题目描述
这是 LeetCode 上的 310. 最小高度树 ，难度为 中等。
Tag : 「树形 DP」、「DFS」、「动态规划」
树是一个无向图，其中任何两个顶点只通过一条路径连接。 换句话说，一个任何没有简单环路的连通图都是一棵树。
给你一棵包含 nn 个节点的树，标记为 00 到 n - 1n−1 。给定数字 nn 和一个有 n - 1n−1 条无向边的 edges 列表（每一个边都是一对标签），其中 edges[i] = [a_i, b_i]edges[i]=[ai,bi] 表示树中节点 a_iai 和 b_ibi 之间存在一条无向边。
可选择树中任何一个节点作为根。当选择节点 xx 作为根节点时，设结果树的高度为 hh 。在所有可能的树中，具有最小高度的树（即，min(h)）被称为 最小高度树 。
请你找到所有的 最小高度树 并按 任意顺序 返回它们的根节点标签列表。
树的 高度 是指根节点和叶子节点之间最长向下路径上边的数量。
示例 1：
输入：n = 4, edges = [[1,0],[1,2],[1,3]] 输出：[1] 解释：如图所示，当根是标签为 1 的节点时，树的高度是 1 ，这是唯一的最小高度树。 复制代码
示例 2：
输入：n = 6, edges = [[3,0],[3,1],[3,2],[3,4],[5,4]] 输出：[3,4] 复制代码
提示：
- 1 <= n <= 2 * 10^41<=n<=2∗104
- edges.length == n - 1edges.length==n−1
- 0 <= ai, bi < n0<=ai,bi<n
- ai != biai!=bi
- 所有 (ai, bi)(ai,bi) 互不相同
- 给定的输入保证是一棵树，并且不会有重复的边
树形 DP
这是一道树形 DP 模板题。
当确定以某个点为根节点时，整棵树的形态唯一固定，不妨以编号为 00 的节点作为根节点进行分析。
假设当前处理到的节点为 u，其是从父节点 fa 遍历而来，且将要遍历的子节点为 j。
即树的形态如图所示（一些可能有的出边用虚线表示）：
树形 DP 问题通常将问题根据「方向」进行划分，对于当前处理到的节点 u 而言，我们根据是否考虑「从 fa 到 u 的出边」将其分为「向下」和「向上」两个方向。
假设我们通过 DFS 预处理出 ff 数组和 gg 数组，其中 f[u]f[u] 代表在以 00 号点为根节点的树中，以 u 节点为子树根节点时，往下的最大高度；g[u]g[u] 代表在以 00 号点为根节点的树中，以 u 节点为子节点时，往上的最大高度。那么最终以 u 为根节点的最大高度为 \max(f[u], g[u])max(f[u],g[u])。
其中 f[u]f[u] 只需要简单的 DFS 即可处理出来，但对于 g[u]g[u] 而言，其同样包含「往上」和「往下」两部分，对于往上的部分 \max(g[u], g[fa] + 1)max(g[u],g[fa]+1)，对于往下的部分，我们需要考虑「fa 节点往下的最大值 f[fa]f[fa]」是否由 u 节点参与而来进行分情况讨论，如果 f[fa]f[fa] 本身不由 u 参与，那么 g[u]g[u] 应当是 fa 节点往下的最大值 +1+1 而来；如果本身 fa 往下的最大值由 u 节点参与，此时应当使用 fa 往下的次大值 +1+1 来更新 g[u]g[u]。
因此我们需要对 ff 数组进行拆分，拆分为记录「最大值的 f1f1 数组」和记录「次大值的 f2f2 数组」，同时使用 pp 数组记录下取得 f1[u]f1[u] 时 u 的子节点 j 为何值。
另外实现上，在处理「往上」方向的 DFS 时，为避免对 fa 节点为空的处理，我们可以将「用 fa 来更新 u」调整为「用 u 来更新 j」。
代码：
class Solution { int N = 20010, M = N * 2, idx = 0; int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M]; int[] f1 = new int[N], f2 = new int[N], g = new int[N], p = new int[N]; void add(int a, int b) { e[idx] = b; ne[idx] = he[a]; he[a] = idx++; } public List<Integer> findMinHeightTrees(int n, int[][] edges) { Arrays.fill(he, -1); for (int[] e : edges) { int a = e[0], b = e[1]; add(a, b); add(b, a); } dfs1(0, -1); dfs2(0, -1); List<Integer> ans = new ArrayList<>(); int min = n; for (int i = 0; i < n; i++) { int cur = Math.max(f1[i], g[i]); if (cur < min) { min = cur; ans.clear(); ans.add(i); } else if (cur == min) { ans.add(i); } } return ans; } int dfs1(int u, int fa) { for (int i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (j == fa) continue; int sub = dfs1(j, u) + 1; if (sub > f1[u]) { f2[u] = f1[u]; f1[u] = sub; p[u] = j; } else if (sub > f2[u]) { f2[u] = sub; } } return f1[u]; } void dfs2(int u, int fa) { for (int i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (j == fa) continue; if (p[u] != j) g[j] = Math.max(g[j], f1[u] + 1); else g[j] = Math.max(g[j], f2[u] + 1); g[j] = Math.max(g[j], g[u] + 1); dfs2(j, u); } } } 复制代码
- 时间复杂度：O(n)O(n)
- 空间复杂度：O(n)O(n)
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.310 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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