前言

本期开始之前，小编想问大家一个问题：对于一场数学考试，分数高的应试者一定比分数低的应试者能力高吗？答案显然是否定的。那如何通过一场测试来衡量一个人在某方面的能力呢？当然是项目反应理论(item response theory, IRT)！^[1]

IRT 简介

IRT 理论引入了试题 (item) 的难度、区分度、猜测参数等来对应试者的实际能力进行参数估计，并建立相关的概率模型求解。

通俗来说，传统的测试理论表明正确率就是知识点掌握程度，而 IRT 是通过正确率来推测知识点掌握程度。例如，有两个应试者 A 与 B 考试，假如在没有猜题的情况下，A 和 B 得到了相同的分数，那么传统测验理论就会认为二者能力相同，但事实上， A 比 B 做出的题目要难很多，故在 IRT 下， A 比 B 的能力要高。

模型简介

项目特征曲线

IRT 理论的其它构建都依赖于项目特征曲线 (item characteristic curve, ICC), 该曲线反映了答对题目的概率与应试者能力大小的关系，曲线通常会由于所引用 item 参数不同而不同。一个 item 的 ICC 曲线图如 fig1 所示。

fig1: Item Characteristic Curve

上图所示是一个近乎理想的例子，当  值为 0 时，答对题目的概率为 0.5，当  值为 -5 时，答对概率几乎为 0，当  值为 +5 时，答对概率几乎为 1。

1P model

一参数模型中只引入了难度参数，又称 B 参数或阈值参数，该参数值衡量了一个 item 的难度。

fig2 是该模型下的项目特征曲线，图中一个明显特征就是任意两条 ICC 曲线互不相交。

fig2: 1P model的项目特征曲线

2P model

二参数模型是在一参数模型的基础上，加入了区分度参数，又称 A 参数，该参数衡量了 item 区分高低能力应试者的程度。

fig3：2P model的项目特征曲线

fig3 是二参数模型的项目特征曲线，图中曲线有明显的交叉，实际上，区分度参数影响了 ICC 的斜率。

3P model

三参数模型是在二参数模型上又加入了猜测参数，又称 C 参数，该参数值告诉我们应试者仅通过猜测答对题目的概率有多大。

fig4：3P model的项目特征曲线

在 fig4 中，大多数 ICC 在 y 轴上有较高的起点，数学上称之为截距，这表示应试者在毫不知情的情况下仍有一定的概率答对该题目。

应用过程简介

IRT 的一个特点就是利用模型去拟合数据，其中问卷所得的答案数据通常为 binary 或者 ordinal 形式。实际操作过程中，我们应根据所得数据形式和 item 特点建立合适的模型，设定合理的先验，最后进行参数估计，所得结果可用于评价 item 本身是否合理、学生个人能力大小的衡量等。随着 IRT 的发展，可应用于其参数估计的算法和 R 包越来越多，例如有 EM 算法、 MH-RM 算法、mirt 包等。