每日算法系列【LeetCode 312】戳气球

题目描述

有 n 个气球，编号为0 到 n-1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。每当你戳破一个气球 i 时，你可以获得 nums[left] * nums[i] * nums[right] 个硬币。 这里的 left 和 right 代表和 i 相邻的两个气球的序号。注意当你戳破了气球 i 后，气球 left 和气球 right 就变成了相邻的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

示例1

输入：
[3,1,5,8]
输出：
167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] -->   [3,8]   -->  [8]  --> []coins =  3*1*5      +  3*5*8    +  1*3*8      + 1*8*1   = 167

提示

• 你可以假设 nums[-1] = nums[n] = 1，但注意它们不是真实存在的所以并不能被戳破。
• 0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100

题解

dfs+记忆化搜索

对于区间 [l, r] ，我们考虑最后一个被戳破的气球 k ，那么之前的步骤我们可以分为两步，也就是求 [l, k-1] 和 [k+1, r] 之间的最大分数。

那么为什么不考虑先戳破 k 呢？因为这样的话 [l, k-1] 和 [k+1, r] 就会连接在一起，两个子状态就不能独立计算了，互相会产生影响。

两个子区间的最大的分算完之后，最后 k 的得分就是 nums[l-1] * nums[k] * nums[r+1] ，取使得总得分最高的 k 就行了。

有一个小技巧就是，提示里也说了，就是刚开始的时候在首尾各添加一个分数为 1 的虚拟气球。

但是直接这样递归会超时，因为有很多的子状态都重复计算了，所以可以用一个全局的数组保存每个状态的分数。初始化为 -1 ，如果某个状态计算过了，就直接返回它的值就行了，不然就递归计算。

动态规划

上面的方法是自顶向下的，其实也可以转化成自底向上的，也就是从小的区间开始算起，最后算最大的，这就是动态规划的方法，具体的实现细节和上面是一模一样的。

代码

dfs+记忆化搜索（c++）

classSolution {
public: 
staticconstintN=510;
intdp[N][N];
intmaxCoins(vector<int>&nums) {
intn=nums.size(); 
nums.insert(nums.begin(), 1);
nums.push_back(1);
memset(dp, -1, sizeofdp);
intres=dfs(1, n, nums);
returnres;    }
intdfs(intl, intr, vector<int>&nums) {
if (dp[l][r] !=-1) returndp[l][r];
if (l>r) return0; 
intres=0;
for (intk=l; k<=r; ++k) {
res=max(res, nums[l-1]*nums[k]*nums[r+1]+dfs(l, k-1, nums)+dfs(k+1, r, nums)
                     );
        }
returndp[l][r] =res;
    }
};

动态规划（c++）

• dfs+记忆化搜索（python）

classSolution:
defmaxCoins(self, nums: List[int]) ->int:
n=len(nums) 
nums= [1] +nums+ [1]
self.dp= [[-1]*(n+2) for_inrange(n+2)] 
res=self.dfs(1, n, nums)
returnresdefdfs(self, l, r, nums):
ifself.dp[l][r] !=-1:
returnself.dp[l][r]
ifl>r:
return0res=0forkinrange(l, r+1):
res=max(res, nums[l-1]*nums[k]*nums[r+1]+self.dfs(l, k-1, nums)+self.dfs(k+1, r, nums)
         ) 
self.dp[l][r] =resreturnres

动态规划（python）

classSolution:
defmaxCoins(self, nums: List[int]) ->int:
n=len(nums) 
nums= [1] +nums+ [1]
dp= [[0]*(n+2) for_inrange(n+2)]
forlinrange(1, n+1):
foriinrange(1, n-l+2): 
j=i+l-1forkinrange(i, j+1):
nums[i1]*nums[k]*nums[j+1] +dp[i][k-1] +dp[k+1][j])returndp[1][n]

作者简介：godweiyang，知乎同名，华东师范大学计算机系硕士在读，方向自然语言处理与深度学习。喜欢与人分享技术与知识，期待与你的进一步交流~