372. 超级次方 : 递归快速幂应用题

题目描述

这是 LeetCode 上的 372. 超级次方 ，难度为 中等。

Tag : 「数学」、「快速幂」

你的任务是计算 ab 对 13371337 取模，a 是一个正整数，b 是一个非常大的正整数且会以数组形式给出。

示例 1：

输入：a = 2, b = [3]
输出：8
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示例 2：

输入：a = 2, b = [1,0]
输出：1024
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示例 3：

输入：a = 1, b = [4,3,3,8,5,2]
输出：1
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示例 4：

输入：a = 2147483647, b = [2,0,0]
输出：1198
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提示：

• 1 <= a <= 2^{31} - 11<=a<=231−1
• 1 <= b.length <= 20001<=b.length<=2000
• 0 <= b[i] <= 90<=b[i]<=9
• b 不含前导 0

递归 + 快速幂（可选）

根据题意，要我们求得的是 a^b \bmod {1337}abmod1337 的值，其中 bb 是以数组形式给出。

刚一看是一道快速幂的题目（事实上也确实可以使用快速幂，但不是必须），由于 bb 是数组形式，因此我们还需要对其进行分解。

假设 bb 所代表的数值为 KK，则有：

a^{K} = a^{(\left \lfloor \frac{K}{10} \right \rfloor * 10) + (K \bmod 10)} = a^{(\left \lfloor \frac{K}{10} \right \rfloor * 10)} * a^{(K \bmod 10)} = ({a^{\left \lfloor \frac{K}{10} \right \rfloor}) ^ {10}} * a^{(K \bmod 10)}aK=a(⌊10K⌋∗10)+(Kmod10)=a(⌊10K⌋∗10)∗a(Kmod10)=(a⌊10K⌋)10∗a(Kmod10)

也就是说，我们每次只需要计算 bb 数组的最后一位作为次方的值即可将问题规模缩小。

上述公式可能不好直接理解，举个🌰，设我们的 aa 为 9999，要计算的 bb 数组所代表的数值为 K = 2345K=2345，那么其计算过程可以分解为：

0. a^K = 99^{2345}aK=992345
1. 99^{2345} = 99^{234 * 10 + 5}992345=99234∗10+5
2. 99^{234 * 10 + 5} = 99^{234 * 10} * 99^{5}99234∗10+5=99234∗10∗995
3. 99^{234 * 10} * 99^{5} = {(99^{234})}^{10} * 99^{5}99234∗10∗995=(99234)10∗995

...

可见，真正涉及计算次方的操作，所用到的次方都是一个 1010 以内的数字，因此并非一定要使用快速幂。

代码（P2P2 为不使用快速幂）：

class Solution {
    int MOD = 1337;
    public int superPow(int a, int[] b) {
        return dfs(a, b, b.length - 1);
    }
    int dfs(int a, int[] b, int u) {
        if (u == -1) return 1;
        return qpow(dfs(a, b, u - 1), 10) * qpow(a, b[u]) % MOD;
    }
    int qpow(int a, int b) {
        int ans = 1;
        a %= MOD;
        while (b != 0) {
            if ((b & 1) != 0) ans = ans * a % MOD;
            a = a * a % MOD;
            b >>= 1;
        }
        return ans;
    }
}
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class Solution {
    int MOD = 1337;
    public int superPow(int a, int[] b) {
        return dfs(a, b, b.length - 1);
    }
    int dfs(int a, int[] b, int u) {
        if (u == -1) return 1;
        return pow(dfs(a, b, u - 1), 10) * pow(a, b[u]) % MOD;
    }
    int pow(int a, int b) {
        int ans = 1;
        a %= MOD;
        while (b-- > 0) ans = ans * a % MOD;
        return ans;
    }
}
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• 时间复杂度：假设 bb 数组所代表的数字为 KK，使用快速幂的复杂度为 O(\log{K})O(logK)，或者说是 O(n * \log{10})O(n∗log10)，其中 nn 为数组 bb 的长度，数字 1010 所代表的含义是计算一个次方为 1010 以内的值；而不使用快速幂的复杂度为 O(n * 10)O(n∗10)
• 空间复杂度：忽略递归带来的额外空间开销，复杂度为 O(1)O(1)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.372 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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