【24. 堆排序及模拟堆】

堆排序

堆性质：

• 堆是一个完全二叉树
• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值
• 堆的每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点，称为小根堆
• 堆的每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点，称为大根堆

下面分别介绍完全二叉树、小根堆、大根堆

完全二叉树：

• 只允许最后一层有空缺而且空缺只能是右边，而不能是左边
• 完全二叉树通常采用数组来存储

小根堆

• 每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点
• 根节点是最小值

大根堆

• 每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点
• 根节点是最大值

存储方式

• 一般用数组存储比较方便

用上面小根堆举例子：

手写一个堆

思路

1. 插入一个数: heap[ size] = x; size ++；up(size);（在末尾插入，插入之后堆的大小加1，并且通过up函数上升到相应位置）
2. 求集合当中的最小值： heap[1]; (对于小根堆来说，根节点就是最小值)
3. 删除最小值：heap[1] = heap[size]; size --;down(1);(删除最小值不能直接删除，不然根节点就为空，所以先和最后一个元素交换，在将最后一个元素删除，最后down到相应的位置)，在数组中删除最后一个元素，比删除第一个元素简单。
4. 删除任意一个元素：heap[k] = heap[size]; size --; down(k); up(k); (思路和删除最小值一样)
5. 修改任意一个元素： heap[k] = x; down(k); up(k);

题目 ：堆排序

输入一个长度为 n 的整数数列，从小到大输出前 m 小的数。

输入格式

第一行包含整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

输出格式

共一行，包含 m 个整数，表示整数数列中前 m 小的数。

数据范围

1 ≤ m ≤ n ≤ 10₅
1 ≤ 数列中元素 ≤ 10₉

输入样例：

5 3
4 5 1 3 2

输出样例：

1 2 3

代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int n, m;
int heap[N];      //size存的是数组元素的个数，heap存储数组元素
int sizes;

void down(int u)
{
    int t = u;          //down的时候需要找到三个当中最小的那个，所以先假设u是最小的
    if (u * 2 <= sizes && heap[u * 2] < heap[t]) t = u * 2;    //首先判断左节点有没有，有的话在判断左节点和根的大小
    if (u * 2 + 1 <= sizes && heap[u * 2 + 1] < heap[t]) t = u * 2 + 1;
    
    if (u != t)              //此时t是最小的那个值，u != t说明根节点不是最小的
    {
        swap(heap[t], heap[u]);    //u和t不相等就进行交换。
        down(t);             //继续迭代，一直到堆根为止
    }
}

void up (int u)
{
   int t = u;
   while (u / 2 && heap[u / 2] > heap[u])
   {
       t = u / 2;
       swap(heap[t], heap[u]);
       up(t);
      
   }
}

void up2 (int u)
{
   
   while (u / 2 && heap[u / 2] > heap[u])
   {
       
       swap(heap[u / 2], heap[u]);
       u /= 2;
      
      
   }
    
}
int main()
{
    
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &heap[i]);
    sizes = n;
    
    //for (int i = n / 2; i; i --) down(i); //建立堆,俩个建堆都可以,时间复杂度O(n)
    //for (int i = n; i ; i --) down(i);      //时间复杂度是O(nlogn)
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) up(i);     //这三种方法都可以建堆
    
    while (m --)
    {
        printf("%d ", heap[1]);
        heap[1] = heap[sizes];
        sizes --;
        down(1);
    }
    return 0;
}

题目： 模拟堆

维护一个集合，初始时集合为空，支持如下几种操作：

1. I x，插入一个数 x；
2. PM，输出当前集合中的最小值；
3. DM，删除当前集合中的最小值（数据保证此时的最小值唯一）；
4. D k，删除第 k 个插入的数；
5. C k x，修改第 k 个插入的数，将其变为 x；

现在要进行 N 次操作，对于所有第 2 个操作，输出当前集合的最小值。

输入格式

第一行包含整数 N。

接下来 N 行，每行包含一个操作指令，操作指令为 I x，PM，DM，D k 或 C k x 中的一种。

输出格式

对于每个输出指令 PM，输出一个结果，表示当前集合中的最小值。

每个结果占一行。

数据范围

1 ≤ N ≤ 10₅
−10₉ ≤ x ≤ 10₉
数据保证合法。

输入样例：

8
I -10
PM
I -10
D 1
C 2 8
I 6
PM
DM

输出样例：

-10
6

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
using namespace std;

const int N = 100010;

int heap[N];      //size存的是数组元素的个数，heap存储数组元素
int sizes;
int ph[N],hp[N];  //ph存储第k个插入元素的下标是什么，hp存储的是堆里面的某个点，是第几个插入点，这俩个互为反函数
//只有知道第k个点在哪里再能进行插入和删除。

//这个交换过程其实有那么些绕 但关键是理解 如果hp[u]=k 则ph[k]=u 的映射关系
//之所以要进行这样的操作是因为 经过一系列操作 堆中的元素并不会保持原有的插入顺序
//从而我们需要对应到原先第K个堆中元素
//如果理解这个原理 那么就能明白其实三步交换的顺序是可以互换 
//h,hp,ph之间两两存在映射关系 所以交换顺序的不同对结果并不会产生影响

void heap_swap(int a, int b)
{
    swap(ph[hp[a]], ph[hp[b]]);
    swap(hp[a], hp[b]);
    swap(heap[a], heap[b]);
}

void down(int u)
{
    int t = u;          //down的时候需要找到三个当中最小的那个，所以先假设u是最小的
    if (u * 2 <= sizes && heap[u * 2] < heap[t]) t = u * 2;    //首先判断左节点有没有，有的话在判断左节点和根的大小
    if (u * 2 + 1 <= sizes && heap[u * 2 + 1] < heap[t]) t = u * 2 + 1;
    
    if (u != t)              //此时t是最小的那个值，u != t说明根节点不是最小的
    {
        heap_swap(u, t);    //u和t不相等就进行交换。
        down(t);             //继续迭代，一直到堆根为止
    }
}

void up (int u)
{
   int t = u;
   while (u / 2 && heap[u / 2] > heap[u])
   {
       t = u / 2;
       heap_swap(u, t);
       up(t);
      
   }
}



int main()
{
    int n, m = 0;    //m表示当前是第几个插入的数
    
                    //注意m的意义与cur_size是不同的 cur_size是记录堆中当前数据的多少
                    //对应上文 m即是hp中应该存的值
    scanf("%d%d", &n, &m);
    while (n --)
    {
        char op[10];
        int k, x;
        scanf("%s", op);
        if (!strcmp(op, "I"))
        {
            scanf("%d", &x);
            sizes ++;
            m ++;
            ph[m] = sizes, hp[sizes] = m;
            heap[sizes] = x;
            up(sizes);
        }
        else if (!strcmp(op, "PM")) printf("%d\n", heap[1]);
        else if (!strcmp(op, "DM"))
        {
           
            heap_swap(1, sizes);
            sizes --;
            down(1);
        }
        else if (!strcmp(op, "D"))
        {
            scanf("%d", &k);
            k = ph[k];    //找到第K个数的下标是什么
            heap_swap(k, sizes);
            sizes --;
            down(k), up(k);
        }
        else
        {
            scanf("%d%d", &k, &x);
            k = ph[k];
            heap[k] = x;
            down(k), up(k);
        }
    }
    return 0;
    
   
}