【刷穿 LeetCode】789. 逃脱阻碍者 : 详解为何能转化为曼哈顿距离求解-阿里云开发者社区

【刷穿 LeetCode】789. 逃脱阻碍者 : 详解为何能转化为曼哈顿距离求解

2022-05-05 116

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简介： 【刷穿 LeetCode】789. 逃脱阻碍者 : 详解为何能转化为曼哈顿距离求解

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题目描述

这是 LeetCode 上的 789. 逃脱阻碍者 ，难度为中等。

Tag : 「数学」

你在进行一个简化版的吃豆人游戏。你从 [0, 0] 点开始出发，你的目的地是 target = [xtarget, ytarget] 。地图上有一些阻碍者，以数组 ghosts 给出，第 i 个阻碍者从 ghosts[i] = [xi, yi] 出发。所有输入均为整数坐标。

每一回合，你和阻碍者们可以同时向东，西，南，北四个方向移动，每次可以移动到距离原位置 1 个单位的新位置。当然，也可以选择不动。所有动作同时发生。

如果你可以在任何阻碍者抓住你之前到达目的地（阻碍者可以采取任意行动方式），则被视为逃脱成功。如果你和阻碍者同时到达了一个位置（包括目的地）都不算是逃脱成功。

只有在你有可能成功逃脱时，输出 true ；否则，输出 false 。

示例 1：

输入：ghosts = [[1,0],[0,3]], target = [0,1]
输出：true
解释：你可以直接一步到达目的地 (0,1) ，在 (1, 0) 或者 (0, 3) 位置的阻碍者都不可能抓住你。 
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示例 2：

输入：ghosts = [[1,0]], target = [2,0]
输出：false
解释：你需要走到位于 (2, 0) 的目的地，但是在 (1, 0) 的阻碍者位于你和目的地之间。 
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示例 3：

输入：ghosts = [[2,0]], target = [1,0]
输出：false
解释：阻碍者可以和你同时达到目的地。 
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示例 4：

输入：ghosts = [[5,0],[-10,-2],[0,-5],[-2,-2],[-7,1]], target = [7,7]
输出：false
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示例 5：

输入：ghosts = [[-1,0],[0,1],[-1,0],[0,1],[-1,0]], target = [0,0]
输出：true
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提示：

1 <= ghosts.length <= 100
ghosts[i].length == 2
-10^4104 <= xi, yi <= 10^4104
同一位置可能有多个阻碍者。
target.length == 2
-10^4104 <= xtarget, ytarget <= 10^4104

数学

从数据范围 -10^4 <= x_{target}, y_{target} <= 10^4−104<=xtarget,ytarget<=104 且每次只能移动一个单位（或不移动）就注定了不能使用朴素的 BFS 进行求解。

朴素的 BFS 是指每次在玩家移动一步前，先将阻碍者可以一步到达的位置“置灰”（即设为永不可达），然后判断玩家是否能够到达 targettarget。

朴素 BFS 本质是模拟，由于棋盘足够大，步长只有 11，因此该做法显然会 TLE。

是否有比模拟更快的做法呢？

根据「树的直径」类似的证明，我们可以证明出「如果一个阻碍者能够抓到玩家，必然不会比玩家更晚到达终点」。

为了方便，我们设玩家起点、阻碍者起点、终点分别为 ss、ee 和 tt，计算两点距离的函数为 dist(x, y)dist(x,y)。

假设玩家从 ss 到 tt 的路径中会经过点 kk，当且仅当 dist(e, k) <= dist(s, k)dist(e,k)<=dist(s,k)，即「阻碍者起点与点 kk 的距离」小于等于「玩家起点与点 kk 的距离」时，阻碍者可以在点 kk 抓到玩家。

由于「玩家到终点」以及「阻碍者到终点」的路径存在公共部分 dist(k, t)dist(k,t)，可推导出：

dist(e, k) + dist(k, t) <= dist(s, k) + dist(k, t)dist(e,k)+dist(k,t)<=dist(s,k)+dist(k,t)

即得证 如果一个阻碍者能够抓到玩家，那么该阻碍者必然不会比玩家更晚到达终点。

由于步长为 11，且移动规则为上下左右四联通方向，因此 dist(x, y)dist(x,y) 的实现为计算两点的曼哈顿距离。

代码：

class Solution {
    int dist(int x1, int y1, int x2, int y2) {
        return Math.abs(x1 - x2) + Math.abs(y1 - y2);
    }
    public boolean escapeGhosts(int[][] gs, int[] t) {
        int cur = dist(0, 0, t[0], t[1]);
        for (int[] g : gs) {
            if (dist(g[0], g[1], t[0], t[1]) <= cur) return false;
        }
        return true;
    }
}
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