动手学深度学习(七) 梯度下降（上）

2022-05-20 125

版权

本文内容由阿里云实名注册用户自发贡献，版权归原作者所有，阿里云开发者社区不拥有其著作权，亦不承担相应法律责任。具体规则请查看《阿里云开发者社区用户服务协议》和《阿里云开发者社区知识产权保护指引》。如果您发现本社区中有涉嫌抄袭的内容，填写侵权投诉表单进行举报，一经查实，本社区将立刻删除涉嫌侵权内容。

简介： 动手学深度学习(七) 梯度下降（上）

梯度下降

（Boyd & Vandenberghe, 2004）

%matplotlib inline
import numpy as np
import torch
import time
from torch import nn, optim
import math
import sys
sys.path.append('/home/kesci/input')
import d2lzh1981 as d2l

一维梯度下降

证明：沿梯度反方向移动自变量可以减小函数值

泰勒展开：

代入沿梯度方向的移动量：

e.g.

def f(x):
    return x**2  # Objective function
def gradf(x):
    return 2 * x  # Its derivative
def gd(eta):
    x = 10
    results = [x]
    for i in range(10):
        x -= eta * gradf(x)
        results.append(x)
    print('epoch 10, x:', x)
    return results
res = gd(0.2)

epoch 10, x: 0.06046617599999997

def show_trace(res):
    n = max(abs(min(res)), abs(max(res)))
    f_line = np.arange(-n, n, 0.01)
    d2l.set_figsize((3.5, 2.5))
    d2l.plt.plot(f_line, [f(x) for x in f_line],'-')
    d2l.plt.plot(res, [f(x) for x in res],'-o')
    d2l.plt.xlabel('x')
    d2l.plt.ylabel('f(x)')
show_trace(res)

学习率

show_trace(gd(0.05))

epoch 10, x: 3.4867844009999995

show_trace(gd(1.1))

epoch 10, x: 61.917364224000096

局部极小值

e.g.

c = 0.15 * np.pi
def f(x):
    return x * np.cos(c * x)
def gradf(x):
    return np.cos(c * x) - c * x * np.sin(c * x)
show_trace(gd(2))

epoch 10, x: -1.528165927635083

多维梯度下降

def train_2d(trainer, steps=20):
    x1, x2 = -5, -2
    results = [(x1, x2)]
    for i in range(steps):
        x1, x2 = trainer(x1, x2)
        results.append((x1, x2))
    print('epoch %d, x1 %f, x2 %f' % (i + 1, x1, x2))
    return results
def show_trace_2d(f, results): 
    d2l.plt.plot(*zip(*results), '-o', color='#ff7f0e')
    x1, x2 = np.meshgrid(np.arange(-5.5, 1.0, 0.1), np.arange(-3.0, 1.0, 0.1))
    d2l.plt.contour(x1, x2, f(x1, x2), colors='#1f77b4')
    d2l.plt.xlabel('x1')
    d2l.plt.ylabel('x2')

eta = 0.1
def f_2d(x1, x2):  # 目标函数
    return x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
def gd_2d(x1, x2):
    return (x1 - eta * 2 * x1, x2 - eta * 4 * x2)
show_trace_2d(f_2d, train_2d(gd_2d))

epoch 20, x1 -0.057646, x2 -0.000073

自适应方法

牛顿法

在处泰勒展开：

最小值点处满足: , 即我们希望 , 对上式关于求导，忽略高阶无穷小，有：

c = 0.5
def f(x):
    return np.cosh(c * x)  # Objective
def gradf(x):
    return c * np.sinh(c * x)  # Derivative
def hessf(x):
    return c**2 * np.cosh(c * x)  # Hessian
# Hide learning rate for now
def newton(eta=1):
    x = 10
    results = [x]
    for i in range(10):
        x -= eta * gradf(x) / hessf(x)
        results.append(x)
    print('epoch 10, x:', x)
    return results
show_trace(newton())

epoch 10, x: 0.0

c = 0.15 * np.pi
def f(x):
    return x * np.cos(c * x)
def gradf(x):
    return np.cos(c * x) - c * x * np.sin(c * x)
def hessf(x):
    return - 2 * c * np.sin(c * x) - x * c**2 * np.cos(c * x)
show_trace(newton())