证书内容进行签名并和服务端数字签名里的签名内容进行比较,如果相同就认为校验成功。 需要注意的是: 1)数字签名签发和校验使用的密钥对是CA自己的公私密钥,跟证书申请者提交的公钥没有关系。 2)数字签名的签发过程跟公钥加密的过程刚好相反,即是用私钥加密,公钥解密。 3)现在大的CA都会有证书链,证书链的好处一是安全,保持根CA的私钥离线使用。第二个好处是方便部署和撤销,即如果证书出现问题,只需要撤销相应级别的证书,根证书依然安全。 4)根CA证书都是自签名,即用自己的公钥和私钥完成了签名的制作和验证。而证书链上的证书签名都是使用上一级证书的密钥对完成签名和验证的。 5)怎样获取根CA和多级CA的密钥对。它们是否可信。当然可信,因为这些厂商跟浏览器和操作系统都有合作,它们的公钥都默认装到了浏览器或者操作系统环境里。 3.4 数据完整性验证 数据传输过程中的完整性使用MAC算法来保证。为了避免网络中传输的数据被非法篡改,SSL利用基于MD5或SHA的MAC算法来保证消息的完整性。 MAC算法是在密钥参与下的数据摘要算法,能将密钥和任意长度的数据转换为固定长度的数据。发送者在密钥的参与下,利用MAC算法计算出消息的MAC值,并将其加在消息之后发送给接收者。接收者利用同样的密钥和MAC算法计算出消息的MAC值,并与接收到的MAC值比较。如果二者相同,则报文没有改变;否则,报文在传输过程中被修改,接收者将丢弃该报文。 由于MD5在实际应用中存在冲突的可能性比较大,所以尽量别采用MD5来验证内容一致性。SHA也不能使用SHA0和SHA1,中国山东大学的王小云教授在2005年就宣布破解了 SHA-1完整版算法。微软和google都已经宣布16年及17年之后不再支持sha1签名证书。MAC算法涉及到很多复杂的数学问题,这里就不多讲细节了。 专题二--【实际抓包分析】 抓包结果: fiddler: wireshark: 可以看到,百度和我们公司一样,也采用以下策略: (1)对于高版本浏览器,如果支持 https,且加解密算法在TLS1.0 以上的,都将所有 http请求重定向到 https请求 (2)对于https请求,则不变。 【以下只解读https请求】 1、TCP三次握手 可以看到,我们访问的是 http://www.baidu.com/ , 在初次建立 三次握手的时候, 用户是去 连接 8080端口的(因为公司办公网做了代理,因此,我们实际和代理机做的三次握手,公司代理机再帮我们去连接百度服务器的80端口) 2、CONNECT 建立 由于公司办公网访问非腾讯域名,会做代理,因此,在进行https访问的时候,我们的电脑需要和公司代理机做 " CONNECT " 连接(关于 " CONNECT " 连接, 可以理解为虽然后续的https请求都是公司代理机和百度服务器进行公私钥连接和对称秘钥通信,但是,有了 " CONNECT " 连接之后,可以认为我们也在直接和百度服务器进行公私钥连接和对称秘钥通信。 ) fiddler抓包结果: CONNECT之后, 后面所有的通信过程,可以看做是我们的机器和百度服务器在直接通信 3、 client hello 整个 Secure Socket Layer只包含了: TLS1.2 Record Layer内容 (1)随机数 在客户端问候中,有四个字节以Unix时间格式记录了客户端的协调世界时间(UTC)。协调世界时间是从1970年1月1日开始到当前时刻所经历的秒数。在这个例子中,0x2516b84b就是协调世界时间。在他后面有28字节的随机数( random_C ),在后面的过程中我们会用到这个随机数。 (2)SID(Session ID) 如果出于某种原因,对话中断,就需要重新握手。为了避免重新握手而造成的访问效率低下,这时候引入了session ID的概念, session ID的思想很简单,就是每一次对话都有一个编号(session ID)。如果对话中断,下次重连的时候,只要客户端给出这个编号,且服务器有这个编号的记录,双方就可以重新使用已有的"对话密钥",而不必重新生成一把。 因为我们抓包的时候,是几个小时内第一次访问 https://www.baodu.com 首页,因此,这里并没有 Session ID. (稍会儿我们会看到隔了半分钟,第二次抓包就有这个Session ID) session ID是目前所有浏览器都支持的方法,但是它的缺点在于session ID往往只保留在一台服务器上。所以,如果客户端的请求发到另一台服务器,就无法恢复对话。session ticket就是为了解决这个问题而诞生的,目前只有Firefox和Chrome浏览器支持。 (3) 密文族(Cipher Suites): RFC2246中建议了很多中组合,一般写法是"密钥交换算法-对称加密算法-哈希算法,以“TLS_RSA_WITH_AES_256_CBC_SHA”为例: (a) TLS为协议,RSA为密钥交换的算法; (b) AES_256_CBC是对称加密算法(其中256是密钥长度,CBC是分组方式); (c) SHA是哈希的算法。 浏览器支持的加密算法一般会比较多,而服务端会根据自身的业务情况选择比较适合的加密组合发给客户端。(比如综合安全性以及速度、性能等因素) (4) Server_name扩展:( 一般浏览器也支持 SNI(Server Name Indication)) 当我们去访问一个站点时,一定是先通过DNS解析出站点对应的ip地址,通过ip地址来访问站点,由于很多时候一个ip地址是给很多的站点公用,因此如果没有server_name这个字段,server是无法给与客户端相应的数字证书的,Server_name扩展则允许服务器对浏览器的请求授予相对应的证书。 还有一个很好的功能: SNI(Server Name Indication)。这个的功能比较好,为了解决一个服务器使用多个域名和证书的SSL/TLS扩展。一句话简述它的工作原理就是,在连接到服务器建立SSL连接之前先发送要访问站点的域名(Hostname),这样服务器根据这个域名返回一个合适的CA证书。目前,大多数操作系统和浏览器都已经很好地支持SNI扩展,OpenSSL 0.9.8已经内置这一功能,据说新版的nginx也支持SNI。) 4、 服务器回复(包括 Server Hello, Certificate, Certificate Status) 服务器在收到client hello后,会回复三个数据包,下面分别看一下: 1)Server Hello 1、我们得到了服务器的以Unix时间格式记录的UTC和28字节的随机数 (random_S)。 2、Seesion ID,服务端对于session ID一般会有三种选择 (稍会儿我们会看到隔了半分钟,第二次抓包就有这个Session ID) : 1)恢复的session ID:我们之前在client hello里面已经提到,如果client hello里面的session ID在服务端有缓存,服务端会尝试恢复这个session; 2)新的session ID:这里又分两种情况,第一种是client hello里面的session ID是空值,此时服务端会给客户端一个新的session ID,第二种是client hello里面的session ID此服务器并没有找到对应的缓存,此时也会回一个新的session ID给客户端; 3)NULL:服务端不希望此session被恢复,因此session ID为空。 3、我们记得在client hello里面,客户端给出了21种加密族,而在我们所提供的21个加密族中,服务端挑选了“TLS_ECDHE_RSA_WITH_AES_128_GCM_SHA256”。 (a) TLS为协议,RSA为密钥交换的算法; (b) AES_256_CBC是对称加密算法(其中256是密钥长度,CBC是分组方式); (c) SHA是哈希的算法。 这就意味着服务端会使用ECDHE-RSA算法进行密钥交换,通过AES_128_GCM对称加密算法来加密数据,利用SHA256哈希算法来确保数据完整性。这是百度综合了安全、性能、访问速度等多方面后选取的加密组合。 2)Certificate 在前面的https原理研究中,我们知道为了安全的将公钥发给客户端,服务端会把公钥放入数字证书中并发给客户端(数字证书可以自签发,但是一般为了保证安全会有一个专门的CA机构签发),所以这个报文就是数字证书,4097 bytes就是证书的长度。 我们打开这个证书,可以看到证书的具体信息,这个具体信息通过抓包报文的方式不是太直观,可以在浏览器上直接看。 (点击 chrome 浏览器 左上方的 绿色 锁型按钮) 3)Server Hello Done 我们抓的包是将 Server Hello Done 和 server key exchage 合并的包: 4)客户端验证证书真伪性 客户端验证证书的合法性,如果验证通过才会进行后续通信,否则根据错误情况不同做出提示和操作,合法性验证包括如下: 证书链的可信性trusted certificate path,方法如前文所述; 证书是否吊销revocation,有两类方式离线CRL与在线OCSP,不同的客户端行为会不同; 有效期expiry date,证书是否在有效时间范围; 域名domain,核查证书域名是否与当前的访问域名匹配,匹配规则后续分析; 5)秘钥交换 这个过程非常复杂,大概总结一下: (1)首先,其利用非对称加密实现身份认证和密钥协商,利用非对称加密,协商好加解密数据的 对称秘钥(外加CA认证,防止中间人窃取 对称秘钥) (2)然后,对称加密算法采用协商的密钥对数据加密,客户端和服务器利用 对称秘钥 进行通信; (3)最后,基于散列函数验证信息的完整性,确保通信数据不会被中间人恶意篡改。 此时客户端已经获取全部的计算协商密钥需要的信息:两个明文随机数random_C和random_S与自己计算产生的Pre-master(由客户端和服务器的 pubkey生成的一串随机数),计算得到协商对称密钥; enc_key=Fuc(random_C, random_S, Pre-Master) 6)生成 session ticket 如果出于某种原因,对话中断,就需要重新握手。为了避免重新握手而造成的访问效率低下,这时候引入了session ID的概念, session ID的思想很简单,就是每一次对话都有一个编号(session ID)。如果对话中断,下次重连的时候,只要客户端给出这个编号,且服务器有这个编号的记录,双方就可以重新使用已有的"对话密钥",而不必重新生成一把。 因为我们抓包的时候,是几个小时内第一次访问 https://www.baodu.com 首页,因此,这里并没有 Session ID. (稍会儿我们会看到隔了半分钟,第二次抓包就有这个Session ID) session ID是目前所有浏览器都支持的方法,但是它的缺点在于session ID往往只保留在一台服务器上。所以,如果客户端的请求发到另一台服务器,就无法恢复对话。session ticket就是为了解决这个问题而诞生的,目前只有Firefox和Chrome浏览器支持。 后续建立新的https会话,就可以利用 session ID 或者 session Tickets , 对称秘钥可以再次使用,从而免去了 https 公私钥交换、CA认证等等过程,极大地缩短 https 会话连接时间。 7) 利用对称秘钥传输数据 【半分钟后,再次访问百度】: 有这些大的不同: 由于服务器和浏览器缓存了 Session ID 和 Session Tickets,不需要再进行 公钥证书传递,CA认证,生成 对称秘钥等过程,直接利用半分钟前的 对称秘钥 加解密数据进行会话。 1)Client Hello 2)Server Hello

