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《 线性代数及其应用 (原书第4版)》——1.5 线性方程组的解集

简介:

本节书摘来自华章出版社《 线性代数及其应用 (原书第4版)》一书中的第1章,第1.5节,作者:(美)戴维C. 雷(David C. Lay)马里兰大学帕克学院 著刘深泉 张万芹 陈玉珍 包乐娥 陆 博 译,更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看

1.5 线性方程组的解集

线性方程组的解集是线性代数研究的重要对象,它们出现在许多不同的问题中. 本节使用向量符号给出这样的解集的显式表示以及几何解释.
齐次线性方程组
线性方程组称为齐次的,若它可写成 Ax=0的形式,其中 A是m*n 矩阵而 0是rm 中的零向量. 这样的方程组至少有一个解. 即x=0 ( rx中的零向量),这个解称为它的平凡解. 对给定方程 Ax=0,重要的是它是否有非平凡解,即满足 Ax=0的非零向量 x. 由1.2节解的存在性与唯一性定理(定理2),得出以下事实.
齐次方程Ax=0 有非平凡解,当且仅当方程至少有一个自由变量.
例1 确定下列齐次方程组是否有非平凡解,并描述它的解集.
1
解 令 A为该方程组的系数矩阵,用行化简法把增广矩阵[A 0] 化为阶梯形.
1
x3是自由变量,Ax=0 有非平凡解(对 x3的每一选择都有一个解),为描述解集,继续把 [A 0]化为简化阶梯形:

![1](https://yqfile.alicdn.com/69728ea43e923605dfc221d3eb50ef5737e9fe3c.png)

解出基本变量x1x22是自由变量,Ax=0 的通解有向量形式
1

这里 x3由通解向量的表达式中作为公因子提出来. 这说明本例中Ax=0 的每一个解都是 v的倍数. 平凡解可由x3_0 得到. 几何意义下,解集是r3 中通过0 的直线,见图1-21.
tu1_21
注意,非平凡解向量 可能有些零元素,只要不是所有元素都是0就行.
例2 单一方程也可看作方程组,描述下列齐次“方程组”的解集.
1 (1)
解 这里无须矩阵记号. 用自由变量表示基本变量 . x1 通解为
1
x2x3为自由变量. 写成向量形式,通解为
tu1_22 (2)
计算表明,方程(1)的每个解都是向量u 和v 的线性组合,如(2)式所示. 即解集为Span{u,v} ,因为,u 不是 v的倍数,解集是通过原点的一个平面. 见图1-22.
tu1_22

例1和例2以及后面的练习,说明齐次方程Ax=0 总可表示为1 ,其中 2是适当的解向量. 若唯一解是零向量,则解集就是 Span{0},若方程Ax=0 仅有一个自由变量,解集是通过原点的一条直线,见图1-21. 若有两个或更多自由变量,那么图1-22的通过原点的平面就给出Ax=0 的解集的一个很好的图形说明. 注意,类似的图可用来解释 Span{u,v},即使u,v 并不是Ax=0 的解,见1.3节图1-17.
参数向量形式
最初的方程(1)是例2中的平面的隐式描述,解此方程就是要找这个平面的显式描述,就是说,将它作为u 和v所生成的子集. 方程(2)称为平面的参数向量方程. 有时也可写为
x= su +tv(s,t 为实数)
来强调参数可取任何实数值,例1中,方程3 (x3 是自由变量),或 x=tv( t为实数),是直线的参数方程,当解集用向量显式表示为如例1和例2时,我们称之为解的参数向量形式.
非齐次方程组的解
当非齐次线性方程组有许多解时,一般可表示为参数向量形式,即由一个向量加上满足对应的齐次方程的一些向量的任意线性组合的形式.
例3 描述Ax=b 的解,其中
1
解 这里 A就是例1的系数矩阵. 对[A b] 作行变换得
2
所以 1,x3为自由变量,Ax=b 的通解可写成向量形式

       ![2](https://yqfile.alicdn.com/a6213c79b65501be658bdaf1da691f224e077c4d.png)

方程 1,或用 t 表示一般参数,
1 (3)
就是用参数向量形式表示 Ax=b的解集. 回忆例1中 Ax=0的解集有参数向量形式
1 (4)
(v 与(3)中的v 相同),故Ax=b 的解可由向量 p加上Ax=0 的解得到,向量 p本身也是 的一个特解Ax=b(在(3)中对应 t=0).
为了从几何上描述Ax=b 的解集,我们可以把向量加法解释为平移,给定r2r3中的向量 v与p ,把p 加上v 的结果就是把 v沿着平行于通过 p与0的直线移动,我们称 v被平移 p到 v+p,见图1-23. 若 r2r3中的直线 L上的每一点被平移p ,就得到一条平行于 L的直线,见图1-24.
1
设L 是通过0 与 v的直线,由方程(4)表示. L的每个点加上p 得到由方程(3)表示的平移后的直线. 注意p 也在直线(3)上. 称(3)为通过p 平行于v 的直线方程. 于是 Ax=b 的解集是一条通过p 而平行于Ax=0 的直线. 图1-25说明了这一结论.
tu1_25

图1-25中Ax=b 和Ax=0 的解集之间的关系可以推广到任意相容的方程Ax=b ,虽然当自由变量有多个时,解集将多于一条直线. 下列定理给出了这一结论,证明见习题25.
定理6 设方程 Ax=b对某个b 是相容的, p为一个特解,则 Ax=b的解集是所有形如1 的向量的集,其中vh 是齐次方程 Ax=0的任意一个解.
定理6说明若 Ax=b有解,则解集可由Ax=0 的解平移向量 p得到, p是 Ax=b的任意一个特解,图1-26说明当有两个自由变量时的情形. 即使当n>3 时,相容方程组 Ax=b(11 )的解集也可想象为一个非零点或一条不通过原点的线或平面.
1_26
警告 定理6与图1-26仅适用于方程 Ax=b至少有一个非零解p 的前提下.
下列算法总结了例1、2和3中的计算.
把相容方程组的解集表示成参数向量形式

  1. 把增广矩阵行化简为简化阶梯形.
  2. 把每个基本变量用自由变量表示.
  3. 把一般解 x表示成向量,如果有自由变量,其元素依赖于自由变量.
  4. 把 x分解为向量(元素为常数)的线性组合,用自由变量作为参数.
    练习题
  5. 下列两个方程都确定 r3中的平面,它们是否相交?如果相交的话,描述它们的交集.
    1
  6. 写出方程1 的参数向量形式的通解,讨论这个解集与例2中的解集的关系.
    习题1.5

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