题目描述
这是 LeetCode 上的29. 两数相除，难度为 Medium。
给定两个整数，被除数 dividenddividenddividend 和除数 divisordivisordivisor。
将两数相除，要求不使用乘法、除法和 mod 运算符。
返回被除数 dividenddividenddividend 除以除数 divisordivisordivisor 得到的商。
整数除法的结果应当截去（truncatetruncatetruncate）其小数部分。
例如：truncate(8.345)=8truncate(8.345) = 8truncate(8.345)=8 以及
truncate(−2.7335)=−2truncate(-2.7335) = -2truncate(−2.7335)=−2。
示例 1:
输入: dividend = 10, divisor = 3 输出: 3 解释: 10/3 = truncate(3.33333..) = truncate(3) = 3 复制代码
示例 2:
输入: dividend = 7, divisor = -3 输出: -2 解释: 7/-3 = truncate(-2.33333..) = -2 复制代码
提示：
- 被除数和除数均为 32 位有符号整数。
- 除数不为 0。
- 假设我们的环境只能存储 32 位有符号整数，其数值范围是 [−231−2^{31}−231, 2312^{31}231 − 1]。本题中，如果除法结果溢出，则返回 2312^{31}231 − 1。
二分 + 倍增乘法
由于题目限定了我们不能使用乘法、除法和 mod 运算符。
我们可以先实现一个「倍增乘法」，然后利用对于 xxx 除以 yyy，结果 x/yx / yx/y 必然落在范围 [0,x][0, x][0,x] 的规律进行二分：
代码：
class Solution { public int divide(int a, int b) { long x = a, y = b; boolean isNeg = false; if ((x > 0 && y < 0) || (x < 0 && y > 0)) isNeg = true; if (x < 0) x = -x; if (y < 0) y = -y; long l = 0, r = x; while (l < r) { long mid = l + r + 1 >> 1; if (mul(mid, y) <= x) { l = mid; } else { r = mid - 1; } } long ans = isNeg ? -l : l; if (ans > Integer.MAX_VALUE || ans < Integer.MIN_VALUE) { return Integer.MAX_VALUE; } return (int)ans; } long mul(long a, long k) { long ans = 0; while (k > 0) { if ((k & 1) == 1) ans += a; k >>= 1; a += a; } return ans; } } 复制代码
- 时间复杂度：对 xxx 采用的是二分策略。复杂度为 O(logn)O({log n})O(logn)
- 空间复杂度：O(1)O(1)O(1)
总结
这道题的解法，主要涉及的模板有两个。
一个是「二分」模板，一个是「快速乘法」模板。都是高频使用的模板。
其中「二分」模板其实有两套，主要是根据 check(mid)check(mid)check(mid) 函数为 truetruetrue 时，需要调整的是 l 指针还是 r 指针来判断。
- 当 check(mid)==truecheck(mid) == truecheck(mid)==true 调整的是
l时：计算mid的方式应该为mid = l + r + 1 >> 1：
long l = 0, r = 1000009; while (l < r) { long mid = l + r + 1 >> 1; if (check(mid)) { l = mid; } else { r = mid - 1; } } 复制代码
- 当 check(mid)==truecheck(mid) == truecheck(mid)==true 调整的是
r时：计算mid的方式应该为mid = l + r >> 1：
long l = 0, r = 1000009; while (l < r) { long mid = l + r >> 1; if (check(mid)) { r = mid; } else { l = mid + 1; } } 复制代码
另外一个是「快速乘法」模板，采用了倍增的思想：
long mul(long a, long k) { long ans = 0; while (k > 0) { if ((k & 1) == 1) ans += a; k >>= 1; a += a; } return ans; } 复制代码
关于「二分」模板的说明
- 为啥修改左边指针 l 的时候要进行 +1 操作？
「模板一」的 +1 操作主要是为了避免发生「死循环」，因为 >> 和 直接使用 / 一样，都属于「下取整」操作。
考虑 l = 0, r = 1 的简单情况，如果不 +1 的话，l + r >> 1 等于 0 + 1 / 2，l 仍然是 0，陷入死循环。
- 为啥模板不考虑 int 溢出问题？
事实上，二分模板确实有考虑 int 溢出的写法，评论区我也有提到，但是一般我们不会去用那样的模板，因为太难记了。
而且如果数据范围确实存在 int 溢出的情况，正确的做法是使用 long 数据结构，因为你无法确保只会在「二分」逻辑中进行下标运算，这里改用模板，在别的地方也可能会溢出。
使用 long 的说明
我知道肯定会有小伙伴提醒三叶：环境只能存储 32 位有符号整数，这一提示。
我认为这个提示有两层理解含义：
- 实现过程中完全不能使用 long
- 实现过程不限制使用 long，只是解释为什么某些情况下需要我们返回 2312^{31}231 − 1
在本题，我是按照第二种解释方式进行理解。
当然也可以按照第一种解释方式进行理解，在 7. 整数反转(简单) 中，我就提供了实现过程中不使用 long 的「完美解决」方案。可以看看 ~
不使用 long 其实十分简单，只需要将越界判断放到循环里即可，建议你动手试试 ~
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.29 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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