玄学酱 2019-12-02 01:27:08 0 浏览量 回答数 0

问题

memcache proxy之memagent介绍分析 实现分析 一致性hash?400报错

爱吃鱼的程序员 2020-06-05 12:21:05 0 浏览量 回答数 1

问题

不搞清这8大算法思想,刷再多题效果也不好的 7月23日 【今日算法】

游客ih62co2qqq5ww 2020-07-29 11:10:09 3 浏览量 回答数 1

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散列表(Hash table,也叫哈希表),是根据关键码值(Key value)而直接进行访问的数据结构。也就是说,它通过把关键码值映射到表中一个位置来访问记录,以加快查找的速度。这个映射函数叫做散列函数,存放记录的数组叫做散列表。 [编辑本段]基本概念 * 若结构中存在关键字和K相等的记录,则必定在f(K)的存储位置上。由此,不需比较便可直接取得所查记录。称这个对应关系f为散列函数(Hash function),按这个思想建立的表为散列表。 * 对不同的关键字可能得到同一散列地址,即key1≠key2,而f(key1)=f(key2),这种现象称冲突。具有相同函数值的关键字对该散列函数来说称做同义词。综上所述,根据散列函数H(key)和处理冲突的方法将一组关键字映象到一个有限的连续的地址集(区间)上,并以关键字在地址集中的“象” 作为记录在表中的存储位置,这种表便称为散列表,这一映象过程称为散列造表或散列,所得的存储位置称散列地址。 * 若对于关键字集合中的任一个关键字,经散列函数映象到地址集合中任何一个地址的概率是相等的,则称此类散列函数为均匀散列函数(Uniform Hash function),这就是使关键字经过散列函数得到一个“随机的地址”,从而减少冲突。 [编辑本段]常用的构造散列函数的方法 散列函数能使对一个数据序列的访问过程更加迅速有效,通过散列函数,数据元素将被更快地定位ǐ 1. 直接寻址法:取关键字或关键字的某个线性函数值为散列地址。即H(key)=key或H(key) = a•key + b,其中a和b为常数(这种散列函数叫做自身函数) 2. 数字分析法 3. 平方取中法 4. 折叠法 5. 随机数法 6. 除留余数法:取关键字被某个不大于散列表表长m的数p除后所得的余数为散列地址。即 H(key) = key MOD p, p<=m。不仅可以对关键字直接取模,也可在折叠、平方取中等运算之后取模。对p的选择很重要,一般取素数或m,若p选的不好,容易产生同义词。 [编辑本段]处理冲突的方法 1. 开放寻址法:Hi=(H(key) + di) MOD m, i=1,2,…, k(k<=m-1),其中H(key)为散列函数,m为散列表长,di为增量序列,可有下列三种取法: 1. di=1,2,3,…, m-1,称线性探测再散列; 2. di=1^2, (-1)^2, 2^2,(-2)^2, (3)^2, …, ±(k)^2,(k<=m/2)称二次探测再散列; 3. di=伪随机数序列,称伪随机探测再散列。 == 2. 再散列法:Hi=RHi(key), i=1,2,…,k RHi均是不同的散列函数,即在同义词产生地址冲突时计算另一个散列函数地址,直到冲突不再发生,这种方法不易产生“聚集”,但增加了计算时间。 3. 链地址法(拉链法) 4. 建立一个公共溢出区 [编辑本段]查找的性能分析 散列表的查找过程基本上和造表过程相同。一些关键码可通过散列函数转换的地址直接找到,另一些关键码在散列函数得到的地址上产生了冲突,需要按处理冲突的方法进行查找。在介绍的三种处理冲突的方法中,产生冲突后的查找仍然是给定值与关键码进行比较的过程。所以,对散列表查找效率的量度,依然用平均查找长度来衡量。 查找过程中,关键码的比较次数,取决于产生冲突的多少,产生的冲突少,查找效率就高,产生的冲突多,查找效率就低。因此,影响产生冲突多少的因素,也就是影响查找效率的因素。影响产生冲突多少有以下三个因素: 1. 散列函数是否均匀; 2. 处理冲突的方法; 3. 散列表的装填因子。 散列表的装填因子定义为:α= 填入表中的元素个数 / 散列表的长度 α是散列表装满程度的标志因子。由于表长是定值,α与“填入表中的元素个数”成正比,所以,α越大,填入表中的元素较多,产生冲突的可能性就越大;α越小,填入表中的元素较少,产生冲突的可能性就越小。 实际上,散列表的平均查找长度是装填因子α的函数,只是不同处理冲突的方法有不同的函数。 了解了hash基本定义,就不能不提到一些著名的hash算法,MD5 和 SHA-1 可以说是目前应用最广泛的Hash算法,而它们都是以 MD4 为基础设计的。那么他们都是什么意思呢? 这里简单说一下: (1) MD4 MD4(RFC 1320)是 MIT 的 Ronald L. Rivest 在 1990 年设计的,MD 是 Message Digest 的缩写。它适用在32位字长的处理器上用高速软件实现--它是基于 32 位操作数的位操作来实现的。 (2) MD5 MD5(RFC 1321)是 Rivest 于1991年对MD4的改进版本。它对输入仍以512位分组,其输出是4个32位字的级联,与 MD4 相同。MD5比MD4来得复杂,并且速度较之要慢一点,但更安全,在抗分析和抗差分方面表现更好 (3) SHA-1 及其他 SHA1是由NIST NSA设计为同DSA一起使用的,它对长度小于264的输入,产生长度为160bit的散列值,因此抗穷举(brute-force)性更好。SHA-1 设计时基于和MD4相同原理,并且模仿了该算法。 那么这些Hash算法到底有什么用呢? Hash算法在信息安全方面的应用主要体现在以下的3个方面: (1) 文件校验 我们比较熟悉的校验算法有奇偶校验和CRC校验,这2种校验并没有抗数据篡改的能力,它们一定程度上能检测并纠正数据传输中的信道误码,但却不能防止对数据的恶意破坏。 MD5 Hash算法的"数字指纹"特性,使它成为目前应用最广泛的一种文件完整性校验和(Checksum)算法,不少Unix系统有提供计算md5 checksum的命令。 (2) 数字签名 Hash 算法也是现代密码体系中的一个重要组成部分。由于非对称算法的运算速度较慢,所以在数字签名协议中,单向散列函数扮演了一个重要的角色。 对 Hash 值,又称"数字摘要"进行数字签名,在统计上可以认为与对文件本身进行数字签名是等效的。而且这样的协议还有其他的优点。 (3) 鉴权协议 如下的鉴权协议又被称作挑战--认证模式:在传输信道是可被侦听,但不可被篡改的情况下,这是一种简单而安全的方法。 MD5、SHA1的破解 2004年8月17日,在美国加州圣芭芭拉召开的国际密码大会上,山东大学王小云教授在国际会议上首次宣布了她及她的研究小组近年来的研究成果——对MD5、HAVAL-128、MD4和RIPEMD等四个著名密码算法的破译结果。 次年二月宣布破解SHA-1密码。 [编辑本段]实际应用 以上就是一些关于hash以及其相关的一些基本预备知识。那么在emule里面他具体起到什么作用呢? 大家都知道emule是基于P2P (Peer-to-peer的缩写,指的是点对点的意思的软件), 它采用了"多源文件传输协议”(MFTP,the Multisource FileTransfer Protocol)。在协议中,定义了一系列传输、压缩和打包还有积分的标准,emule 对于每个文件都有md5-hash的算法设置,这使得该文件独一无二,并且在整个网络上都可以追踪得到。 什么是文件的hash值呢? MD5-Hash-文件的数字文摘通过Hash函数计算得到。不管文件长度如何,它的Hash函数计算结果是一个固定长度的数字。与加密算法不同,这一个Hash算法是一个不可逆的单向函数。采用安全性高的Hash算法,如MD5、SHA时,两个不同的文件几乎不可能得到相同的Hash结果。因此,一旦文件被修改,就可检测出来。 当我们的文件放到emule里面进行共享发布的时候,emule会根据hash算法自动生成这个文件的hash值,他就是这个文件唯一的身份标志,它包含了这个文件的基本信息,然后把它提交到所连接的服务器。当有他人想对这个文件提出下载请求的时候, 这个hash值可以让他人知道他正在下载的文件是不是就是他所想要的。尤其是在文件的其他属性被更改之后(如名称等)这个值就更显得重要。而且服务器还提供了,这个文件当前所在的用户的地址,端口等信息,这样emule就知道到哪里去下载了。 一般来讲我们要搜索一个文件,emule在得到了这个信息后,会向被添加的服务器发出请求,要求得到有相同hash值的文件。而服务器则返回持有这个文件的用户信息。这样我们的客户端就可以直接的和拥有那个文件的用户沟通,看看是不是可以从他那里下载所需的文件。 对于emule中文件的hash值是固定的,也是唯一的,它就相当于这个文件的信息摘要,无论这个文件在谁的机器上,他的hash值都是不变的,无论过了多长时间,这个值始终如一,当我们在进行文件的下载上传过程中,emule都是通过这个值来确定文件。 那么什么是userhash呢? 道理同上,当我们在第一次使用emule的时候,emule会自动生成一个值,这个值也是唯一的,它是我们在emule世界里面的标志,只要你不卸载,不删除config,你的userhash值也就永远不变,积分制度就是通过这个值在起作用,emule里面的积分保存,身份识别,都是使用这个值,而和你的id和你的用户名无关,你随便怎么改这些东西,你的userhash值都是不变的,这也充分保证了公平性。其实他也是一个信息摘要,只不过保存的不是文件信息,而是我们每个人的信息。 那么什么是hash文件呢? 我们经常在emule日志里面看到,emule正在hash文件,这里就是利用了hash算法的文件校验性这个功能了,文章前面已经说了一些这些功能,其实这部分是一个非常复杂的过程,目前在ftp,bt等软件里面都是用的这个基本原理,emule里面是采用文件分块传输,这样传输的每一块都要进行对比校验,如果错误则要进行重新下载,这期间这些相关信息写入met文件,直到整个任务完成,这个时候part文件进行重新命名,然后使用move命令,把它传送到incoming文件里面,然后met文件自动删除,所以我们有的时候会遇到hash文件失败,就是指的是met里面的信息出了错误不能够和part文件匹配,另外有的时候开机也要疯狂hash,有两种情况一种是你在第一次使用,这个时候要hash提取所有文件信息,还有一种情况就是上一次你非法关机,那么这个时候就是要进行排错校验了。 关于hash的算法研究,一直是信息科学里面的一个前沿,尤其在网络技术普及的今天,他的重要性越来越突出,其实我们每天在网上进行的信息交流安全验证,我们在使用的操作系统密钥原理,里面都有它的身影,特别对于那些研究信息安全有兴趣的朋友,这更是一个打开信息世界的钥匙,他在hack世界里面也是一个研究的焦点。 一般的线性表、树中,记录在结构中的相对位置是随机的即和记录的关键字之间不存在确定的关系,在结构中查找记录时需进行一系列和关键字的比较。这一类查找方法建立在“比较”的基础上,查找的效率与比较次数密切相关。理想的情况是能直接找到需要的记录,因此必须在记录的存储位置和它的关键字之间建立一确定的对应关系f,使每个关键字和结构中一个唯一的存储位置相对应。因而查找时,只需根据这个对应关系f找到给定值K的像f(K)。若结构中存在关键字和K相等的记录,则必定在f(K)的存储位置上,由此不需要进行比较便可直接取得所查记录。在此,称这个对应关系f为哈希函数,按这个思想建立的表为哈希表(又称为杂凑法或散列表)。 哈希表不可避免冲突(collision)现象:对不同的关键字可能得到同一哈希地址 即key1≠key2,而hash(key1)=hash(key2)。具有相同函数值的关键字对该哈希函数来说称为同义词(synonym)。 因此,在建造哈希表时不仅要设定一个好的哈希函数,而且要设定一种处理冲突的方法。可如下描述哈希表:根据设定的哈希函数H(key)和所选中的处理冲突的方法,将一组关键字映象到一个有限的、地址连续的地址集(区间)上并以关键字在地址集中的“象”作为相应记录在表中的存储位置,这种表被称为哈希表。 对于动态查找表而言,1) 表长不确定;2)在设计查找表时,只知道关键字所属范围,而不知道确切的关键字。因此,一般情况需建立一个函数关系,以f(key)作为关键字为key的录在表中的位置,通常称这个函数f(key)为哈希函数。(注意:这个函数并不一定是数学函数) 哈希函数是一个映象,即:将关键字的集合映射到某个地址集合上,它的设置很灵活,只要这个地址集合的大小不超出允许范围即可。 现实中哈希函数是需要构造的,并且构造的好才能使用的好。 用途:加密,解决冲突问题。。。。 用途很广,比特精灵中就使用了哈希函数,你可 以自己看看。 具体可以学习一下数据结构和算法的书。 [编辑本段]字符串哈希函数 (著名的ELFhash算法) int ELFhash(char *key) return h%MOD; }

