本节书摘来异步社区《概率编程实战》一书中的第2章，第2.3节，作者：【美】Avi Pfeffer（艾维·费弗），更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看。
2.3 使用基本构件：原子元素
现在正是积累Figaro元素知识的时机。我将首先介绍模型的基本构件——原子元素。原子这一名称意味着，它们不依赖于任何其他元素，完全是独立的。在此我不提供完整的原子元素列表，只介绍最常见的例子。
原子元素根据值的类型分为离散元素和连续元素。离散原子元素取Boolean和Integer等类型的值，而连续原子元素通常使用Double类型的值。从技术上说，离散意味着值之间有很清晰的分隔。例如，整数1和2有很清晰的分隔，其中没有任何整数。而连续意味着值处于一个没有分隔的连续域中，如实数。在任何两个实数之间都有更多的实数。离散和连续元素之间的差异造成了概率定义的差异，第4章中将做介绍。
有些人认为离散就意味着有限。这是错误的。例如，整数有无穷多个，但是它们是清晰分隔的，所以是离散值。
关键定义
原子元素——不依赖于任何其他元素的独立元素。
复合元素——由其他元素构成的元素。
离散元素——值类型清晰分隔的元素。
连续元素——值类型没有分隔的元素。
2.3.1 离散原子元素
让我们来看一些离散原子元素的例子：Flip、Select和Binomial。
Flip
您已经看到了离散原子元素Flip。Flip包含在com.cra.figaro.language包中，该包中有许多最常用的元素。我建议始终在程序开始处导入该包的所有内容。一般来说，Flip取一个参数p，表示元素值为真的概率。p应该是0和1(包含)之间的数值。该元素值为假的概率是1-p。例如：
import com.cra.figaro.language._
val sunnyToday = Flip(0.2)
println(VariableElimination.probability(sunnyToday, true))
// prints 0.2
println(VariableElimination.probability(sunnyToday, false))
// prints 0.8```
Flip(0.2)的正式类型是AtomicFlip，是Element[Boolean]的子类。这使其区别于后面将会看到的CompoundFlip。
Select
您已经在Hello World程序中看到了Select元素。下面是一个例子：``Select(0.6 -> "Hello, world!", 0.3 -> "Howdy, universe!", 0.1 -> "Oh no, not again")``。图2-5展示了这个元素的构成。在圆括号中是一些子句。每个子句由一个概率、一个右箭头和一个可能结果组成。子句的数量是可变的，您可以使用任意个子句。图中有3个子句。因为所有结果的类型都是String，所以这个元素是Element[String]。同样，其正式类型是AtomicSelect[String]——Element[String]的子类。
<div style="text-align: center"><img src="https://yqfile.alicdn.com/ec5c7ba92444922cb4fcc84437b693b8d8d9276f.png" width="" height="">
</div>
很自然，Select元素对应于一个过程，其中每个可能的结果按照对应的概率而选择。下面是其工作方式：val greeting = Select(0.6 -> "Hello, world!", 0.3 -> "Howdy, universe!", 0.1
-> "Oh no, not again")println(VariableElimination.probability(greeting, "Howdy, universe!"))
// prints 0.30000000000000004`
注意，在Select中，概率累加起来不一定等于1。如果它们加起来不等于1，概率将被规格化——加起来等于1，同时保持概率之间的比例。在下面的例子中，每个概率都等于前一个例子中的两倍，因此加总起来等于2。规格化之后恢复成前一个例子中的概率，因此得到相同的结果。
val greeting = Select(1.2 -> "Hello, world!", 0.6 -> "Howdy, universe!", 0.2
-> "Oh no, not again")
println(VariableElimination.probability(greeting, "Howdy, universe!"))
