【刷穿 LeetCode】1588. 所有奇数长度子数组的和 : 「前缀和」&「数学」

题目描述

这是 LeetCode 上的 1588. 所有奇数长度子数组的和 ，难度为 简单。

Tag : 「前缀和」、「数学」

给你一个正整数数组 arr ，请你计算所有可能的奇数长度子数组的和。

子数组 定义为原数组中的一个连续子序列。

请你返回 arr 中 所有奇数长度子数组的和 。

示例 1：

输入：arr = [1,4,2,5,3]
输出：58
解释：所有奇数长度子数组和它们的和为：
[1] = 1
[4] = 4
[2] = 2
[5] = 5
[3] = 3
[1,4,2] = 7
[4,2,5] = 11
[2,5,3] = 10
[1,4,2,5,3] = 15
我们将所有值求和得到 1 + 4 + 2 + 5 + 3 + 7 + 11 + 10 + 15 = 58
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示例 2：

输入：arr = [1,2]
输出：3
解释：总共只有 2 个长度为奇数的子数组，[1] 和 [2]。它们的和为 3 。
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示例 3：

输入：arr = [10,11,12]
输出：66
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提示：

• 1 <= arr.length <= 100
• 1 <= arr[i] <= 1000

前缀和

枚举所有长度为奇数的子数组，我们可以通过「枚举长度 - 枚举左端点，并计算右端点」的两层循环来做。

而对于区间 [l, r][l,r] 的和问题，可以直接再加一层循环来做，这样复杂度来到了 O(n^3)O(n3)，但本题数据范围只有 100100，也是可以过的。

对于此类区间求和问题，我们应当想到使用「前缀和」进行优化：使用 O(n)O(n) 的复杂度预处理出前缀和数组，每次查询 [l, r][l,r] 区间和可以在 O(1)O(1) 返回。

代码：

class Solution {
    public int sumOddLengthSubarrays(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        int[] sum = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + arr[i - 1];
        int ans = 0;
        for (int len = 1; len <= n; len += 2) {
            for (int l = 0; l + len - 1 < n; l++) {
                int r = l + len - 1;
                ans += sum[r + 1] - sum[l];
            }
        }
        return ans;
    }
}
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• 时间复杂度：O(n^2)O(n2)
• 空间复杂度：O(n)O(n)

数学

事实上，我们可以统计任意只 arr[i]arr[i] 在奇数子数组的出现次数。

对于原数组的任意位置 ii 而言，其左边共有 ii 个数，右边共有 n - i - 1n−i−1 个数。

arr[i]arr[i] 作为某个奇数子数组的成员的充要条件为：其所在奇数子数组左右两边元素个数奇偶性相同。

于是问题转换为如何求得「arr[i]arr[i] 在原数组中左边连续一段元素个为奇数的方案数」和「arr[i]arr[i] 在原数组右边连续一段元素个数为偶数的方案数」。

由于我们已经知道 arr[i]arr[i] 左边共有 ii 个数，右边共有 n - i - 1n−i−1 个数，因此可以算得组合数：

• 位置 ii 左边奇数个数的方案数为 (i + 1) / 2(i+1)/2，右边奇数个数的方案数为 (n - i) / 2(n−i)/2；
• 位置ii右边偶数（非零）个数的方案数为i / 2i/2，右边偶数（非零）个数的方案数为(n - i - 1) / 2(n−i−1)/2；

• 考虑左右两边不选也属于合法的偶数个数方案数，因此在上述分析基础上对偶数方案数自增 11。

至此，我们得到了位置 ii 左右奇数和偶数的方案数个数，根据「如果 arr[i]arr[i] 位于奇数子数组中，其左右两边元素个数奇偶性相同」以及「乘法原理」，我们知道 arr[i]arr[i] 同出现在多少个奇数子数组中，再乘上 arr[i]arr[i] 即是 arr[i]arr[i] 对答案的贡献。

代码：

class Solution {
    public int sumOddLengthSubarrays(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int l1 = (i + 1) / 2, r1 = (n - i) / 2; // 奇数
            int l2 = i / 2, r2 = (n - i - 1) / 2; // 偶数
            l2++; r2++;
            ans += (l1 * r1 + l2 * r2) * arr[i];
        }
        return ans;
    }
}
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• 时间复杂度：O(n)O(n)
• 空间复杂度：O(1)O(1)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1588 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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