晚来风急 2019-12-02 01:22:24 0 浏览量 回答数 0

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【精品问答】110+数据挖掘面试题集合

珍宝珠 2019-12-01 21:56:45 2713 浏览量 回答数 3

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迭代法  迭代法也称辗转法,是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法),即一次性解决问题。迭代法又分为精确迭代和近似迭代。“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。   迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点,让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行,在每次执行这组指令(或这些步骤)时,都从变量的原值推出它的一个新值。   利用迭代算法解决问题,需要做好以下三个方面的工作:   一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中,至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量,这个变量就是迭代变量。   二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式,指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键,通常可以使用递推或倒推的方法来完成。   三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程。这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况:一种是所需的迭代次数是个确定的值,可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况,可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况,需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。   例 1 : 一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子,这种兔子从出生的下一个月开始,每月新生一只兔子,新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去,问到第 12 个月时,该饲养场共有兔子多少只。   分析: 这是一个典型的递推问题。我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为 u 1 ,第 2 个月时兔子的只数为 u 2 ,第 3 个月时兔子的只数为 u 3 ,……根据题意,“这种兔子从出生的下一个月开始,每月新生一只兔子”,则有   u 1 = 1 , u 2 = u 1 + u 1 × 1 = 2 , u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4 ,……   根据这个规律,可以归纳出下面的递推公式:   u n = u n - 1 × 2 (n ≥ 2)   对应 u n 和 u n - 1 ,定义两个迭代变量 y 和 x ,可将上面的递推公式转换成如下迭代关系:   y=x*2   x=y   让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次,就可以算出第 12 个月时的兔子数。参考程序如下:   cls   x=1   for i=2 to 12   y=x*2   x=y   next i   print y   end   例 2 : 阿米巴用简单分裂的方式繁殖,它每分裂一次要用 3 分钟。将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内, 45 分钟后容器内充满了阿米巴。已知容器最多可以装阿米巴 220,220个。试问,开始的时候往容器内放了多少个阿米巴。请编程序算出。   分析: 根据题意,阿米巴每 3 分钟分裂一次,那么从开始的时候将阿米巴放入容器里面,到 45 分钟后充满容器,需要分裂 45/3=15 次。而“容器最多可以装阿米巴2^ 20 个”,即阿米巴分裂 15 次以后得到的个数是 2^20 。题目要求我们计算分裂之前的阿米巴数,不妨使用倒推的方法,从第 15 次分裂之后的 2^20 个,倒推出第 15 次分裂之前(即第 14 次分裂之后)的个数,再进一步倒推出第 13 次分裂之后、第 12 次分裂之后、……第 1 次分裂之前的个数。   设第 1 次分裂之前的个数为 x 0 、第 1 次分裂之后的个数为 x 1 、第 2 次分裂之后的个数为 x 2 、……第 15 次分裂之后的个数为 x 15 ,则有   x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1)   因为第 15 次分裂之后的个数 x 15 是已知的,如果定义迭代变量为 x ,则可以将上面的倒推公式转换成如下的迭代公式:   x=x/2 ( x 的初值为第 15 次分裂之后的个数 2^20 )   让这个迭代公式重复执行 15 次,就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴个数。因为所需的迭代次数是个确定的值,我们可以使用一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。参考程序如下:   cls   x=2^20   for i=1 to 15   x=x/2   next i   print x   end   ps:java中幂的算法是Math.pow(2, 20);返回double,稍微注意一下   例 3 : 验证谷角猜想。日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象:对于任意一个自然数 n ,若 n 为偶数,则将其除以 2 ;若 n 为奇数,则将其乘以 3 ,然后再加 1 。如此经过有限次运算后,总可以得到自然数 1 。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。   要求:编写一个程序,由键盘输入一个自然数 n ,把 n 经过有限次运算后,最终变成自然数 1 的全过程打印出来。   分析: 定义迭代变量为 n ,按照谷角猜想的内容,可以得到两种情况下的迭代关系式:当 n 为偶数时, n=n/2 ;当 n 为奇数时, n=n*3+1 。用 QBASIC 语言把它描述出来就是:   if n 为偶数 then   n=n/2   else   n=n*3+1   end if   这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次,才能使迭代变量 n 最终变成自然数 1 ,这是我们无法计算出来的。因此,还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。仔细分析题目要求,不难看出,对任意给定的一个自然数 n ,只要经过有限次运算后,能够得到自然数 1 ,就已经完成了验证工作。因此,用来结束迭代过程的条件可以定义为: n=1 。参考程序如下:   cls   input "Please input n=";n   do until n=1   if n mod 2=0 then   rem 如果 n 为偶数,则调用迭代公式 n=n/2   n=n/2   print "—";n;   else   n=n*3+1   print "—";n;   end if   loop   end   迭代法   迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0,用某种数学方法导出等价的形式x=g(x),然后按以下步骤执行:   (1) 选一个方程的近似根,赋给变量x0;   (2) 将x0的值保存于变量x1,然后计算g(x1),并将结果存于变量x0;   (3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时,重复步骤(2)的计算。   若方程有根,并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛,则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为:   【算法】迭代法求方程的根   { x0=初始近似根;   do {   x1=x0;   x0=g(x1); /*按特定的方程计算新的近似根*/   } while ( fabs(x0-x1)>Epsilon);   printf(“方程的近似根是%f\n”,x0);   }   迭代算法也常用于求方程组的根,令   X=(x0,x1,…,xn-1)   设方程组为:   xi=gi(X) (I=0,1,…,n-1)   则求方程组根的迭代算法可描述如下:   【算法】迭代法求方程组的根   { for (i=0;i   x=初始近似根;   do {   for (i=0;i   y=x;   for (i=0;i   x=gi(X);   for (delta=0.0,i=0;i   if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x);   } while (delta>Epsilon);   for (i=0;i   printf(“变量x[%d]的近似根是 %f”,I,x);   printf(“\n”);   }   具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况:   (1) 如果方程无解,算法求出的近似根序列就不会收敛,迭代过程会变成死循环,因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解,并在程序中对迭代的次数给予限制;   (2) 方程虽然有解,但迭代公式选择不当,或迭代的初始近似根选择不合理,也会导致迭代失败。   递归   递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。   能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。   【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。   斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即:   fib(0)=0;   fib(1)=1;   fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。   写成递归函数有:   int fib(int n)   { if (n==0) return 0;   if (n==1) return 1;   if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);   }   递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n- 2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。   在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。   在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。   由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。   【问题】 组合问题   问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1   (4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1   (7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1   (10)3、2、1   分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m 个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。   【程序】   # include   # define MAXN 100   int a[MAXN];   void comb(int m,int k)   { int i,j;   for (i=m;i>=k;i--)   { a[k]=i;   if (k>1)   comb(i-1,k-1);   else   { for (j=a[0];j>0;j--)   printf(“%4d”,a[j]);   printf(“\n”);   }   }   }   void main()   { a[0]=3;   comb(5,3);   }   【问题】 背包问题   问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。   设n 件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。   对于第i件物品的选择考虑有两种可能:   (1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。   (2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。   按以上思想写出递归算法如下:   try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv)   { /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/   if(包含物品i是可以接受的)   { 将物品i包含在当前方案中;   if (i   try(i+1,tw+物品i的重量,tv);   else   /*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/   以当前方案作为临时最佳方案保存;   恢复物品i不包含状态;   }   /*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/   if (不包含物品i仅是可男考虑的)   if (i   try(i+1,tw,tv-物品i的价值);   else   /*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/   以当前方案作为临时最佳方案保存;   }

沉默术士 2019-12-02 01:25:10 0 浏览量 回答数 0

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图解是什么意思呀。 这个算法 那么简单没必要搞得那么复杂吧。 an = an-1 + 1; 你明白这个等式的意义吗。 这个等式已经包含了递归算法的全部含义。 an 表示 n个数的和,an-1 表示n-1个数的和 ,an = an-1 + 1;表示n个数的和可以通过n-1个数的和来求的。 上述说明哪些情况可以使用递归呢。 那就是:已知前一个步骤可以求得后一个步骤的结果的情况,并且前一个步骤和后一个步骤是有规律过度的。 比如汉诺塔问题: 移n个盘是已移n-1个盘为条件的,两者的共同点是移盘。所以可以用f(n)表示移n个盘,f(n-1)表示移n-1个盘,那么移n个盘和移n-1个盘有什么关系呢。 这就需要预先分析问题才能得出具体的关系 在这个问题中,把n个盘从a移到c需要三个步骤来完成。 1.n-1个盘从a移到b 2 1个盘从a移到c 3 n-1个盘从b移到c 已知n-1个盘从a移到b是可行的,为什么。 因为移1个盘是可行,那么移2个盘也是可行,移 3个盘是已移2个盘为条件的,所以移3个盘也是可行的,所以移n个 盘是可行的。 所以根据已知条件可以解得: 设f(n, a, b,c) 表示 把n个盘从a移到c 借助b --------------------------这里很关键,这是搞懂递归的关键关键。 那么把n-1个盘从a移到b 借助c 怎样表示呢。 很明显是:f(n-1, a, c,b) 那么把1个盘从a移到c怎样表示呢? 很明显是:f(1, a, b,c) 那么把n-1个盘从b移到c 借助a 怎样表示呢。 很明显是:f(n-1, b, a,c) 所以f(n, a, b,c) = ( f(n-1, a,c,b) , f(1, a, b,c), f(n-1, b,a,c)) 这和等差等比数列一个原理。 没有什么 特别的。 记住是问题有这样递推关系才可以使用这种方法。 如果要你计算1+2+8+22 的结果 你就不能使用递归。 因为该问题的后一步骤与前一步骤不具有规律性,所以已知前一个步骤并不能求的后一个步骤的值 1+2+3+4 ...+ 111111111111111111111111111111 这个问题就可以使用递归 原因你懂了吧。 至于爬楼梯问题,无限级分类 问题等一些递归问题,那不过时小菜一碟。 一句话:后一步骤依赖前一步骤并且二者联系具有规律性,运用递归必然成功。

管理贝贝 2019-12-02 01:24:43 0 浏览量 回答数 0

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一个子程序(过程或函数)的定义中又直接或间接地调用该子程序本身,称为递归。递归是一种非常有用的程序设计方法。用递归算法编写的程序结构清晰,具有很好的可读性。递归算法的基本思想是:把规模大的、较难解决的问题变成规模较小的、易解决的同一问题。规模较小的问题又变成规模更小的问题,并且小到一定程度可以直接得出它的解,从而得到原来问题的解。 利用递归算法解题,首先要对问题的以下三个方面进行分析: 一、决定问题规模的参数。需要用递归算法解决的问题,其规模通常都是比较大的,在问题中决定规模大小(或问题复杂程度)的量有哪些。把它们找出来。 二、问题的边界条件及边界值。在什么情况下可以直接得出问题的解。这就是问题的边界条件及边界值。 三、解决问题的通式。把规模大的、较难解决的问题变成规模较小、易解决的同一问题,需要通过哪些步骤或等式来实现。这是解决递归问题的难点。把这些步骤或等式确定下来。 把以上三个方面分析好之后,就可以在子程序中定义递归调用。其一般格式为: if 边界条件 1 成立 then 赋予边界值 1 【 elseif 边界条件 2 成立 then 赋予边界值 2 ┇ 】 else 调用解决问题的通式 endif 例 1 : 计算勒让德多项式的值 x 、 n 由键盘输入。 分析: 当 n = 0 或 n = 1 时,多项式的值都可以直接求出来,只是当 n > 1 时,才使问题变得复杂,决定问题复杂程度的参数是 n 。根据题目提供的已知条件,我们也很容易发现,问题的边界条件及边界值有两个,分别是:当 n = 0 时 P n (x) = 1 和当 n = 1 时 P n (x) = x 。解决问题的通式是: P n (x) = ((2n - 1)P n - 1 (x) - (n - 1)P n - 2 (x)) / n 。 接下来按照上面介绍的一般格式定义递归子程序。 function Pnx(n as integer) if n = 0 then Pnx = 1 elseif n = 1 then Pnx = x else Pnx = ((2*n - 1)*Pnx(n - 1) - (n - 1)*Pnx(n - 2)) / n endif end function 例 2 : Hanoi 塔问题:传说印度教的主神梵天创造世界时,在印度北部佛教圣地贝拿勒斯圣庙里,安放了一块黄铜板,板上插着三根宝石针,在其中一根宝石针上,自下而上地放着由大到小的 64 个金盘。这就是所谓的梵塔( Hanoi ),如图。梵天要求僧侣们坚持不渝地按下面的规则把 64 个盘子移到另一根针上: (1) 一次只能移一个盘子; (2) 盘子只许在三根针上存放; (3) 永远不许大盘压小盘。 梵天宣称,当把他创造世界之时所安放的 64 个盘子全部移到另一根针上时,世界将在一声霹雳声中毁灭。那时,他的虔诚的信徒都可以升天。 要求设计一个程序输出盘子的移动过程。 分析: 为了使问题更具有普遍性,设共有 n 个金盘,并且将金盘由小到大依次编号为 1 , 2 ,…, n 。要把放在 s(source) 针上的 n 个金盘移到目的针 o(objective) 上,当只有一个金盘,即 n = 1 时,问题是比较简单的,只要将编号为 1 的金盘从 s 针上直接移至 o 针上即可。可定义过程 move(s,1,o) 来实现。只是当 n>1 时,才使问题变得复杂。决定问题规模的参数是金盘的个数 n ;问题的边界条件及边界值是:当 n = 1 时, move(s,1,o) 。 当金盘不止一个时,可以把最上面的 n - 1 个金盘看作一个整体。这样 n 个金盘就分成了两个部分:上面 n - 1 个金盘和最下面的编号为 n 的金盘。移动金盘的问题就可以分成下面三个子问题(三个步骤): (1) 借助 o 针,将 n - 1 个金盘(依照上述法则)从 s 针移至 i(indirect) 针上; (2) 将编号为 n 的金盘直接从 s 针移至 o 针上; (3) 借助 s 针,将 i 针上的 n - 1 个金盘(依照上述法则)移至 o 针上。如图 其中第二步只移动一个金盘,很容易解决。第一、第三步虽然不能直接解决,但我们已经把移动 n 个金盘的问题变成了移动 n - 1 个金盘的问题,问题的规模变小了。如果再把第一、第三步分别分成类似的三个子问题,移动 n - 1 个金盘的问题还可以变成移动 n - 2 个金盘的问题,同样可变成移动 n - 3 ,…, 1 个金盘的问题,从而将整个问题加以解决。 这三个步骤就是解决问题的通式,可以以过程的形式把它们定义下来: hanoi(n - 1,s,o,i) move(s,n,o) hanoi(n - 1,i,s,o) 参考程序如下: declare sub hanoi(n,s,i,o) declare sub move(s,n,o) input "How many disks?",n s = 1 i = 2 o = 3 call hanoi(n,s,i,o) end sub hanoi(n,s,i,o) rem 递归子程序 if n = 1 then call move(s,1,o) else call hanoi(n - 1,s,o,i) call move(s,n,o) call hanoi(n - 1,i,s,o) endif end sub sub move(s,n,o) print "move disk";n; print "from";s;"to";o end sub