//prints 0.30000000000000004
BinomialBinomial是一个有用的离散元素。想象一下一周有7天，每天都有一个“晴天”元素Flip（0.2）。现在您想要一个元素，其值为一周中放晴的天数。这可以用元素Binomial(7, 0.2)实现。这个元素的值是总共尝试7次，每次尝试为true的概率为0.2的情况下，尝试结果为true的次数。可以这样使用它：
import com.cra.figaro.library.atomic.discrete.Binomial
val numSunnyDaysInWeek = Binomial(7, 0.2)
println(VariableElimination.probability(numSunnyDaysInWeek, 3))
//prints 0.114688```
一般来说，Binomial取两个参数：尝试次数和每次尝试得出结果true的概率。Binomial的定义假定所有尝试是独立的，第一次尝试为真不会改变第二次尝试得出true的概率。
####2.3.2 连续原子元素
本节介绍两个连续原子元素的常见例子——Normal和Uniform。第4章详细说明连续元素。连续概率分布与离散分布略有不同，指定的不是每个值的概率，而是每个值的概率密度，概率密度描述的是以该值为中心的每个区间的概率。您仍然可以将概率密度视为和常规概率类似的概念，表明某个值与其他值可能性的对比。因为本章是Figaro的教程，第4章解释概率模型，我将把进一步的讨论推迟到那个时候。请放心，在后面这一点将会更加清晰。
Normal
正态分布是您可能熟悉的一种连续概率分布。正态分布还有其他一些名称，包括钟形曲线和高斯分布。图2-6展示了正态分布的概率密度函数。（如果非要吹毛求疵，可能称之为“单变量正态分布”更为合适，因为它定义了单一实数变量上的概率，您还可以在多个变量上定义多变量正态分布，但是我们不是那样的人，所以就称之为正态分布。）这个函数有一个均值——中心点（图中为1），以及一个标准差——函数沿中心点分布的程度（图中为0.5）。大约有68%的情况下，从正态分布生成一个值将得到与均值相差一个标准差的区间内的值。在统计和概率推理中，正态分布通常用均值和方差描述，后者是标准差的平方。图中的标准差为0.5，方差为0.25。因此，这个特定正态分布的标准规格描述是Normal（1,0.25）。
<div style="text-align: center"><img src="https://yqfile.alicdn.com/7e5ee13662e52db255b83705526d485da1ac985e.png" width="" height="">
</div>
Figaro遵循上述约定。它提供一个Normal元素，以均值和方差作为参数。可以这样定义Normal元素：import com.cra.figaro.library.atomic.continuous.Normal
val temperature = Normal(40, 100)`
均值为40，方差为100，意味着标准差为10。现在，假定您想要用这一元素进行推理。Figaro的变量消除算法只适用于可能取值个数有限的元素。特别是，它不能用于连续元素。所以，需要一个不同的算法。您将使用称作重要性抽样的算法，这是一种很适合于连续元素的近似算法。算法的运行方法如下：
import com.cra.figaro.algorithm.sampling.Importance
def greaterThan50(d: Double) = d > 50
println(Importance.probability(temperature, greaterThan50 _))```
重要性抽样是一种每次产生不同答案的随机算法，这些答案通常应该在真值的附近。您得到的答案应该与0.1567接近，但是很有可能得到稍有不同的答案。
注意，这里的查询和之前略有不同。对于连续元素，取特定值（如50）的概率通常为0。原因是，连续元素中有无穷多个没有分隔的值。该过程得出50而非50.000000000000001或者之间其他值的可能性无限小。所以，通常不要向连续元素发出特定值概率的查询。
相反，您可以查询该值落入某个区间的概率。例子中的查询是预测greaterThan50，这个预测以双精度（Double）类型值作为参数，如果参数大于50则返回true。预测是一个元素值的布尔函数。当您查询某个元素是否满足预测时，询问的是将预测应用到某个元素值返回true的概率。在这个例子中，您的查询计算温度高于50的概率。
Scala注释：
greaterThan50之后的下划线告诉Scala，greaterThan50是一个传递给Importance. probability方法的函数值。如果没有这个下划线，Scala可能认为您试图将该函数应用到0参数上，从而出错。有时候，Scala可能自动理解这一点而无需明确地提供下划线。但有时候它无法做到，而会告诉您提供下划线。
Uniform
我们再来介绍一个同样熟悉的连续元素例子。Uniform元素取指定区间中的值，区间中的每个值可能性相同。您可以这样创建和使用Uniform元素：import com.cra.figaro.library.atomic.continuous.Uniform
val temperature = Uniform(10, 70)
Importance.probability(temperature, greaterThan50 _)
// prints something like 0.3334`
Uniform元素取两个参数：最小值和最大值。从最小值到最大值的所有值概率密度相同。在前一个例子中，最小值为10，最大值为70，所以范围的大小为60。您的查询预测是该值是否在50～70——区间大小为20。所以，预测的概率为20/60或者1/3，可以看到，重要性抽样得到的结果与此接近。
最后说明一下：这个元素的官方名称是连续均匀分布（continuous uniform）。在com.cra.figaro.library.atomic.discrete包中还可以找到离散均匀分布。正如您的预期，离散均匀分布明确列出一组值，其中的每个值出现可能性相同。
好了，现在您已经了解了构件，下面我们来看看如何组合它们，创建更大的模型。
