89. 格雷编码 : 对称性构造格雷码

题目描述

这是 LeetCode 上的 89. 格雷编码 ，难度为 中等。

Tag : 「模拟」

nn 位格雷码序列 是一个由 2^n2n 个整数组成的序列，其中：

• 每个整数都在范围 [0, 2^n - 1][0,2n−1] 内（含 00 和 2^n - 12n−1）
• 第一个整数是 0
• 一个整数在序列中出现 不超过一次
• 每对 相邻 整数的二进制表示 恰好一位不同 ，且
• 第一个 和 最后一个 整数的二进制表示 恰好一位不同

给你一个整数 n ，返回任一有效的 n 位格雷码序列 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：[0,1,3,2]
解释：
[0,1,3,2] 的二进制表示是 [00,01,11,10] 。
- 00 和 01 有一位不同
- 01 和 11 有一位不同
- 11 和 10 有一位不同
- 10 和 00 有一位不同
[0,2,3,1] 也是一个有效的格雷码序列，其二进制表示是 [00,10,11,01] 。
- 00 和 10 有一位不同
- 10 和 11 有一位不同
- 11 和 01 有一位不同
- 01 和 00 有一位不同
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示例 2：

输入：n = 1
输出：[0,1]
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提示：

• 1 <= n <= 16

对称性构造

根据格雷码的定义，我们需要构造一个合法序列，序列之间每两个数的二进制表示中只有一位不同，同时序列第一位和最后一位对应的二进制也只有一位不同。

我们知道 k + 1k+1 位的格雷码序列是 kk 位格雷码序列长度的两倍，利用合法 kk 位格雷码序列，我们可以「对称性」地构造出 k + 1k+1 位格雷码。

具体的，假定 kk 位格雷码序列长度为 nn，我们将这 kk 位的格雷序列进行翻转，并追加到原有序列的尾部，得到长度为 2 * n2∗n 的序列，此时新序列的前后两部分均为合法的格雷码。

考虑如何进行解决衔接点的合法性：我们可以对于序列的后半（翻转而来）的部分中的每个数进行「尾部」追加 11 的操作，确保链接点的两个数只有有一位二进制位不同，同时并不影响前后两半部分的合法性。

而且由于后半部分本身是由前半部分翻转而来，序列中的第一个数和最后一个数原本为同一个值，经过追加 11 的操作之后，首尾两个数的二进制表示只有一位不同，整个序列的合法性得以保证。

代码：

class Solution {
    public List<Integer> grayCode(int n) {
        List<Integer> ans = new ArrayList<>();
        ans.add(0);
        while (n-- > 0) {
            int m = ans.size();
            for (int i = m - 1; i >= 0; i--) {
                ans.set(i, ans.get(i) << 1);
                ans.add(ans.get(i) + 1);
            }
        }
        return ans;
    }
}
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• 时间复杂度：O(2^n)O(2n)
• 空间复杂度：O(2^n)O(2n)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.89 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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