小旋风柴进 2019-12-02 01:23:57 0 浏览量 回答数 0

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经典动态规划:高楼扔鸡蛋 6月2日 【今日算法】

游客ih62co2qqq5ww 2020-06-02 16:06:52 3 浏览量 回答数 1

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迭代法也称辗转法,是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法,即一次性解决问题。迭代法又分为精确迭代和近似迭代。“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点,让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行,在每次执行这组指令(或这些步骤)时,都从变量的原值推出它的一个新值。 迭代是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题(一般是解方程或者方程组)的过程,为实现这一过程所使用的方法统称为迭代法(Iterative Method)。 一般可以做如下定义:对于给定的线性方程组x=Bx+f(这里的x、B、f同为矩阵,任意线性方程组都可以变换成此形式),用公式x(k+1)=Bx(k)+f(括号中为上标,代表迭代k次得到的x,初始时k=0)逐步带入求近似解的方法称为迭代法(或称一阶定常迭代法)。如果k趋向无穷大时limx(k)存在,记为x*,称此迭代法收敛。显然x*就是此方程组的解,否则称为迭代法发散。 跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法),即一次性的快速解决问题,例如通过开方解决方程x +3= 4。一般如果可能,直接解法总是优先考虑的。但当遇到复杂问题时,特别是在未知量很多,方程为非线性时,我们无法找到直接解法(例如五次以及更高次的代数方程没有解析解,参见阿贝耳定理),这时候或许可以通过迭代法寻求方程(组)的近似解。 最常见的迭代法是牛顿法。其他还包括最速下降法、共轭迭代法、变尺度迭代法、最小二乘法、线性规划、非线性规划、单纯型法、惩罚函数法、斜率投影法、遗传算法、模拟退火等等。 利用迭代算法解决问题,需要做好以下三个方面的工作: 确定迭代变量 在可以用迭代算法解决的问题中,至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量,这个变量就是迭代变量。 建立迭代关系式 所谓迭代关系式,指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键,通常可以顺推或倒推的方法来完成。 对迭代过程进行控制 在 什么时候结束迭代过程。这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况:一种是所需的迭代次数 是个确定的值,可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况,可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况,需 要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。 举例 例 1 :一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子,这种兔子从出生的下一个月开始,每月新生一只兔子,新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去,问到第 12 个月时,该饲养场共有兔子多少只。 分析:这是一个典型的递推问题。我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为 u 1 ,第 2 个月时兔子的只数为 u 2 ,第 3 个月时兔子的只数为 u 3 ,……根据题意,“这种兔子从出生的下一个月开始,每月新生一只兔子”,则有 u 1 = 1 , u 2 = u 1 + u 1 × 1 = 2 , u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4 ,…… 根据这个规律,可以归纳出下面的递推公式: u n = u(n - 1)× 2 (n ≥ 2) 对应 u n 和 u(n - 1),定义两个迭代变量 y 和 x ,可将上面的递推公式转换成如下迭代关系: y=x*2 x=y 让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次,就可以算出第 12 个月时的兔子数。参考程序如下: cls x=1 for i=2 to 12 y=x*2 x=y next i print y end 例 2 :阿米巴用简单分裂的方式繁殖,它每分裂一次要用 3 分钟。将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内, 45 分钟后容器内充满了阿米巴。已知容器最多可以装阿米巴 220,220个。试问,开始的时候往容器内放了多少个阿米巴。请编程序算出。 分析:根据题意,阿米巴每 3 分钟分裂一次,那么从开始的时候将阿米巴放入容器里面,到 45 分钟后充满容器,需要分裂 45/3=15 次。而“容器最多可以装阿米巴2^ 20 个”,即阿米巴分裂 15 次以后得到的个数是 2^20。题目要求我们计算分裂之前的阿米巴数,不妨使用倒推的方法,从第 15 次分裂之后的 2^20 个,倒推出第 15 次分裂之前(即第 14 次分裂之后)的个数,再进一步倒推出第 13 次分裂之后、第 12 次分裂之后、……第 1 次分裂之前的个数。 设第 1 次分裂之前的个数为 x 0 、第 1 次分裂之后的个数为 x 1 、第 2 次分裂之后的个数为 x 2 、……第 15 次分裂之后的个数为 x 15 ,则有 x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1) 因为第 15 次分裂之后的个数 x 15 是已知的,如果定义迭代变量为 x ,则可以将上面的倒推公式转换成如下的迭代公式: x=x/2 (x 的初值为第 15 次分裂之后的个数 2^20) 让这个迭代公式重复执行 15 次,就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴个数。因为所需的迭代次数是个确定的值,我们可以使用一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。参考程序如下: cls x=2^20 for i=1 to 15 x=x/2 next i print x end ps:java中幂的算法是Math.pow(2,20);返回double,稍微注意一下 例 3 :验证谷角猜想。日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象:对于任意一个自然数 n ,若 n 为偶数,则将其除以 2 ;若 n 为奇数,则将其乘以 3 ,然后再加 1。如此经过有限次运算后,总可以得到自然数 1。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。 要求:编写一个程序,由键盘输入一个自然数 n ,把 n 经过有限次运算后,最终变成自然数 1 的全过程打印出来。 分析:定义迭代变量为 n ,按照谷角猜想的内容,可以得到两种情况下的迭代关系式:当 n 为偶数时, n=n/2 ;当 n 为奇数时, n=n*3+1。用 QBASIC 语言把它描述出来就是: if n 为偶数 then n=n/2 else n=n*3+1 end if 这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次,才能使迭代变量 n 最终变成自然数 1 ,这是我们无法计算出来的。因此,还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。仔细分析题目要求,不难看出,对任意给定的一个自然数 n ,只要经过有限次运算后,能够得到自然数 1 ,就已经完成了验证工作。因此,用来结束迭代过程的条件可以定义为:n=1。参考程序如下: cls input "Please input n=";n do until n=1 if n mod 2=0 then rem 如果 n 为偶数,则调用迭代公式 n=n/2 n=n/2 print "—";n; else n=n*3+1 print "—";n; end if loop end 迭代法开平方: #include<stdio.h> #include<math.h> void main() { double a,x0,x1; printf("Input a:\n"); scanf("%lf",&a);//为什么在VC6.0中不能写成“scanf("%f",&a);”。 if(a<0) printf("Error!\n"); else { x0=a/2; x1=(x0+a/x0)/2; do { x0=x1; x1=(x0+a/x0)/2; }while(fabs(x0-x1)>=1e-6); } printf("Result:\n"); printf("sqrt(%g)=%g\n",a,x1); } 求平方根的迭代公式:x1=1/2*(x0+a/x0)。 算法:1.先自定一个初值x0,作为a的平方根值,在我们的程序中取a/2作为a的初值;利用迭代公式求出一个x1。此值与真正的a的平方根值相比,误差很大。 ⒉把新求得的x1代入x0中,准备用此新的x0再去求出一个新的x1. ⒊利用迭代公式再求出一个新的x1的值,也就是用新的x0又求出一个新的平方根值x1,此值将更趋近于真正的平方根值。 ⒋比较前后两次求得的平方根值x0和x1,如果它们的差值小于我们指定的值,即达到我们要求的精度,则认为x1就是a的平方根值,去执行步骤5;否则执行步骤2,即循环进行迭代。 迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0,用某种数学方法导出等价的形式x=g(x),然后按以下步骤执行: ⑴ 选一个方程的近似根,赋给变量x0; ⑵ 将x0的值保存于变量x1,然后计算g(x1),并将结果存于变量x0; ⑶ 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时,重复步骤⑵的计算。 若方程有根,并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛,则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为: 【算法】迭代法求方程的根 { x0=初始近似根; do { x1=x0; x0=g(x1); /*按特定的方程计算新的近似根*/ } while (fabs(x0-x1)>Epsilon); printf(“方程的近似根是%f\n”,x0); } 迭代算法也常用于求方程组的根,令 X=(x0,x1,…,xn-1) 设方程组为: xi=gi(X) (I=0,1,…,n-1) 则求方程组根的迭代算法可描述如下: 【算法】迭代法求方程组的根 { for (i=0;i x=初始近似根; do { for (i=0;i y=x; for (i=0;i x=gi(X); for (delta=0.0,i=0;i if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x); } while (delta>Epsilon); for (i=0;i printf(“变量x[%d]的近似根是 %f”,I,x); printf(“\n”); } 具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况: ⑴ 如果方程无解,算法求出的近似根序列就不会收敛,迭代过程会变成死循环,因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解,并在程序中对迭代的次数给予限制; ⑵ 方程虽然有解,但迭代公式选择不当,或迭代的初始近似根选择不合理,也会导致迭代失败。 递归 递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: fib(0)=0; fib⑴=1; fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 写成递归函数有: int fib(int n) { if (n==0) return 0; if (n==1) return 1; if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); } 递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问 题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算 fib(n-1)和fib(n- 2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib⑴和fib(0),分别能 立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib⑴和fib(0)后,返回得到fib⑵的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 【问题】 组合问题 问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为:⑴5、4、3 ⑵5、4、2 ⑶5、4、1 ⑷5、3、2 ⑸5、3、1 ⑹5、2、1 ⑺4、3、2 ⑻4、3、1 ⑼4、2、1 ⑽3、2、1 分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m 个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递 归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 【程序】 # include # define MAXN 100 int a[MAXN]; void comb(int m,int k) { int i,j; for (i=m;i>=k;i--) { a[k]=i; if (k>1) comb(i-1,k-1); else { for (j=a[0];j>0;j--) printf(“%4d”,a[j]); printf(“\n”); } } } void main() { a[0]=3; comb(5,3); } 【问题】 背包问题 问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 设n 件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并 保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达 到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止 当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 对于第i件物品的选择考虑有两种可能: ⑴ 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 ⑵ 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 按以上思想写出递归算法如下: try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) { /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ if(包含物品i是可以接受的) { 将物品i包含在当前方案中; if (i try(i+1,tw+物品i的重量,tv); else /*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ 以当前方案作为临时最佳方案保存; 恢复物品i不包含状态; } /*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ if (不包含物品i仅是可男考虑的) if (i try(i+1,tw,tv-物品i的价值); else /*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ 以当前方案作为临时最佳方案保存; } 为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: 物品 0 1 2 3 重量 5 3 2 1 价值 4 4 3 1 并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 按上述算法编写函数和程序如下: 【程序】 # include # define N 100 double limitW,totV,maxV; int option[N],cop[N]; struct { double weight; double value; }a[N]; int n; void find(int i,double tw,double tv) { int k; /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ if (tw+a.weight<=limitW) { cop=1; if (i else { for (k=0;k option[k]=cop[k]; maxv=tv; } cop=0; } /*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ if (tv-a.value>maxV) if (i else { for (k=0;k option[k]=cop[k]; maxv=tv-a.value; } } void main() { int k; double w,v; printf(“输入物品种数\n”); scanf((“%d”,&n); printf(“输入各物品的重量和价值\n”); for (totv=0.0,k=0;k { scanf(“%1f%1f”,&w,&v); a[k].weight=w; a[k].value=v; totV+=V; } printf(“输入限制重量\n”); scanf(“%1f”,&limitV); maxv=0.0; for (k=0;k find(0,0.0,totV); for (k=0;k if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); } 作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是 从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选 解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在 候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。 对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 【程序】 # include # define N 100 double limitW; int cop[N]; struct ele { double weight; double value; } a[N]; int k,n; struct { int ; double tw; double tv; }twv[N]; void next(int i,double tw,double tv) { twv.=1; twv tw=tw; twv tv=tv; } double find(struct ele *a,int n) { int i,k,f; double maxv,tw,tv,totv; maxv=0; for (totv=0.0,k=0;k totv+=a[k].value; next(0,0.0,totv); i=0; While (i>=0) { f=twv.; tw=twv tw; tv=twv tv; switch(f) { case 1: twv.++; if (tw+a.weight<=limitW) if (i { next(i+1,tw+a.weight,tv); i++; } else { maxv=tv; for (k=0;k cop[k]=twv[k].!=0; } break; case 0: i--; break; default: twv.=0; if (tv-a.value>maxv) if (i { next(i+1,tw,tv-a.value); i++; } else { maxv=tv-a.value; for (k=0;k cop[k]=twv[k].!=0; } break; } } return maxv; } void main() { double maxv; printf(“输入物品种数\n”); scanf((“%d”,&n); printf(“输入限制重量\n”); scanf(“%1f”,&limitW); printf(“输入各物品的重量和价值\n”); for (k=0;k scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); maxv=find(a,n); printf(“\n选中的物品为\n”); for (k=0;k if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); }

