【刷穿 LeetCode】有效三角形的个数 :「简单枚举」&「二分枚举」&「双指针」

题目描述

这是 LeetCode 上的 611. 有效三角形的个数 ，难度为 中等。

Tag : 「排序」、「二分」、「双指针」

给定一个包含非负整数的数组，你的任务是统计其中可以组成三角形三条边的三元组个数。

示例 1:

输入: [2,2,3,4]
输出: 3
解释:
有效的组合是: 
2,3,4 (使用第一个 2)
2,3,4 (使用第二个 2)
2,2,3
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注意:

1. 数组长度不超过1000。
2. 数组里整数的范围为 [0, 1000]。

基本分析

根据题意，是要我们统计所有符合 nums[k] + nums[j] > nums[i]nums[k]+nums[j]>nums[i] 条件的三元组 (k,j,i)(k,j,i) 的个数。

为了防止统计重复的三元组，我们可以先对数组进行排序，然后采取「先枚举较大数；在下标不超过较大数下标范围内，找次大数；在下标不超过次大数下标范围内，找较小数」的策略。

排序 + 暴力枚举

根据「基本分析」，我们可以很容易写出「排序 + 三层循环」的实现。

代码：

class Solution {
    public int triangleNumber(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        Arrays.sort(nums);
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
                for (int k = j - 1; k >= 0; k--) {
                    if (nums[j] + nums[k] > nums[i]) ans++;
                }
            }
        }
        return ans;
    }
}
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• 时间复杂度：排序时间复杂度为 O(n\log{n})O(nlogn)；三层遍历找所有三元祖的复杂度为 O(n^3)O(n3)。整体复杂度为 O(n^3)O(n3)
• 空间复杂度：O(\log{n})O(logn)

排序 + 二分

、

根据我们以前讲过的的 优化枚举的基本思路，要找符合条件的三元组，其中一个切入点可以是「枚举三元组中的两个值，然后优化找第三数的逻辑」。

我们发现，在数组有序的前提下，当枚举到较大数下标 ii 和次大数下标 jj 时，在 [0, j)[0,j) 范围内找的符合 nums[k'] + nums[j] > nums[i]nums[k′]+nums[j]>nums[i] 条件的 k'k′ 的集合时，以符合条件的最小下标 kk 为分割点的数轴上具有「二段性」。

令 kk 为符合条件的最小下标，那么在 nums[i]nums[i] 和 nums[j]nums[j] 固定时，[0,j)[0,j) 范围内：

• 下标大于等于 kk 的点集符合条件 nums[k'] + nums[j] > nums[i]nums[k′]+nums[j]>nums[i]；
• 下标小于 kk 的点集合不符合条件 nums[k'] + nums[j] > nums[i]nums[k′]+nums[j]>nums[i]。

因此我们可以通过「二分」找到这个分割点 kk，在 [k,j)[k,j) 范围内即是固定 jj 和 ii 时，符合条件的 k'k′ 的个数。

代码：

class Solution {
    public int triangleNumber(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        Arrays.sort(nums);
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
                int l = 0, r = j - 1;
                while (l < r) {
                    int mid = l + r >> 1;
                    if (nums[mid] + nums[j] > nums[i]) r = mid;
                    else l = mid + 1;
                }
                if (l == r && nums[r] + nums[j] > nums[i]) ans += j - r;
            }
        }
        return ans;
    }
}
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• 时间复杂度：排序时间复杂度为 O(n\log{n})O(nlogn)；两层遍历加二分所有符合条件的三元组的复杂度为 O(n^2*\log{n})O(n2∗logn)。整体复杂度为 O(n^2*\log{n})O(n2∗logn)
• 空间复杂度：O(\log{n})O(logn)

排序 + 双指针

更进一步我们发现，当我们在枚举较大数下标 ii，并在 [0, i)[0,i) 范围内逐步减小下标（由于数组有序，也就是逐步减少值）找次大值下标 jj 时，符合条件的 k'k′ 必然是从 00 逐步递增（这是由三角不等式 nums[k] + nums[j] > nums[i]nums[k]+nums[j]>nums[i] 所决定的）。

因此，我们可以枚举较大数下标 ii 时，在 [0, i)[0,i) 范围内通过双指针，以逐步减少下标的方式枚举 jj，并在遇到不满足条件的 kk 时，增大 kk 下标。从而找到所有符合条件三元组的个数。

代码：

class Solution {
    public int triangleNumber(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        Arrays.sort(nums);
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i - 1, k = 0; k < j; j--) {
                while (k < j && nums[k] + nums[j] <= nums[i]) k++;
                ans += j - k;
            }
        }
        return ans;
    }
}
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• 时间复杂度：排序时间复杂度为 O(n\log{n})O(nlogn)，双指针找所有符合条件的三元组的复杂度为 O(n^2)O(n2)。整体复杂度为 O(n^2)O(n2)
• 空间复杂度：O(\log{n})O(logn)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.611 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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