相关概念

树的基本概念

• 树的定义：树是n（n >= 0）个节点的==有限==集。当n=0是，称为空树。
• 树的特点：

（1）树的根没有前驱，除根外的其他节点有且仅有一个前驱；
（2）每个节点都可以有零个或多个后继。

• 术语：

（1）节点的度：树中一个节点的孩子个数。
（2）树的度：树中节点的最大度。
（3）分支节点：度大于0的节点。
（4）叶子结点：度为0的节点。
（5）节点的深度：从根节点开始自顶向下逐层累加。
（6）节点的高度：从叶子节点开始自底向上逐层累加。
（7）树的高度：树中节点的最大层数。
（8）路径：两个节点之间所经过的节点序列。
（9）路径长度：路径上所经过的边的个数。
（10）森林：m（m >= 0）棵互不相交的树的集合。

二叉树的基本概念

• 二叉树的定义：一种特殊的树形结构，它的特点是每个节点至多有两颗子树（即二叉树中不存在度大于2的节点），并且二叉树的子树有左右之分，不能随意颠倒。
• 几种特殊的二叉树：

（1）满二叉树：一棵高度为h，且含有2^h - 1个节点的二叉树。

（2）完全二叉树：对应相同高度的满二叉树缺失最下层最右边的一些连续叶子结点。
（3）二叉排序树：左子树上所有节点的关键字都小于根节点的关键字；右子树上所有节点的关键字都大于根节点的关键字；左子树和右子树又各是一棵二叉排序树。（左 < 根 < 右）
（4）平衡二叉树：任一节点的左子树和右子树的深度之差不超过1的二叉排序树。

• 二叉树的性质：

（1）二叉树的第i层上至多有2^i-1^个节点；
（2）深度为h的二叉树至多有2^k^ - 1个节点；
（3）对任何一个二叉树，若其终端节点树为n0，度为2的节点树为n2，则n0 = n2 + 1;
（4）具有n个节点的完全二叉树的深度为log~2~(n + 1)向上取整。
（5）对完全二叉树按从上到下、从左到右的顺序依次编号1,2,3，...，则有以下关系：
a. 当i>1时，节点i的双亲的编号为i / 2；
b. 当2i<=n时，节点i的左孩子编号为2i，否则无左孩子；
c. 当2i+1<=n时，节点i的右孩子编号为2i+1，否则无右孩子；
d.节点i所在层次为log~2~i + 1（向下取整）。

存储结构

二叉树的存储结构

• 顺序存储结构：用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素，即将完全二叉树上编号为i的结点元素存储在某个数组下标为i-1的分量中。（适合完全二叉树和满二叉树）

• 链式存储结构：使用链表节点来存储二叉树中的每个节点。二叉链表包括数据域data、左指针域lchild和右指针域rchild三个域。

typedef struct BiTNode{
    TElemType data;
    struct BiTNode *lchild, *rchild;
}BiTNode,*BiTree;

树的存储结构

• 双亲表示法：用一组连续空间来存储树的每个结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置。

#define MAX_TREE_SIZE 100    //节点最大个数
typedef struct PTNode{        //节点结构
    TElemType data;
    int parent;                //双亲位置域
}PTNode;
typedef struct{                //树结构
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE ];
    int root,n;        //根的位置和节点数
}PTree;

• 孩子表示法：将没得节点的孩子节点都用单链表链接起来形成一个线性结构，此时n个节点就有n个孩子链表。

#define MAX_TREE_SIZE 100    //节点最大个数
typedef struct CTNode{        //孩子节点
    int child;
    struct CTNode *next;
}*ChildPtr;
typedef struct{                
    TElemType data;
    ChildPtr firstChild;    //孩子链表头指针
}CTBox;
typedef struct{                //树结构
    CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE ];
    int root,n;        //根的位置和节点数
}CTree;

• 孩子兄弟表示法（二叉树表示法）：以二叉链表作为树的存储结构。每个节点包括三部分内容：节点值、指向第一个孩子结点的指针和指向下一个兄弟节点的指针。

typedef struct CSNode{        //节点结构
    TElemType data;
    struct CSNode *firstChild,*nextSibling;
}CSNode,*CSTree;

树、二叉树和森林的相互转换

树转换为二叉树

• 规则：每个节点左指针指向它的第一个孩子，右指针指向它在树中的相邻右兄弟。由于根节点没有兄弟，所以对应的二叉树没有右子树。
• 画法：（1）在兄弟节点之间加一条线；（2）在每棵树根之间加一条线；（3）以第一棵根为轴心，顺时针旋转45度。

森林转换为二叉树

• 规则：先将森林中的每棵树转换为二叉树，由于任何一棵和树对应的二叉树的右子树为空，若把森林中第二棵树根视为第一棵树根的右兄弟，即将第二棵树对应的二叉树当做第一棵二叉树根的右子树，将第三棵树对应的二叉树当做第二棵二叉树根的右子树......以此类推，即可将森林转换为二叉树。
• 画法：（1）将森林中的每棵树转换为二叉树；（2）对每个节点，只保留它与第一个孩子的连线；（3）以根为轴心，顺时针旋转45度。

二叉树转换为森林

• 若二叉树非空，则二叉树的根及其左子树为第一棵树的二叉树形式，将根与右子树断开
• 将右子树视为一棵新的二叉树，重复第一步。