云篆 2019-12-02 01:25:10 0 浏览量 回答数 0

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迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点,让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行,在每次执行这组指令(或这些步骤)时,都从变量的原值推出它的一个新值。 利用迭代算法解决问题,需要做好以下三个方面的工作: 一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中,至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量,这个变量就是迭代变量。 二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式,指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键,通常可以使用递推或倒推的方法来完成。 三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程。这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况:一种是所需的迭代次数是个确定的值,可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况,可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况,需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。 例 1 : 一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子,这种兔子从出生的下一个月开始,每月新生一只兔子,新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去,问到第 12 个月时,该饲养场共有兔子多少只。 分析: 这是一个典型的递推问题。我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为 u 1 ,第 2 个月时兔子的只数为 u 2 ,第 3 个月时兔子的只数为 u 3 ,……根据题意,“这种兔子从出生的下一个月开始,每月新生一只兔子”,则有 u 1 = 1 , u 2 = u 1 + u 1 × 1 = 2 , u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4 ,…… 根据这个规律,可以归纳出下面的递推公式: u n = u n - 1 × 2 (n ≥ 2) 对应 u n 和 u n - 1 ,定义两个迭代变量 y 和 x ,可将上面的递推公式转换成如下迭代关系: y=x*2 x=y 让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次,就可以算出第 12 个月时的兔子数。参考程序如下: cls x=1 for i=2 to 12 y=x*2 x=y next i print y end 例 2 : 阿米巴用简单分裂的方式繁殖,它每分裂一次要用 3 分钟。将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内, 45 分钟后容器内充满了阿米巴。已知容器最多可以装阿米巴 2 20 个。试问,开始的时候往容器内放了多少个阿米巴。请编程序算出。 分析: 根据题意,阿米巴每 3 分钟分裂一次,那么从开始的时候将阿米巴放入容器里面,到 45 分钟后充满容器,需要分裂 45/3=15 次。而“容器最多可以装阿米巴 2 20 个”,即阿米巴分裂 15 次以后得到的个数是 2 20 。题目要求我们计算分裂之前的阿米巴数,不妨使用倒推的方法,从第 15 次分裂之后的 2 20 个,倒推出第 15 次分裂之前(即第 14 次分裂之后)的个数,再进一步倒推出第 13 次分裂之后、第 12 次分裂之后、……第 1 次分裂之前的个数。 设第 1 次分裂之前的个数为 x 0 、第 1 次分裂之后的个数为 x 1 、第 2 次分裂之后的个数为 x 2 、……第 15 次分裂之后的个数为 x 15 ,则有 x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1) 因为第 15 次分裂之后的个数 x 15 是已知的,如果定义迭代变量为 x ,则可以将上面的倒推公式转换成如下的迭代公式: x=x/2 ( x 的初值为第 15 次分裂之后的个数 2 20 ) 让这个迭代公式重复执行 15 次,就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴个数。因为所需的迭代次数是个确定的值,我们可以使用一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。参考程序如下: cls x=2^20 for i=1 to 15 x=x/2 next i print x end 例 3 : 验证谷角猜想。日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象:对于任意一个自然数 n ,若 n 为偶数,则将其除以 2 ;若 n 为奇数,则将其乘以 3 ,然后再加 1 。如此经过有限次运算后,总可以得到自然数 1 。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。 要求:编写一个程序,由键盘输入一个自然数 n ,把 n 经过有限次运算后,最终变成自然数 1 的全过程打印出来。 分析: 定义迭代变量为 n ,按照谷角猜想的内容,可以得到两种情况下的迭代关系式:当 n 为偶数时, n=n/2 ;当 n 为奇数时, n=n*3+1 。用 QBASIC 语言把它描述出来就是: if n 为偶数 then n=n/2 else n=n*3+1 end if 这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次,才能使迭代变量 n 最终变成自然数 1 ,这是我们无法计算出来的。因此,还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。仔细分析题目要求,不难看出,对任意给定的一个自然数 n ,只要经过有限次运算后,能够得到自然数 1 ,就已经完成了验证工作。因此,用来结束迭代过程的条件可以定义为: n=1 。参考程序如下: cls input "Please input n=";n do until n=1 if n mod 2=0 then rem 如果 n 为偶数,则调用迭代公式 n=n/2 n=n/2 print "—";n; else n=n*3+1 print "—";n; end if loop end 迭代法 迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0,用某种数学方法导出等价的形式x=g(x),然后按以下步骤执行: (1) 选一个方程的近似根,赋给变量x0; (2) 将x0的值保存于变量x1,然后计算g(x1),并将结果存于变量x0; (3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时,重复步骤(2)的计算。 若方程有根,并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛,则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为: 【算法】迭代法求方程的根 { x0=初始近似根; do { x1=x0; x0=g(x1); /*按特定的方程计算新的近似根*/ } while ( fabs(x0-x1)>Epsilon); printf(“方程的近似根是%f\n”,x0); } 迭代算法也常用于求方程组的根,令 X=(x0,x1,…,xn-1) 设方程组为: xi=gi(X) (I=0,1,…,n-1) 则求方程组根的迭代算法可描述如下: 【算法】迭代法求方程组的根 { for (i=0;i x=初始近似根; do { for (i=0;i y=x; for (i=0;i x=gi(X); for (delta=0.0,i=0;i if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x); } while (delta>Epsilon); for (i=0;i printf(“变量x[%d]的近似根是 %f”,I,x); printf(“\n”); } 具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况: (1) 如果方程无解,算法求出的近似根序列就不会收敛,迭代过程会变成死循环,因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解,并在程序中对迭代的次数给予限制; (2) 方程虽然有解,但迭代公式选择不当,或迭代的初始近似根选择不合理,也会导致迭代失败。 递归 递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: fib(0)=0; fib(1)=1; fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 写成递归函数有: int fib(int n) { if (n==0) return 0; if (n==1) return 1; if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); } 递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n- 2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 【问题】 组合问题 问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 (4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 (7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 (10)3、2、1 分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m 个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 【程序】 # include # define MAXN 100 int a[MAXN]; void comb(int m,int k) { int i,j; for (i=m;i>=k;i--) { a[k]=i; if (k>1) comb(i-1,k-1); else { for (j=a[0];j>0;j--) printf(“%4d”,a[j]); printf(“\n”); } } } void main() { a[0]=3; comb(5,3); } 【问题】 背包问题 问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 设n 件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 对于第i件物品的选择考虑有两种可能: (1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 (2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 按以上思想写出递归算法如下: try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) { /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ if(包含物品i是可以接受的) { 将物品i包含在当前方案中; if (i try(i+1,tw+物品i的重量,tv); else /*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ 以当前方案作为临时最佳方案保存; 恢复物品i不包含状态; } /*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ if (不包含物品i仅是可男考虑的) if (i try(i+1,tw,tv-物品i的价值); else /*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ 以当前方案作为临时最佳方案保存; } 为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: 物品 0 1 2 3 重量 5 3 2 1 价值 4 4 3 1 并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 按上述算法编写函数和程序如下: 【程序】 # include # define N 100 double limitW,totV,maxV; int option[N],cop[N]; struct { double weight; double value; }a[N]; int n; void find(int i,double tw,double tv) { int k; /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ if (tw+a.weight<=limitW) { cop=1; if (i else { for (k=0;k option[k]=cop[k]; maxv=tv; } cop=0; } /*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ if (tv-a.value>maxV) if (i else { for (k=0;k option[k]=cop[k]; maxv=tv-a.value; } } void main() { int k; double w,v; printf(“输入物品种数\n”); scanf((“%d”,&n); printf(“输入各物品的重量和价值\n”); for (totv=0.0,k=0;k { scanf(“%1f%1f”,&w,&v); a[k].weight=w; a[k].value=v; totV+=V; } printf(“输入限制重量\n”); scanf(“%1f”,&limitV); maxv=0.0; for (k=0;k find(0,0.0,totV); for (k=0;k if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); } 作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 【程序】 # include # define N 100 double limitW; int cop[N]; struct ele { double weight; double value; } a[N]; int k,n; struct { int ; double tw; double tv; }twv[N]; void next(int i,double tw,double tv) { twv.=1; twv.tw=tw; twv.tv=tv; } double find(struct ele *a,int n) { int i,k,f; double maxv,tw,tv,totv; maxv=0; for (totv=0.0,k=0;k totv+=a[k].value; next(0,0.0,totv); i=0; While (i>=0) { f=twv.; tw=twv.tw; tv=twv.tv; switch(f) { case 1: twv.++; if (tw+a.weight<=limitW) if (i { next(i+1,tw+a.weight,tv); i++; } else { maxv=tv; for (k=0;k cop[k]=twv[k].!=0; } break; case 0: i--; break; default: twv.=0; if (tv-a.value>maxv) if (i { next(i+1,tw,tv-a.value); i++; } else { maxv=tv-a.value; for (k=0;k cop[k]=twv[k].!=0; } break; } } return maxv; } void main() { double maxv; printf(“输入物品种数\n”); scanf((“%d”,&n); printf(“输入限制重量\n”); scanf(“%1f”,&limitW); printf(“输入各物品的重量和价值\n”); for (k=0;k scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); maxv=find(a,n); printf(“\n选中的物品为\n”); for (k=0;k if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); } 递归的基本概念和特点 程序调用自身的编程技巧称为递归( recursion)。 一个过程或函数在其定义或说明中又直接或间接调用自身的一种方法,它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解,递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算,大大地减少了程序的代码量。递归的能力在于用有限的语句来定义对象的无限集合。用递归思想写出的程序往往十分简洁易懂。 一般来说,递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。当边界条件不满足时,递归前进;当边界条件满足时,递归返回。 注意: (1) 递归就是在过程或函数里调用自身; (2) 在使用递增归策略时,必须有一个明确的递归结束条件,称为递归出口。

马铭芳 2019-12-02 01:24:44 0 浏览量 回答数 0

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  迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点,让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行,在每次执行这组指令(或这些步骤)时,都从变量的原值推出它的一个新值。   利用迭代算法解决问题,需要做好以下三个方面的工作:   一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中,至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量,这个变量就是迭代变量。   二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式,指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键,通常可以使用递推或倒推的方法来完成。   三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程。这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况:一种是所需的迭代次数是个确定的值,可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况,可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况,需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。   例 1 : 一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子,这种兔子从出生的下一个月开始,每月新生一只兔子,新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去,问到第 12 个月时,该饲养场共有兔子多少只。   分析: 这是一个典型的递推问题。我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为 u 1 ,第 2 个月时兔子的只数为 u 2 ,第 3 个月时兔子的只数为 u 3 ,……根据题意,“这种兔子从出生的下一个月开始,每月新生一只兔子”,则有   u 1 = 1 , u 2 = u 1 + u 1 × 1 = 2 , u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4 ,……   根据这个规律,可以归纳出下面的递推公式:   u n = u n - 1 × 2 (n ≥ 2)   对应 u n 和 u n - 1 ,定义两个迭代变量 y 和 x ,可将上面的递推公式转换成如下迭代关系:   y=x*2   x=y   让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次,就可以算出第 12 个月时的兔子数。参考程序如下:   cls   x=1   for i=2 to 12   y=x*2   x=y   next i   print y   end   例 2 : 阿米巴用简单分裂的方式繁殖,它每分裂一次要用 3 分钟。将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内, 45 分钟后容器内充满了阿米巴。已知容器最多可以装阿米巴 2 20 个。试问,开始的时候往容器内放了多少个阿米巴。请编程序算出。   分析: 根据题意,阿米巴每 3 分钟分裂一次,那么从开始的时候将阿米巴放入容器里面,到 45 分钟后充满容器,需要分裂 45/3=15 次。而“容器最多可以装阿米巴 2 20 个”,即阿米巴分裂 15 次以后得到的个数是 2 20 。题目要求我们计算分裂之前的阿米巴数,不妨使用倒推的方法,从第 15 次分裂之后的 2 20 个,倒推出第 15 次分裂之前(即第 14 次分裂之后)的个数,再进一步倒推出第 13 次分裂之后、第 12 次分裂之后、……第 1 次分裂之前的个数。   设第 1 次分裂之前的个数为 x 0 、第 1 次分裂之后的个数为 x 1 、第 2 次分裂之后的个数为 x 2 、……第 15 次分裂之后的个数为 x 15 ,则有   x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1)   因为第 15 次分裂之后的个数 x 15 是已知的,如果定义迭代变量为 x ,则可以将上面的倒推公式转换成如下的迭代公式:   x=x/2 ( x 的初值为第 15 次分裂之后的个数 2 20 )   让这个迭代公式重复执行 15 次,就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴个数。因为所需的迭代次数是个确定的值,我们可以使用一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。参考程序如下:   cls   x=2^20   for i=1 to 15   x=x/2   next i   print x   end   例 3 : 验证谷角猜想。日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象:对于任意一个自然数 n ,若 n 为偶数,则将其除以 2 ;若 n 为奇数,则将其乘以 3 ,然后再加 1 。如此经过有限次运算后,总可以得到自然数 1 。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。   要求:编写一个程序,由键盘输入一个自然数 n ,把 n 经过有限次运算后,最终变成自然数 1 的全过程打印出来。   分析: 定义迭代变量为 n ,按照谷角猜想的内容,可以得到两种情况下的迭代关系式:当 n 为偶数时, n=n/2 ;当 n 为奇数时, n=n*3+1 。用 QBASIC 语言把它描述出来就是:   if n 为偶数 then   n=n/2   else   n=n*3+1   end if   这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次,才能使迭代变量 n 最终变成自然数 1 ,这是我们无法计算出来的。因此,还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。仔细分析题目要求,不难看出,对任意给定的一个自然数 n ,只要经过有限次运算后,能够得到自然数 1 ,就已经完成了验证工作。因此,用来结束迭代过程的条件可以定义为: n=1 。参考程序如下:   cls   input "Please input n=";n   do until n=1   if n mod 2=0 then   rem 如果 n 为偶数,则调用迭代公式 n=n/2   n=n/2   print "—";n;   else   n=n*3+1   print "—";n;   end if   loop   end   迭代法   迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0,用某种数学方法导出等价的形式x=g(x),然后按以下步骤执行:   (1) 选一个方程的近似根,赋给变量x0;   (2) 将x0的值保存于变量x1,然后计算g(x1),并将结果存于变量x0;   (3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时,重复步骤(2)的计算。   若方程有根,并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛,则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为:   【算法】迭代法求方程的根   { x0=初始近似根;   do {   x1=x0;   x0=g(x1); /*按特定的方程计算新的近似根*/   } while ( fabs(x0-x1)>Epsilon);   printf(“方程的近似根是%f\n”,x0);   }   迭代算法也常用于求方程组的根,令   X=(x0,x1,…,xn-1)   设方程组为:   xi=gi(X) (I=0,1,…,n-1)   则求方程组根的迭代算法可描述如下:   【算法】迭代法求方程组的根   { for (i=0;i   x=初始近似根;   do {   for (i=0;i   y=x;   for (i=0;i   x=gi(X);   for (delta=0.0,i=0;i   if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x);   } while (delta>Epsilon);   for (i=0;i   printf(“变量x[%d]的近似根是 %f”,I,x);   printf(“\n”);   }   具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况:   (1) 如果方程无解,算法求出的近似根序列就不会收敛,迭代过程会变成死循环,因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解,并在程序中对迭代的次数给予限制;   (2) 方程虽然有解,但迭代公式选择不当,或迭代的初始近似根选择不合理,也会导致迭代失败。   递归   递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。   能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。   【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。   斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即:   fib(0)=0;   fib(1)=1;   fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。   写成递归函数有:   int fib(int n)   { if (n==0) return 0;   if (n==1) return 1;   if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);   }   递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n- 2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。   在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。   在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。   由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。   【问题】 组合问题   问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1   (4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1   (7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1   (10)3、2、1   分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m 个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。   【程序】   # include   # define MAXN 100   int a[MAXN];   void comb(int m,int k)   { int i,j;   for (i=m;i>=k;i--)   { a[k]=i;   if (k>1)   comb(i-1,k-1);   else   { for (j=a[0];j>0;j--)   printf(“%4d”,a[j]);   printf(“\n”);   }   }   }   void main()   { a[0]=3;   comb(5,3);   }   【问题】 背包问题   问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。   设n 件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。   对于第i件物品的选择考虑有两种可能:   (1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。   (2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。   按以上思想写出递归算法如下:   try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv)   { /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/   if(包含物品i是可以接受的)   { 将物品i包含在当前方案中;   if (i   try(i+1,tw+物品i的重量,tv);   else   /*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/   以当前方案作为临时最佳方案保存;   恢复物品i不包含状态;   }   /*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/   if (不包含物品i仅是可男考虑的)   if (i   try(i+1,tw,tv-物品i的价值);   else   /*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/   以当前方案作为临时最佳方案保存;   }   为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表:   物品 0 1 2 3   重量 5 3 2 1   价值 4 4 3 1   并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。   按上述算法编写函数和程序如下:   【程序】   # include   # define N 100   double limitW,totV,maxV;   int option[N],cop[N];   struct { double weight;   double value;   }a[N];   int n;   void find(int i,double tw,double tv)   { int k;   /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/   if (tw+a.weight<=limitW)   { cop=1;   if (i   else   { for (k=0;k   option[k]=cop[k];   maxv=tv;   }   cop=0;   }   /*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/   if (tv-a.value>maxV)   if (i   else   { for (k=0;k   option[k]=cop[k];   maxv=tv-a.value;   }   }   void main()   { int k;   double w,v;   printf(“输入物品种数\n”);   scanf((“%d”,&n);   printf(“输入各物品的重量和价值\n”);   for (totv=0.0,k=0;k   { scanf(“%1f%1f”,&w,&v);   a[k].weight=w;   a[k].value=v;   totV+=V;   }   printf(“输入限制重量\n”);   scanf(“%1f”,&limitV);   maxv=0.0;   for (k=0;k find(0,0.0,totV);   for (k=0;k   if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);   printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv);   }   作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。   【程序】   # include   # define N 100   double limitW;   int cop[N];   struct ele { double weight;   double value;   } a[N];   int k,n;   struct { int ;   double tw;   double tv;   }twv[N];   void next(int i,double tw,double tv)   { twv.=1;   twv.tw=tw;   twv.tv=tv;   }   double find(struct ele *a,int n)   { int i,k,f;   double maxv,tw,tv,totv;   maxv=0;   for (totv=0.0,k=0;k   totv+=a[k].value;   next(0,0.0,totv);   i=0;   While (i>=0)   { f=twv.;   tw=twv.tw;   tv=twv.tv;   switch(f)   { case 1: twv.++;   if (tw+a.weight<=limitW)   if (i   { next(i+1,tw+a.weight,tv);   i++;   }   else   { maxv=tv;   for (k=0;k   cop[k]=twv[k].!=0;   }   break;   case 0: i--;   break;   default: twv.=0;   if (tv-a.value>maxv)   if (i   { next(i+1,tw,tv-a.value);   i++;   }   else   { maxv=tv-a.value;   for (k=0;k   cop[k]=twv[k].!=0;   }   break;   }   }   return maxv;   }   void main()   { double maxv;   printf(“输入物品种数\n”);   scanf((“%d”,&n);   printf(“输入限制重量\n”);   scanf(“%1f”,&limitW);   printf(“输入各物品的重量和价值\n”);   for (k=0;k   scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value);   maxv=find(a,n);   printf(“\n选中的物品为\n”);   for (k=0;k   if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);   printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv);   }   递归的基本概念和特点   程序调用自身的编程技巧称为递归( recursion)。   一个过程或函数在其定义或说明中又直接或间接调用自身的一种方法,它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解,递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算,大大地减少了程序的代码量。递归的能力在于用有限的语句来定义对象的无限集合。用递归思想写出的程序往往十分简洁易懂。   一般来说,递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。当边界条件不满足时,递归前进;当边界条件满足时,递归返回。   注意:   (1) 递归就是在过程或函数里调用自身;   (2) 在使用递增归策略时,必须有一个明确的递归结束条件,称为递归出口。

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游客ih62co2qqq5ww 2020-05-07 14:48:09 25 浏览量 回答数 1

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对于算法的学习,我也是从一个小白一步步走来,当然,现在仍然很菜,,,不过,鉴于我觉得还有一些人比我更菜了,我决定谈谈我算法学习过程走过的坑,以及自己总结的一些经验。 切勿盲目刷题:刷题前的知识积累 说实话,想要提高自己的算法,真的没啥捷径,我觉得最好的捷径就是脚踏实地着多动手去刷题,多刷题。 但是,我必须提醒的是,如果你是小白,也就是说,你连常见的数据结构,如链表、树以及常见的算法思想,如递归、枚举、动态规划这些都没学过,那么,我不建议你盲目疯狂着去刷题的。而是先去找本书先去学习这些必要的知识,然后再去刷题。 因为,如果这些基础都不懂的话,估计一道题做了几个小时,然后看答案都看不懂,做题没有任何思路,这是很难受的。久而久之,估计没啥动力了,我刚开始就是这样,一道题答案看一天,然而还是不大懂,什么回溯啊,暴力啊,还不知道是啥意思。 也就是说,假如你要去诸如leetcode这些网站刷题,那么,你要先具备一定的基础,这些基础包括: 1、常见数据结构:链表、树(如二叉树)。(是的,链表和二叉树是重点,图这些可以先放着) 2、常见算法思想:贪婪法、分治法、穷举法、动态规划,回溯法。(贪婪、穷举、分治是基础,动态规划有难度,可以先放着) 以上列出来的算是最基本的吧。就是说你刷题之前,要把这些过一遍再去刷题。如果你连这些最基本的都不知道的话,那么你再刷题的过程中,会很难受的,思路也会相对比较少。 总之,千万不要急,先把这些基本的过一遍,力求理解,再去刷题。 在这里,我推荐基本我大一时看过的书籍吧,感觉还是非常不错的,如果对于数据结构时零基础的话,那么我建议你可以看《数据结构与算法分析:C语言描述版》这本书,这本书自认为真的很 nice,当时我把这本书里面的全部都看了,并且 coding 了一遍,感觉整个人有了质的飞跃。 后面我时在一些学校的OJ刷题,当时看的一本书叫做《挑战程序设计大赛》,日本作家写的,我觉得这本书也很nice,里面有分初级,中级和高级三个模块,基础比较差的可以从初级开始看起。 当然,这两本书,你可以在这个Github上找到:https://github.com/iamshuaidi/CS-Book 总结下: 提高数据结构与算法没啥捷径,最好的捷径就是多刷题。但是,刷题的前提是你要先学会一些基本的数据结构与算法思想。 AC不是目的,我们要追求完美 如何刷题?如何对待一道算法题? 我觉得,在做题的时候,一定要追求完美,千万不要把一道题做出来之后,提交通过,然后就赶紧下一道。我认为这意义不大,因为一道题的解法太多了,有些解法态粗糙了,我们应该要寻找最优的方法。 算法能力的提升和做题的数量是有一定的关系,但并不是线性关系。也就是说,在做题的时候,要力求一题多解,如果自己实在想不出来其他办法了,可以去看看别人是怎么做的,千万不要觉得模仿别人的做法是件丢人的事。 我做题的时候,我一看到一道题,可能第一想法就是用很粗糙的方式做,因为很多题采用暴力法都会很容易做,就是时间复杂度很高。之后,我就会慢慢思考,看看有没其他方法来降低时间复杂度或空间复杂度。最后,我会去看一下别人的做法,当然,并不是每道题都会这样执行。 衡量一道算法题的好坏无非就是时间复杂度和空间复杂度,所以我们要力求完美,就要把这两个降到最低,令他们相辅相成。 我举道例题吧: 问题: 一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法? 这道题我在以前的分章分析过,不懂的可以先看下之前写的:递归与动态规划—基础篇1 方法1::暴力递归 这道题不难,或许你会采取下面的做法: public int solve(int n){ if(n <= 2){ return n; }else{ return solve(n-1) + solve(n-2); } } 这种做法的时间复杂度很高,指数级别了。但是如果你提交之后侥幸通过了,然后你就接着下一道题了,那么你就要好好想想了。 方法二:空间换时间 力求完美,我们可以考虑用空间换时间:这道题如何你去仔细想一想,会发现有很多是重复执行了。不行你可以画个图 所以可以采取下面的方法: //用一个HashMap来保存已经计算过的状态 static Map<Integer,Integer> map = new HashMap(); public static int solve(int n){ if(n <= 2){ return n; }else{//是否计算过 if(map.containsKey(n)){ return map.get(n); }else{ int m = solve(n-1) + solve(n-2); map.put(n, m); return m; } } } 这样,可以大大缩短时间。也就是说,当一道题你做了之后,发现时间复杂度很高,那么可以考虑下,是否有更好的方法,是否可以用空间换时间。 **方法三:**斐波那契数列 实际上,我们可以把空间复杂度弄的更小,不需要HashMap来保存状态: public static int solve(int n){ if(n <= 2){ return n; } int f1 = 0; int f2 = 1; int sum = 0; for(int i = 1; i<= n; i++){ sum = f1 + f2; f1 = f2; f2 = sum; } return sum; } 我弄这道题给你们看,并不是在教你们这道题怎么做,而是有以下目的: 1、在刷题的时候,我们要力求完美。 2、我想不到这些方法啊,怎么办?那么你就可以去看别人的做法,之后,遇到类似的题,你就会更有思路,更知道往哪个方向想。 3、可以从简单暴力入手做一道题,在考虑空间与时间之间的衡量,一点点去优化。 挑战自己,跳出舒适区 什么叫舒适区?在刷题的时候,可能有一类题是你比较懂的,你每次一看就有思路,然后半个小时就撸好代码,提交代码,然后通过了,然后,哇,又多刷了一道题,心里很舒服。 但是,记住,前期你可以多刷这种题练手,提升自己的乐趣,但,我还是建议你慢慢跳出舒适区,去做一些自己不擅长的题,并且找段时间一直刷这种题。例如,我觉得我在递归方面的题还是挺强的, 但是,我对动态规划的题,很菜,每次都要想好久,每次遇到这种题都有点害怕,没什么信心。不过有段时间我觉得只刷动态规划的题,直接在 leetcode 选定专题,连续做了四五十道,刚开始很难受,后来就慢慢知道了套路了,一道题从两三个小时最后缩到半小时,简单的十几分钟就搞定。感觉自己对这类型的题也不惧怕的。 当然,对于动态规划的学习,大家也可以看我这篇广受好评的文章:为什么你学不过动态规划?告别动态规划,谈谈我的经验 所以,建议你,一定要学好跳出自己的舒适区。 一定要学会分类总结 有些人以为 leetcode 的题刷的越多,就一定能越厉害,其实不然,leetcode 虽然有 1000 多道题,但题型就那么几类,我们前期在刷的时候,我是建议按照题型分类刷题的,例如我这整理刷二叉树相关,然后刷链表相关,然后二分法,然后递归等等,每刷一种题型,都要研究他们的套路,如果你愿意去总结,那么 leetcode 的题,其实你刷几百道,有目的、挑选的刷,我觉得就差不多了。 我看过一本书,叫做《程序员代码面试指南:IT 名企算法与数据结构题目最优解》,这本书就非常不错,里面按照栈,队列,链表,二叉树,字符串等一个专题一个专题来刷的,并且每道题都给出了最优解,而且里面的题有一定的难度,感兴趣的,真心不错,如果你把这本书的题全部搞定,并且总结相关套路,那么你的算法一定有很大的提升。 推荐一些刷题网站 我一般是在leetcode和牛客网刷题,感觉挺不错,题目难度不是很大。 在牛客网那里,我主要刷剑指Offer,不过那里也有个在线刷leetcode,不过里面的题量比较少。牛客网刷题有个非常方便的地方就是有个讨论区,那里会有很多大佬分享他们的解题方法,不用我们去百度找题解。所以你做完后,实在想不出,可以很方便着去看别人是怎么做的。 至于leetcode,也是大部分题目官方都有给出答案,也是个不错的刷题网站。你们可以两个挑选一个,或者两个都刷。 当然,还有其他刷题的网站,不过,其他网站没刷过,不大清除如何。 至于leetcode,有中文版和英文版 leetcode有中文版 英文版 根据自己的兴趣选。 学习一些解题技巧 说实话,有些题在你没看别人的解法前,你好不知道有这么美妙优雅的解法,看了之后,卧槽,居然还可以这样。而我们在刷题的过程中,就要不断累积这些技巧,当你累计多了,你就会形成一种 神经反应,一下子就想到了某种方法。解题技巧很多,例如数组下标法、位图法、双指针等等,我自己也分享过一篇总结一些算法技巧的文章 再说数据结构发重要性 前面我主要是说了我平时都是怎么学习算法的。在数据结构方法,我只是列举了你们一定要学习链表和树(二叉堆),但这是最基本的,刷题之前要掌握的,对于数据结构,我列举下一些比较重要的: 1、链表(如单向链表、双向链表)。 2、树(如二叉树、平衡树、红黑树)。 3、图(如最短路径的几种算法)。 4、队列、栈、矩阵。 对于这些,自己一定要动手实现一遍。你可以看书,也可以看视频,新手可以先看视频,不过前期可以看视频,之后我建议是一定要看书。 例如对于平衡树,可能你跟着书本的代码实现之后,过阵子你就忘记,不过这不要紧,虽然你忘记了,但是如果你之前用代码实现过,理解过,那么当你再次看到的时候,会很快就记起来,很快就知道思路,而且你的抽象能力等等会在不知不觉中提升起来。之后再学习红黑树啊,什么数据结构啊,都会学的很快。 对于有哪些值得学习的算法,我之前也总结过,这里推荐给大家程序员必须掌握的核心算法有哪些?,这篇文章居然 40多万阅读量了,有点受宠若惊。 最最重要 动手去做,动手去做,动手去做。重要的话说三遍。 千万不要找了一堆资源,订好了学习计划,我要留到某某天就来去做… 千万不要这样,而是当你激情来的时候,就马上去干,千万不要留到某个放假日啊什么鬼了,很多这种想法的人,最后会啥也没做的。 也不要觉得要学习的有好多啊,不知道从哪学习起。我上面说了,可以先学习最基本的,然后刷题,刷题是一个需要长期坚持的事情,一年,两年。在刷题的过程中,可以穿插和学习其他数据结构。 总结一下吧 所以我给大家的建议就是,先学习基本的数据结构以及算法思想,不要盲目刷题,接着刷题的过程中,不能得过且过,尽量追求最优解,还有就是要跳出舒适区,逼自己成长,刷题的过程中,要学会分类总结。 当然,最重要的,就是你去动手了,不然,一切免谈! 看在熬夜写过的份上,送我个赞呗,嘻嘻。 1、老铁们,关注我的原创微信公众号「帅地玩编程」,专注于写算法 + 计算机基础知识(计算机网络+ 操作系统+数据库+Linux)。 2、给俺点个赞呗,可以让更多的人看到这篇文章,顺便激励下我,嘻嘻。 原文链接:https://blog.csdn.net/m0_37907797/article/details/104765116

剑曼红尘 2020-03-11 22:24:48 0 浏览量 回答数 0

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    using System;     using System.Collections.Generic;     using System.Linq;     using System.Text;    namespace test{    class QuickSort    {        static void Main(string[] args)        {            int[] array = { 49, 38, 65, 97, 76, 13, 27 };            sort(array, 0, array.Length - 1);            Console.ReadLine();        }        /**一次排序单元,完成此方法,key左边都比key小,key右边都比key大。         **@param array排序数组          **@param low排序起始位置          **@param high排序结束位置         **@return单元排序后的数组 */        private static int sortUnit(int[] array, int low, int high)        {            int key = array[low];            while (low < high)            {                /*从后向前搜索比key小的值*/                while (array[high] >= key && high > low)                    --high;                 /*比key小的放左边*/                array[low] = array[high];                   /*从前向后搜索比key大的值,比key大的放右边*/                while (array[low] <= key && high > low)                    ++low;                 /*比key大的放右边*/                array[high] = array[low];            }            /*左边都比key小,右边都比key大。//将key放在游标当前位置。//此时low等于high */            array[low] = key;            foreach (int i in array)            {                Console.Write({0}\t, i);            }            Console.WriteLine();            return high;        }            /**快速排序 *@paramarry *@return */        public static void sort(int[] array, int low, int high)        {            if (low >= high)                return;             /*完成一次单元排序*/            int index = sortUnit(array, low, high);             /*对左边单元进行排序*/            sort(array, low, index - 1);            /*对右边单元进行排序*/            sort(array, index + 1, high);        }    }} 运行结果:27 38 13 49 76 97 6513 27 38 49 76 97 65  13 27 38 49 65 76 97快速排序就是递归调用此过程——在以49为中点分割这个数据序列,分别对前面一部分和后面一部分进行类似的快速排序,从而完成全部数据序列的快速排序,最后把此数据序列变成一个有序的序列,根据这种思想对于上述数组A的快速排序的全过程如图6所示:初始状态 {49 38 65 97 76 13 27} 进行一次快速排序之后划分为 {27 38 13} 49 {76 97 65} 分别对前后两部分进行快速排序{27 38 13} 经第三步和第四步交换后变成 {13 27 38} 完成排序。{76 97 65} 经第三步和第四步交换后变成 {65 76 97} 完成排序。图示 快速排序的最坏情况基于每次划分对主元的选择。基本的快速排序选取第一个元素作为主元。这样在数组已经有序的情况下,每次划分将得到最坏的结果。一种比较常见的优化方法是随机化算法,即随机选取一个元素作为主元。这种情况下虽然最坏情况仍然是O(n^2),但最坏情况不再依赖于输入数据,而是由于随机函数取值不佳。实际上,随机化快速排序得到理论最坏情况的可能性仅为1/(2^n)。所以随机化快速排序可以对于绝大多数输入数据达到O(nlogn)的期望时间复杂度。一位前辈做出了一个精辟的总结:“随机化快速排序可以满足一个人一辈子的人品需求。”随机化快速排序的唯一缺点在于,一旦输入数据中有很多的相同数据,随机化的效果将直接减弱。对于极限情况,即对于n个相同的数排序,随机化快速排序的时间复杂度将毫无疑问的降低到O(n^2)。解决方法是用一种方法进行扫描,使没有交换的情况下主元保留在原位置。 QUICKSORT(A,p,r)1 if p<r2 then q ←PARTITION(A,p,r)3 QUICKSORT(A,p,q-1)4 QUICKSORT(A,q+1,r)为排序一个完整的数组A,最初的调用是QUICKSORT(A,1,length[A])。快速排序算法的关键是PARTITION过程,它对子数组A[p..r]进行就地重排:PARTITION(A,p,r)1 x←A[r]2 i←p-13 for j←p to r-14 do if A[j]≤x5 then i←i+16 exchange A[i]←→A[j]7 exchange A[i+1]←→A[r]8 return i+1 对PARTITION和QUICKSORT所作的改动比较小。在新的划分过程中,我们在真正进行划分之前实现交换:(其中PARTITION过程同快速排序伪代码(非随机))RANDOMIZED-PARTITION(A,p,r)1 i← RANDOM(p,r)2 exchange A[r]←→A[i]3 return PARTITION(A,p,r)新的快速排序过程不再调用PARTITION,而是调用RANDOMIZED-PARTITION。RANDOMIZED-QUICKSORT(A,p,r)1 if p<r2 then q← RANDOMIZED-PARTITION(A,p,r)3 RANDOMIZED-QUICKSORT(A,p,q-1)4 RANDOMIZED-QUICKSORT(A,q+1,r) 这里为方便起见,我们假设算法Quick_Sort的范围阈值为1(即一直将线性表分解到只剩一个元素),这对该算法复杂性的分析没有本质的影响。我们先分析函数partition的性能,该函数对于确定的输入复杂性是确定的。观察该函数,我们发现,对于有n个元素的确定输入L[p..r],该函数运行时间显然为θ(n)。最坏情况无论适用哪一种方法来选择pivot,由于我们不知道各个元素间的相对大小关系(若知道就已经排好序了),所以我们无法确定pivot的选择对划分造成的影响。因此对各种pivot选择法而言,最坏情况和最好情况都是相同的。我们从直觉上可以判断出最坏情况发生在每次划分过程产生的两个区间分别包含n-1个元素和1个元素的时候(设输入的表有n个元素)。下面我们暂时认为该猜测正确,在后文我们再详细证明该猜测。对于有n个元素的表L[p..r],由于函数Partition的计算时间为θ(n),所以快速排序在序坏情况下的复杂性有递归式如下:T(1)=θ(1),T(n)=T(n-1)+T(1)+θ(n) (1)用迭代法可以解出上式的解为T(n)=θ(n2)。这个最坏情况运行时间与插入排序是一样的。下面我们来证明这种每次划分过程产生的两个区间分别包含n-1个元素和1个元素的情况就是最坏情况。设T(n)是过程Quick_Sort作用于规模为n的输入上的最坏情况的时间,则T(n)=max(T(q)+T(n-q))+θ(n),其中1≤q≤n-1 (2)我们假设对于任何k<n,总有T(k)≤ck,其中c为常数;显然当k=1时是成立的。将归纳假设代入(2),得到:T(n)≤max(cq2+c(n-q)2)+θ(n)=c*max(q2+(n-q)2)+θ(n)因为在[1,n-1]上q2+(n-q)2关于q递减,所以当q=1时q2+(n-q)2有最大值n2-2(n-1)。于是有:T(n)≤cn2-2c(n-1)+θ(n)≤cn2只要c足够大,上面的第二个小于等于号就可以成立。于是对于所有的n都有T(n)≤cn。这样,排序算法的最坏情况运行时间为θ(n2),且最坏情况发生在每次划分过程产生的两个区间分别包含n-1个元素和1个元素的时候。时间复杂度为o(n2)。最好情况如果每次划分过程产生的区间大小都为n/2,则快速排序法运行就快得多了。这时有:T(n)=2T(n/2)+θ(n),T(1)=θ(1) (3)解得:T(n)=θ(nlogn)快速排序法最佳情况下执行过程的递归树如下图所示,图中lgn表示以10为底的对数,而本文中用logn表示以2为底的对数.由于快速排序法也是基于比较的排序法,其运行时间为Ω(nlogn),所以如果每次划分过程产生的区间大小都为n/2,则运行时间θ(nlogn)就是最好情况运行时间。但是,是否一定要每次平均划分才能达到最好情况呢。要理解这一点就必须理解对称性是如何在描述运行时间的递归式中反映的。我们假设每次划分过程都产生9:1的划分,乍一看该划分很不对称。我们可以得到递归式:T(n)=T(n/10)+T(9n/10)+θ(n),T(1)=θ(1) (4)请注意树的每一层都有代价n,直到在深度log10n=θ(logn)处达到边界条件,以后各层代价至多为n。递归于深度log10/9n=θ(logn)处结束。这样,快速排序的总时间代价为T(n)=θ(nlogn),从渐进意义上看就和划分是在中间进行的一样。事实上,即使是99:1的划分时间代价也为θ(nlogn)。其原因在于,任何一种按常数比例进行划分所产生的递归树的深度都为θ(nlogn),其中每一层的代价为O(n),因而不管常数比例是什么,总的运行时间都为θ(nlogn),只不过其中隐含的常数因子有所不同。(关于算法复杂性的渐进阶,请参阅算法的复杂性)平均情况快速排序的平均运行时间为θ(nlogn)。我们对平均情况下的性能作直觉上的分析。要想对快速排序的平均情况有个较为清楚的概念,我们就要对遇到的各种输入作个假设。通常都假设输入数据的所有排列都是等可能的。后文中我们要讨论这个假设。当我们对一个随机的输入数组应用快速排序时,要想在每一层上都有同样的划分是不太可能的。我们所能期望的是某些划分较对称,另一些则很不对称。事实上,我们可以证明,如果选择L[p..r]的第一个元素作为支点元素,Partition所产生的划分80%以上都比9:1更对称,而另20%则比9:1差,这里证明从略。平均情况下,Partition产生的划分中既有“好的”,又有“差的”。这时,与Partition执行过程对应的递归树中,好、差划分是随机地分布在树的各层上的。为与我们的直觉相一致,假设好、差划分交替出现在树的各层上,且好的划分是最佳情况划分,而差的划分是最坏情况下的划分。在根节点处,划分的代价为n,划分出来的两个子表的大小为n-1和1,即最坏情况。在根的下一层,大小为n-1的子表按最佳情况划分成大小各为(n-1)/2的两个子表。这儿我们假设含1个元素的子表的边界条件代价为1。在一个差的划分后接一个好的划分后,产生出三个子表,大小各为1,(n-1)/2和(n-1)/2,代价共为2n-1=θ(n)。一层划分就产生出大小为(n-1)/2+1和(n-1)/2的两个子表,代价为n=θ(n)。这种划分差不多是完全对称的,比9:1的划分要好。从直觉上看,差的划分的代价θ(n)可被吸收到好的划分的代价θ(n)中去,结果是一个好的划分。这样,当好、差划分交替分布划分都是好的一样:仍是θ(nlogn),但θ记号中隐含的常数因子要略大一些。关于平均情况的严格分析将在后文给出。在前文从直觉上探讨快速排序的平均性态过程中,我们已假定输入数据的所有排列都是等可能的。如果输入的分布满足这个假设时,快速排序是对足够大的输入的理想选择。但在实际应用中,这个假设就不会总是成立。解决的方法是,利用随机化策略,能够克服分布的等可能性假设所带来的问题。一种随机化策略是:与对输入的分布作“假设”不同的是对输入的分布作“规定”。具体地说,在排序输入的线性表前,对其元素加以随机排列,以强制的方法使每种排列满足等可能性。事实上,我们可以找到一个能在O(n)时间内对含n个元素的数组加以随机排列的算法。这种修改不改变算法的最坏情况运行时间,但它却使得运行时间能够独立于输入数据已排序的情况。另一种随机化策略是:利用前文介绍的选择支点元素pivot的第四种方法,即随机地在L[p..r]中选择一个元素作为支点元素pivot。实际应用中通常采用这种方法。快速排序的随机化版本有一个和其他随机化算法一样的有趣性质:没有一个特别的输入会导致最坏情况性态。这种算法的最坏情况性态是由随机数产生器决定的。你即使有意给出一个坏的输入也没用,因为随机化排列会使得输入数据的次序对算法不产生影响。只有在随机数产生器给出了一个很不巧的排列时,随机化算法的最坏情况性态才会出现。事实上可以证明几乎所有的排列都可使快速排序接近平均情况性态,只有非常少的几个排列才会导致算法的近最坏情况性态。一般来说,当一个算法可按多条路子做下去,但又很难决定哪一条保证是好的选择时,随机化策略是很有用的。如果大部分选择都是好的,则随机地选一个就行了。通常,一个算法在其执行过程中要做很多选择。如果一个好的选择的获益大于坏的选择的代价,那么随机地做一个选择就能得到一个很有效的算法。我们在前文已经了解到,对快速排序来说,一组好坏相杂的划分仍能产生很好的运行时间 。因此我们可以认为该算法的随机化版本也能具有较好的性态。

liujae 2019-12-02 01:18:45 0 浏览量 回答数 0

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大数据是指无法在一定时间内用常规软件工具对其内容进行抓取、管理和处理的数据集合。大数据技术,是指从各种各样类型的数据中,快速获得有价值信息的能力。适用于大数据的技术,包括大规模并行处理(MPP)数据库,数据挖掘电网,分布式文件系统,分布式数据库,云计算平台,互联网,和可扩展的存储系统。   大数据有四个基本特征:一、数据体量巨大(Vomule),二、数据类型多样(Variety),三、处理速度快(Velocity),四、价值密度低(Value)。   在大数据的领域现在已经出现了非常多的新技术,这些新技术将会是大数据收集、存储、处理和呈现最强有力的工具。大数据处理一般有以下几种关键性技术:大数据采集、大数据预处理、大数据存储及管理、大数据分析及挖掘、大数据展现和应用(大数据检索、大数据可视化、大数据应用、大数据安全等)。   大数据处理之一:采集。大数据的采集是指利用多个数据库来接收发自客户端(Web、App或者传感器形式等)的数据,并且用户可以通过这些数据库来进行简单的查询和处理工作。比如,电商会使用传统的关系型数据库MySQL和Oracle等来存储每一笔事务数据,除此之外,Redis和MongoDB这样的NoSQL数据库也常用于数据的采集。   在大数据的采集过程中,其主要特点和挑战是并发数高,因为同时有可能会有成千上万的用户来进行访问和操作,比如火车票售票网站和淘宝,它们并发的访问量在峰值时达到上百万,所以需要在采集端部署大量数据库才能支撑。并且如何在这些数据库之间进行负载均衡和分片的确是需要深入的思考和设计。   大数据处理之二:导入和预处理。虽然采集端本身会有很多数据库,但是如果要对这些海量数据进行有效的分析,还是应该将这些来自前端的数据导入到一个集中的大型分布式数据库,或者分布式存储集群,并且可以在导入基础上做一些简单的清洗和预处理工作。也有一些用户会在导入时使用来自Twitter的Storm来对数据进行流式计算,来满足部分业务的实时计算需求。   导入与预处理过程的特点和挑战主要是导入的数据量大,每秒钟的导入量经常会达到百兆,甚至千兆级别。   大数据处理之三:统计和分析。统计与分析主要利用分布式数据库,或者分布式计算集群来对存储于其内的海量数据进行普通的分析和分类汇总等,以满足大多数常见的分析需求,在这方面,一些实时性需求会用到EMC的GreenPlum、Oracle的Exadata,以及基于MySQL的列式存储Infobright等,而一些批处理,或者基于半结构化数据的需求可以使用Hadoop。   统计与分析这部分的主要特点和挑战是分析涉及的数据量大,其对系统资源,特别是I/O会有极大的占用。   大数据处理之四:挖掘。与前面统计和分析过程不同的是,数据挖掘一般没有什么预先设定好的主题,主要是在现有数据上面进行基于各种算法的计算,从而起到预测(Predict)的效果,从而实现一些高级别数据分析的需求。比较典型算法有用于聚类的Kmeans、用于统计学习的SVM和用于分类的NaiveBayes,主要使用的工具有Hadoop的Mahout等。该过程的特点和挑战主要是用于挖掘的算法很复杂,并且计算涉及的数据量和计算量都很大,常用数据挖掘算法都以单线程为主。   整个大数据处理的普遍流程至少应该满足这四个方面的步骤,才能算得上是一个比较完整的大数据处理。   大数据的处理方式大致分为数据流处理方式和批量数据处理方式两种。数据流处理的方式适合用于对实时性要求比较高的场合中。并不需要等待所有的数据都有了之后再进行处理,而是有一点数据就处理一点,更多地要求机器的处理器有较快速的性能以及拥有比较大的主存储器容量,对辅助存储器的要求反而不高。批量数据处理方式是对整个要处理的数据进行切割划分成小的数据块,之后对其进行处理。重点在于把大化小——把划分的小块数据形成小任务,分别单独进行处理,并且形成小任务的过程中不是进行数据传输之后计算,而是将计算方法(通常是计算函数——映射并简化)作用到这些数据块最终得到结果。   当前,对大数据的处理分析正成为新一代信息技术融合应用的节点。移动互联网、物联网、社交网络、数字家庭、电子商务等是新一代信息技术的应用形态,这些应用不断产生大数据。通过对不同来源数据的管理、处理、分析与优化,将结果反馈到上述应用中,将创造出巨大的经济和社会价值。大数据也是信息产业持续高速增长的新引擎。面对大数据市场的新技术、新产品、新业态会不断涌现。在硬件与集成设备领域,大数据将对芯片、存储产业产生重要影响,还将催生一体化数据存储处理服务器、内存计算等市场。在软件与服务领域,大数据将引发数据快速处理分析、数据挖掘技术和软件产品的发展。大数据利用将成为提高核心竞争力的关键因素。各行各业的决策正在从“业务驱动”转变为“数据驱动”。对大数据的分析可以使零售商实时掌握市场动态并迅速做出应对;可以为商家制定更加精准有效的营销策略提供决策支持;可以帮助企业为消费者提供更加及时和个性化的服务;在医疗领域,可提高诊断准确性和药物有效性;在公共事业领域,大数据也开始发挥促进经济发展、维护社会稳定等方面的重要作用。大数据时代科学研究的方法手段将发生重大改变。例如,抽样调查是社会科学的基本研究方法。在大数据时代,可通过实时监测,跟踪研究对象在互联网上产生的海量行为数据,进行挖掘分析,揭示出规律性的东西,提出研究结论和对策。   目前大数据在医疗卫生领域有广为所知的应用,公共卫生部门可以通过覆盖全国的患者电子病历数据库进行全面疫情监测。5千万条美国人最频繁检索的词条被用来对冬季流感进行更及时准确的预测。学术界整合出2003年H5N1禽流感感染风险地图,研究发行此次H7N9人类病例区域。社交网络为许多慢性病患者提供了临床症状交流和诊治经验分享平台,医生借此可获得院外临床效果统计数据。基于对人体基因的大数据分析,可以实现对症下药的个性化治疗。   在医药研发方面,大数据的战略意义在于对各方面医疗卫生数据进行专业化处理,对患者甚至大众的行为和情绪的细节化测量成为可能,挖掘其症状特点、行为习惯和喜好等,找到更符合其特点或症状的药品和服务,并针对性的调整和优化。在医药研究开发部门或公司的新药研发阶段,能够通过大数据技术分析来自互联网上的公众疾病药品需求趋势,确定更为有效率的投入产品比,合理配置有限研发资源。除研发成本外,医药公司能够优化物流信息平台及管理,更快地获取回报,一般新药从研发到推向市场的时间大约为13年,使用数据分析预测则能帮助医药研发部门或企业提早将新药推向市场。   在疾病诊治方面,可通过健康云平台对每个居民进行智能采集健康数据,居民可以随时查阅,了解自身健康程度。同时,提供专业的在线专家咨询系统,由专家对居民健康程度做出诊断,提醒可能发生的健康问题,避免高危病人转为慢性病患者,避免慢性病患者病情恶化,减轻个人和医保负担,实现疾病科学管理。对于医疗卫生机构,通过对远程监控系统产生数据的分析,医院可以减少病人住院时间,减少急诊量,实现提高家庭护理比例和门诊医生预约量的目标。武汉协和医院目前也已经与市区八家社区卫生服务中心建立远程遥控联系,并将在未来提供“从医院到家”的服务。在医疗卫生机构,通过实时处理管理系统产生的数据,连同历史数据,利用大数据技术分析就诊资源的使用情况,实现机构科学管理,提高医疗卫生服务水平和效率,引导医疗卫生资源科学规划和配置。大数据还能提升医疗价值,形成个性化医疗,比如基于基因科学的医疗模式。   在公共卫生管理方面,大数据可以连续整合和分析公共卫生数据,提高疾病预报和预警能力,防止疫情爆发。公共卫生部门则可以通过覆盖区域的卫生综合管理信息平台和居民信息数据库,快速监测传染病,进行全面疫情监测,并通过集成疾病监测和响应程序,进行快速响应,这些都将减少医疗索赔支出、降低传染病感染率。通过提供准确和及时的公众健康咨询,将会大幅提高公众健康风险意识,同时也将降低传染病感染风险。   在居民健康管理方面,居民电子健康档案是大数据在居民健康管理方面的重要数据基础,大数据技术可以促进个体化健康事务管理服务,改变现代营养学和信息化管理技术的模式,更全面深入地从社会、心理、环境、营养、运动的角度来对每个人进行全面的健康保障服务,帮助、指导人们成功有效地维护自身健康。另外,大数据可以对患者健康信息集成整合,在线远程为诊断和治疗提供更好的数据证据,通过挖掘数据对居民健康进行智能化监测,通过移动设备定位数据对居民健康影响因素进行分析等等,进一步提升居民健康管理水平。   在健康危险因素分析方面,互联网、物联网、医疗卫生信息系统及相关信息系统等普遍使用,可以系统全面地收集健康危险因素数据,包括环境因素(利用GIS系统采集大气、土壤、水文等数据),生物因素(包括致病性微生物、细菌、病毒、真菌等的监测数据),经济社会因素(分析经济收入、营养条件、人口迁徙、城镇化、教育就业等因素数据),个人行为和心理因素,医疗卫生服务因素,以及人类生物遗传因素等,利用大数据技术对健康危险因素进行比对关联分析,针对不同区域、人群进行评估和遴选健康相关危险因素及制作健康监测评估图谱和知识库也成为可能,提出居民健康干预的有限领域和有针对性的干预计划,促进居民健康水平的提高。 答案来源于网络

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